排列組合復(fù)習(xí)資料

1、2基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題 知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：3兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類）完成直接（分類）完成間接（分步驟）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類類辦法，第辦法，第i類辦法中有種不同的類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有方法，那么完成這件事共有 123+ 種不同的方法種不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n個(gè)步個(gè)步驟，做第驟，做第i步中有種不同的方法，步中有種不同的方法，那么完成這件事共有那么完成這件事共有

2、 1m2m3 種不同的方法種不同的方法.4排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn=(1)(1)!mnn nnmCm-鬃 +=!()!mnnCmnm=-01nC=mmmnnmACA=mn mnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素，按一定的順序排成一列素，按一定的順序排成一列從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素，把它并成一組素，把它并成一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)11mmnnAnA-=5例例1.由由0,1,2,

3、3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安應(yīng)該優(yōu)先安 排這兩個(gè)位置排這兩個(gè)位置.先排末位共有先排末位共有 然后排首位共有然后排首位共有最后排其它位置共有最后排其它位置共有13C13C14C14C34A34A由分步計(jì)數(shù)原理得由分步計(jì)數(shù)原理得=28813C14C34A6 7 7種不同的花種在排成一列的花盆里種不同的花種在排成一列的花盆里, ,若若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)1解一：分兩步完成；

4、解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置35A有種 排 法第二步排其余的位置：第二步排其余的位置：3454A A共有種不同的排法44有 A 種 排 法解二：第一步由葵花去占位解二：第一步由葵花去占位：24A有種 排 法第二步由其余元素占位：第二步由其余元素占位：55A有種 排 法2545A A 共 有種 不 同 的 排 法7例例2. 72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不

5、同的排法種不同的排法55A22A22A=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè) 復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列， 同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 8 七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，共有多少種不同的排法？不同的排法有：234234288AAA鬃=（種）練習(xí)2955A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的5 5個(gè)元素

6、中間包含首尾兩個(gè)空位共有個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種種 不同的方法不同的方法 46A由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種55A46A相相相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)10馬路上有編號(hào)為馬路上有編號(hào)為1 1、2 2、3939的九盞路燈，的九盞路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中3 3盞燈關(guān)掉，盞燈關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的但不能關(guān)掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞，也不能關(guān)盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法有多少種。有多少種。練習(xí)3不同的關(guān)燈方法有：3510C =（種）11四四. .定序問題縮倍定序問題縮倍( (空位空位. .插入插入) )策略策略

7、例例4.74.7人排隊(duì)人排隊(duì), ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 多少種不同的排法多少種不同的排法. .解:( (縮倍法縮倍法) )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題問題, ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列進(jìn)行排列, ,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：是： 7733AA（空位法）設(shè)想有（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)種方法，其余的三個(gè)

8、位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則共有 種種 方法方法47A147A思考思考:能否讓甲乙丙先坐能否讓甲乙丙先坐?12（插入法（插入法) )先排甲乙丙三個(gè)人先排甲乙丙三個(gè)人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人依次插入共有四人依次插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7定序問題可以用縮倍法，還可轉(zhuǎn)化為插定序問題可以用縮倍法，還可轉(zhuǎn)化為插空模型處理空模型處理練習(xí)題41010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？求從左至右身高逐漸增加，共有多少種

9、排法？55105C C13例例5.85.8人排成前后兩排人排成前后兩排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當(dāng)于相當(dāng)于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有個(gè)特殊元素有_種種,再排后再排后4個(gè)位置上的個(gè)位置上的特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5個(gè)位置個(gè)位置上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列

10、問題元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究再分段研究.141010名學(xué)生分坐兩行，要求面對(duì)面坐下，名學(xué)生分坐兩行，要求面對(duì)面坐下，但其中甲乙兩位同學(xué)不可相鄰也不可面但其中甲乙兩位同學(xué)不可相鄰也不可面對(duì)面，有多少種坐法？對(duì)面，有多少種坐法？練習(xí)題5118478C C A118668C C A共有118118478668C C AC C A+(1)甲在兩端：(2)甲不在兩端：15例例6.6.有有5 5個(gè)不同的小球個(gè)不同的小球, ,裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)個(gè)不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個(gè)球每盒至少裝一個(gè)球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解: :第

11、一步從第一步從5 5個(gè)球中選出個(gè)球中選出2 2個(gè)組成復(fù)合元共個(gè)組成復(fù)合元共 有種方法有種方法. .再把再把5 5個(gè)元素個(gè)元素( (包含一個(gè)復(fù)合包含一個(gè)復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法. .25C44A根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有25C44A16練習(xí)題6某種產(chǎn)品有某種產(chǎn)品有4只次品和只次品和6只正品，每只均不只正品，每只均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試中被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少好在第五次測(cè)試中被

12、發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種？種？314464576C C A =17例例7.有有10個(gè)三好學(xué)生名額，分給個(gè)三好學(xué)生名額，分給7個(gè)班，每個(gè)班，每班至少一個(gè)班至少一個(gè),有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分法。共有種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC-18練習(xí)題7 有編號(hào)為1

13、、2、3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把這10個(gè)小球全部裝入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有多少種?2615C=19例8. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，從中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有多少種？44106(463)141CC-+=取出的取出的4點(diǎn)不共面情形復(fù)雜，故采用間接點(diǎn)不共面情形復(fù)雜，故采用間接法。取出的法。取出的4點(diǎn)共面有三類：點(diǎn)共面有三類：464C（1）過四面體的一個(gè)面有）過四面體的一個(gè)面有 種；種；（2）過四面體的一條棱上的三個(gè)點(diǎn)和對(duì)棱）過四面體的一條棱上的三個(gè)點(diǎn)和對(duì)棱 的中點(diǎn)的平面有的中點(diǎn)的平面有6種；種；（3）過四面體的四條棱的中點(diǎn)且與另兩

14、條）過四面體的四條棱的中點(diǎn)且與另兩條棱平棱平 行的平面有行的平面有3種；種；故取故取4個(gè)不共面的點(diǎn)有個(gè)不共面的點(diǎn)有20以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，能以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，能組成多少個(gè)不同的四面體？組成多少個(gè)不同的四面體？ 481258C -=練習(xí)821解排列組合題的常用方法4. 定序問題縮倍法定序問題縮倍法22練習(xí)1.（1）6本不同的書分給5名同學(xué)每 人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書分給6名同學(xué)每人至 多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書全部分給5名 同學(xué)每人至少一本，有多 少種不同的分法？56A56C5526AC捆綁法 第2課時(shí) 排列組合綜合應(yīng)用23練習(xí)1（5）6本不

15、同的書分給甲、乙、丙3名同學(xué) 每人兩本，有多少種不同分法？（4）6本不同的書分給3名同學(xué)，甲1本、乙2 本、丙3本，有多少種不同的分法？3333222426).(2AACCC：解2224261CCC：解332516CCC解：分配問題均分有序注：222426CCC捆綁法24練習(xí)1（6）8本不同的書分給3名同學(xué)，其中1名同 學(xué)2本、另兩人3本，有多少種不同分法？3322333628).(AACCC解：分配問題25練習(xí)1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會(huì)公益活動(dòng)，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？34371CC：解分配問題22223437).(2AACC：解26練習(xí)1：（8）

16、將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每個(gè)班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少？分配問題90).(33222325AACC解：27練習(xí)2：（1）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問題解：相當(dāng)于將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份隔板法3101037C共有不同方法數(shù)隔板數(shù)小球數(shù)解：28練習(xí)2：（2）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球的不同放法有多少種？分配問題解：將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份但盒子又不能空隔板法3667C有不同方法數(shù)個(gè)空隙個(gè)小球有解：29練習(xí)3：四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是A，從其它頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使他們和點(diǎn)A在

17、同一個(gè)平面上，則共有多少種不同的取法？3335C解：30練習(xí)4：用正方體的8個(gè)頂點(diǎn)共可以組成多少個(gè)不同的四面體？)246(4448CC解：31練習(xí)5：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數(shù)？先成雙后成單3360.112121212410CCCCC：解210C解：3360.244114116118120 ACCCC：解（1）4只鞋子恰成兩雙；(2)4只鞋子沒有成雙；1140.121229110CCCC解：(3)4只鞋子恰有2只成雙；32練習(xí)6：8名外交工作者，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)從則8人中選3個(gè)會(huì)英語(yǔ)，3個(gè)會(huì)日語(yǔ)的人去完成一項(xiàng)任務(wù)，有多少種不同的選法？3333342312351322.).().(CCCCCCCC解：33例10：給下面的5個(gè)行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，問共有多少種不同的涂色方案？23154種）共有種顏色涂色有：）用種顏色涂色有：）用解：分兩類完成(7242314412333444123334ACACACAC練習(xí)7：用4種顏色給下面的5個(gè)行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的涂色方案？34練習(xí)8：6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至