高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（6）——最值

1、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（6）最值前置作業(yè)一、最值問題的呈現(xiàn)方式一般有以下幾種：1. 函數(shù)的最值；2. 幾何圖形中的最值：如線段長(zhǎng)度，面積最值，幾何體的體積最值問題等；3. 實(shí)際應(yīng)用問題：實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，如費(fèi)用最少，時(shí)間最短等。二、解決最值問題的一般思路：基礎(chǔ)檢測(cè)：1 函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為 .2. 拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點(diǎn)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn),則的取值范圍是 .3 已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為 .4.

2、正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，則的最小值為 .5.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，(1)，R，則·的最大值為 .6.設(shè)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos = . 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（6）最值一、函數(shù)法求最值【例1】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e ，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A、B

3、，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由 【試一試】 如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程 二、幾何法求最值【例2】 拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求ABP面積的最大值【試一試】已知A(3,2)、B(4,0)，P是橢圓1上一點(diǎn)，求|P

4、A|PB|的最大值課后作業(yè)：1. 已知點(diǎn)P是拋物線y24x上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1，到直線x2y100的距離為d2，則d1d2的最小值是 2. 若C(，0)，D(，0)，M是橢圓y21上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_3.拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的距離的最小值是()4.已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m,0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則m的最大值為 。5.已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為，公比為，其前n項(xiàng)和為Sn，若ASnB對(duì)nN*恒成立，則BA的最小值為_6.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3

5、,2)，點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上 .設(shè)mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值7在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且4sin2cos2A.(1)求角A的大??； (2)若BC邊上高為1，求ABC面積的最小值8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓：y21(a>1)上的任意一點(diǎn)，AB是圓G：x2(y2)2的一條直徑(A，B是端點(diǎn))，·的最大值是.求橢圓的方程；前置作業(yè)一、最值問題的呈現(xiàn)方式一般有以下幾種：4. 函數(shù)的最值5. 幾何圖形中的最值，如線段長(zhǎng)度，面積最值，幾何體的體積最值問題等6. 實(shí)際應(yīng)用問題：實(shí)際生活中的最優(yōu)化問題，如費(fèi)用最少，時(shí)間最

6、短等。二、解決最值問題的一般思路：求最值或范圍常見的解法：(1)幾何法若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值；(3)求函數(shù)最值常用的代數(shù)法有配方法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性、有界性法等基礎(chǔ)檢測(cè)：2 函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為 .解：當(dāng)0x9時(shí)，sin 1， 所以函數(shù)的最大值為2，最小值為，其和為2.3. 拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點(diǎn)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn),則的取值范圍是 . 解析：由得拋物線在

7、處的切線方程為圖3即，即得可行域如圖3中陰影，目標(biāo)函平移目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)最小經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)最大，故的取值范圍是3已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為 .解析兩圓圓心均在第一象限位于x軸的同側(cè)，先求|PC1|PC2|的最小值，作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(2，3)，所以(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，從而(|PM|PN|)min5(13)54.4.正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，則的最小值為 .解析由a3a22a1，得q2q2，q2(q

8、1舍去)，由aman16a得2m12n116，mn24，mn6，所以.5.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，(1)，R，則·的最大值為 .圖8解析如圖8，·()·()(1)·()·2(1)2(1)·(21)×cos60°12，6.設(shè)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos =. 解析:f(x)=sin x-2cos x=(sin x-cos x)=sin(x-),其中sin =,cos =,當(dāng)x-=2k+(kZ),即x=2k+時(shí)函數(shù)f

9、(x)取到最大值,即=2k+,所以cos =-sin =-.答案:-高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題（6）最值一、函數(shù)法求最值【例1】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e ，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由滿分解答(1)由e ，得ab，橢圓C：1，即x23y23b2.設(shè)P(x，y)為C上任意一點(diǎn)，則|PQ| ，byb.若b1，則b1，當(dāng)yb時(shí)，|PQ|max

10、 3，又b0，得b1(舍去)若b1，則b1，當(dāng)y1時(shí)，|PQ|max 3，得b1.橢圓C的方程為y21.(6分)(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有n21，即n21，m.由題意可得SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°時(shí)取等號(hào)，這時(shí)AOB為等腰直角三角形，此時(shí)圓心(0,0)到直線mxny1的距離為，則，得m2n22.又n21，解得m2，n2，即存點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足題意，且AOB的最大面積為.(12分)老師叮嚀：當(dāng)所求的最值問題可以表示成某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，我們常常先建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)方法求出對(duì)應(yīng)的最值，稱這種方法為

11、函數(shù)法，這是解析幾何問題中求最值的常用方法函數(shù)法是研究數(shù)學(xué)問題的一種最重要的方法，用這種方法求解圓錐曲線的最值問題時(shí)，除了重視建立函數(shù)關(guān)系式這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，這些限制范圍恰好制約了最值的取得，因此在解題時(shí)要予以高度關(guān)注 【試一試】 如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程 解(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中

12、點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去故可設(shè)直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，(1)則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點(diǎn)M.因?yàn)镸在直線OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此時(shí)方程(1)為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|·|x1x2|·.設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d，則d.設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|·d·.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m

13、22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當(dāng)且僅當(dāng)m1，u(m)取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng)m1，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y2 20.二、幾何法求最值【例2】 拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足(4，12)(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求ABP面積的最大值滿分解答(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為ykx2，拋物線方程為x22py(p0)由得x22pkx4p0.(2分)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所

14、以解得故直線l的方程為y2x2，拋物線方程為x22y.(6分)(2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知當(dāng)拋物線過點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ABP的面積最大對(duì)yx2求導(dǎo)，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d.(9分)由得x24x40，則x1x24，x1x24，|AB| · ·4 .于是，ABP面積的最大值為×4 ×8 .(12分)老師叮嚀：當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線的距離的最值問題時(shí)，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩條平行線間的距離，就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上取得最值的點(diǎn)，這種求最值的方法稱為

15、切線法切線法的基本思想是數(shù)形結(jié)合，其中求曲線的切線方程需要利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，判斷切線與曲線的最值需要借助幾何圖形的直觀性，通過圖形來確定何時(shí)取得最大值，何時(shí)取得最小值【試一試】已知A(3,2)、B(4,0)，P是橢圓1上一點(diǎn)，求|PA|PB|的最大值滿分解答易知A(3,2)在橢圓內(nèi)，B(4,0)是橢圓的左焦點(diǎn)(如圖)，則右焦點(diǎn)為F(4,0)連接PB，PF.由橢圓的定義知：|PB|PF|10，所以|PB|10|PF|，所以|PA|PB|PA|10|PF|10(|PA|PF|)由平面幾何知識(shí)，|PA|PF|AF|，即(|PA|PB|)max10|AF|.而|AF|，所以(|PA|PB|)max10.故

16、選C.答案C老師叮嚀：由PAF成立的條件|PA|PF|AF|，再延伸到特殊情形P，A，F(xiàn)共線，從而得出|PA|PF|AF|這一關(guān)鍵結(jié)論根據(jù)圖形中特殊的點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系等，形中覓數(shù)、數(shù)中覓形，數(shù)與形的完美解決常能找到解題捷徑本題利用橢圓的定義巧妙地求解最值問題課后作業(yè)：1.已知點(diǎn)P是拋物線y24x上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1，到直線x2y100的距離為d2，則d1d2的最小值是 解析由拋物線的定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，如圖，過焦點(diǎn)F作直線x2y100的垂線，此時(shí)d1d2最小，因?yàn)镕(1,0)，所以d1d2，2.若C(，0)，D(，0)，M是橢圓y21上的動(dòng)點(diǎn)

17、，則的最小值為_解、由橢圓y21，知c2413，c，C，D是該橢圓的兩焦點(diǎn)令|MC|r1，|MD|r2，則r1r22a4，.又r1r24，1.當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí)，上式等號(hào)成立故的最小值為1.答案13.拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的距離的最小值是()答案可知過拋物線點(diǎn)的切線與直線4x3y80平行時(shí)，所求的距離最小，y2x.令2x，解得x，從而切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為y，即4x3y0，由兩平行線間距離公式，得點(diǎn)到直線的距離的最小值為d.4.已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m,0)(m>0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則m的最大值為 。解：根據(jù)

18、題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m.因?yàn)锳PB90°，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.5.已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為，公比為，其前n項(xiàng)和為Sn，若ASnB對(duì)nN*恒成立，則BA的最小值為_解、易得Sn1n，而ySn在上單調(diào)遞增，所以yA，B，因此BA的最小值為.6.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上 .設(shè)mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解：mn，(x，y)(m2n,2mn)，兩式相減得，mnyx.令yxt，由圖7知，當(dāng)直線yxt過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，