高一下學(xué)期平面向量綜合復(fù)習(xí)

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 高一下學(xué)期平面向量綜合復(fù)習(xí)結(jié)論 在中（加）或（減）稱為向量三角形；推廣可有，稱為封閉折線如：在平行四邊形ABCD中,已知,試用表示 .如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為2. 向量共線的條件：結(jié)論2 （平行向量基本定理）向量與平行（即共線）的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)使特別地，三點(diǎn)共線3. 軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算：已知軸，取單位向量，對(duì)于軸上任意向量總是存在唯一實(shí)數(shù)x使得，我們稱x為向量在軸上的坐標(biāo)（或數(shù)量）。設(shè)是軸的一個(gè)基向量，向量的坐標(biāo)為AB，則；若軸為x軸，可設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為x1，x2，則向量的坐標(biāo)AB

2、=。4. 向量的分解：結(jié)論3（平面向量基本定理） 設(shè)是平面上兩個(gè)不共線向量（稱為一組基底），則對(duì)平面上任一向量，存在唯一實(shí)數(shù)使這里 稱為向量關(guān)于基底 的分解式。特別地若，則有稱為定比分點(diǎn)向量式，也稱為直線AB的向量參數(shù)方程式；稱為中點(diǎn)向量式（為中點(diǎn)）上述結(jié)論提供了證明諸線共點(diǎn)與諸點(diǎn)共線的方法，如：證明三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)把三條中線都分成的兩條線段。求證三條高相交于一點(diǎn)5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：對(duì)于結(jié)論3，若是一組單位正交基底，則稱是向量在基底下的坐標(biāo)，記作。（在平面直角坐標(biāo)系下）用坐標(biāo)表示下列結(jié)論：設(shè)，則有： ； ； ； ；6.向量的數(shù)量積：結(jié)論4 兩個(gè)向量的數(shù)量積為，其中為兩個(gè)向量

3、的夾角，其范圍為 數(shù)量積有如下性質(zhì)： ；是點(diǎn)到直線（甚至到平面）距離公式推導(dǎo)的根據(jù)； 夾角公式 ；（坐標(biāo)形式） 即 （用于求模）； ；（坐標(biāo)形式） （某些不等式放縮證明的根據(jù)）數(shù)量積的運(yùn)算律：（1）交換律： ；（2）數(shù)乘律： ；（3）分配律： 。（請(qǐng)給出證明）注意：不滿足消去律：推不出結(jié)論，舉例： 。如：已知平面上直線l的方向向量=(-)，點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)A(1, -2)在l上的射影分別為和，且，其中=（ ）A B- C 2 D-2模公式的應(yīng)用舉例：（1）求證: ，其幾何意義是 。（2）若,則 （3）已知,則與的夾角為 （4）已知中每兩個(gè)向量夾角都為且,求值.7. 直線的方向向量 ，法向量

4、，若再已知定點(diǎn)，而且點(diǎn)，是單位法向量，則點(diǎn)P到直線的距離公式為： 。（向量形式）8. 結(jié)論： ，稱為向量三角形不等式（三）三角形的“四心”與向量1. 關(guān)于重心G，有重心公式：坐標(biāo)，并有性質(zhì)；2. 關(guān)于垂心H，有性質(zhì)；3. 關(guān)于外心O，有性質(zhì)；結(jié)論：O、H、G三點(diǎn)共線且；此線稱為歐拉（）線。（如何證明？）4. 關(guān)于內(nèi)心I，經(jīng)常涉及內(nèi)角平分線的研究，如。 如： 已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心在四邊形ABCD中，=（1，1），則四邊形ABCD的面積是 設(shè)斜的外接圓圓心為，兩條邊

5、上的高的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)= 。 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心（四）向量與解析幾何在解析幾何中，熟練掌握下列結(jié)論，有助于更好地運(yùn)用向量：（1）A、B、C三點(diǎn)共線等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得（）；（2）的重心G的坐標(biāo)公式為（3）直線的方向向量是什么？ 給定兩點(diǎn)：，那么，這也就是方向向量，橫坐標(biāo)單位化，得：，也就是說：直線的方向向量是，直線的法向量是例如：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程 （2）設(shè)、是軌跡上的兩點(diǎn)，若，求直線的方程一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有

6、方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_2零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：

7、兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；6相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的

8、坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱

9、為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（2）已知，與的夾角為，則等于_（3）已知，則等于_（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角

10、的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡：_；_；_（2）若正方形的邊長為1，則

11、_（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（2）已知，則 （3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值向量的模：

12、。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。如下列命題中： ； ； ； 若，則或；若則；。其中正確的是_提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（2）已知，且，則x_（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線九向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2