離散系統(tǒng)最優(yōu)控制

1、最大值原理補充講義2003-03-305. 1最小值原理定理(最小值原理的一般形式)被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X = f x(t),u(t),t , x(t°) =X0其中 x 二 Rn, u 三：二 Rr, r 空 n滿足終端約束條件N (x(t f ),t f) = 0目標泛函tfJ =8x(tf),tf +j *(x(t),u(t),t)dtN假設：，一， 均存在且在各自的定義域內(nèi)連續(xù)，在任意包cx(tf )cx(tf)ex含在其定義域內(nèi)的有界子域 DRn內(nèi)，對變量x滿足Lipschitz條件，即對任意x1，x2 D，均有一個常數(shù)0< k <1，使得f (x!，u,t)

2、f(X2，u,t)蘭 kXj X2引入'(t)定義Hamilton函數(shù)H x(t),u(t), (t),t =x(t),u(t),t T(t)f x(t),u(t),t設u(t)及x(t)是使目標泛函最優(yōu)的控制及狀態(tài)，則滿足以下條件：-fh(1) :? = = f (:? l?,t)(狀態(tài)方程)Ok(2) 迤H(協(xié)態(tài)方程)ex(3) H?(t),U(t), (t),tHrmin Hx(t),u(t), (t),t對所有 t t°,tf(極值條件)(5) h(tf)=蘭(橫截條件) ex 丄fa二kiHX(tf),?(tf), (tf ),tf- J0CtfCtf證明：(采用增

3、量法)(對于時不變系統(tǒng)，不考慮終端約束，終時固定，終態(tài)任意。)1. 泛函增量：U?(t)變到i?(t)Hu(t)門時，?(t)相應變化到?(t)Hx(t)。對于 (t)，由于它為參量，為獨立變量，所以不考慮 (t)的變化。則.嚴(t) = f (?(t) +§x(t),i?t) +6u(t) )- f (対t),u?(t) 、：應t°)=0 指標函數(shù)也有相應的變化。J = J X(t) x(t),!?(t)、u(t) -J X(t),?(t)-v X(tf) 、x(tf)-v X(tf) f X(t) 、x(t), i?(t)、u(t) j iXt), ?(t) ；dt(以

4、下為書寫方便，不寫(t)。由于 d(?J(t)怎x(t) =Z?6x 十扎丁石x=/J怎x 十kT，f(?十 6x, ?+ 6u) f (?,I?)】dtt0fd(t)、x(t)dt將上式兩邊同時加(:?x,l?(?,1?)，再從to到tf積分，得：”dt +血(外+嘆 U?+咅u)*(£、o=H (貳 + 鼓,i? + §u,入)一 H (兄 U? k dt + f &T§xdtt0t°其中f d H (t)抵億)=紀(t)x(t) ：f =叮(tf p5x(tf)(由于 x(to)固定)"ou?(tf)-x(tf)(？(tf)、x(

5、tf)-J(?(tf) o、x(tf)xt f)因此:t f、J 7 x(tf) 、x(tf) -二対tf)(? 、x,u? 、u)_ (?U) dt0=f fH(? + 6x,U? + §u*)-H(x!U?h)dlt + jtf(/t0-t0=IH (? + 6x, U? +帝u,入)- H (乂 i?+5u,入)+ H (乂 ？+§u,h) - H(x,i?扎)dtt0xfH(x：u>Wdt 七hl次丿H (?,u? Hu, ) - H (兄？，) dtx dt ox(tf)0tf +tf =f0t t0 tf-t0其中:'X(tf)Jx 汨區(qū)o、x(t

6、) dt、u, J - H (>?,!?, ) dt R譏 TXH(XEdt+06x(tf)|、ex丿tfH(?,? +加")(x®)( &+0|啦)|砂+0以山)| b £x&2. 特殊控制引起的增量設是閉區(qū)間to,tf上的任意一點，且u(t)在t =.處連續(xù)，且；0為任意小的實數(shù)，滿足；tf，給u?(t) 一個變分，滿足7i(t)t° Wt ci,£ + 名 ct 蘭tfu?(t)u為門內(nèi)的任意允許控制值。這種變分稱為“針狀變分”這一變分' u將引起x(t)的變分、：；x，貝y：J f H (X,u :-u,

7、) - H (?,?)dt R to-H(?,u, ) -H(?,u,)dt R；（進一步要證明R； = o(；):x加H(X,U,扎)6H(X,i?人)l ext f0!y(t) dt of： x(tf)3. 兩個引理引理1：設tx(t)蘭a + b( x(t) di,a>0,b>0則：|x(t)| "eb(t。)證：tb t"ix(t)蘭a +b x(E) dE =a.卩+ |x(i) di5_a to令：y(t) = (|x(s|d2則：,fb、y(t) = x(t)| <a 1 +-y(t) i< a丿y(t) vb蘭ai+y(t)a/y(y

8、()d亡a(t-to)01 + yG)a< b 、atdJ蔦y！ab)左式一 *d In1+ y(t) i八1yb Ia丿a則，1+ y(t)Meb(g)a|x(t)| <a 1 + b y(tJ<aeb(t-o)l a 丿引理2:下列不等式成立、x(t)|、x(t)dt證：、x(t)|,；fxT(t)、x(t) =、'、Xi2(t)111，(t)| _ 1 26xT(t) &(t)|0x(t)| 桐x(t)dt 卜x(t) 一 2(t)'b-x(t)二、x(t)4. 針狀變分下，狀態(tài)增量的估計(1) 在區(qū)間t °)上，有心=f (5?+6沁

9、),!？)- f (5?切、x(t°) =0顯然、x(t)=0t (to,)(2) 在區(qū)間(,；上，尸,(t) = f (外+遇護衛(wèi)尸f (兄U? 2d則：尹=f (?+6黔,u) - f(x,u)】十f (?,u) - f (?,1?)】由于 f 滿足 Lipschitz 條件，f (5? + 6捫,口)-£(丸訓蘭 dp / , 0<d<1,又 f(x,U)， f(? - x,?有界則:由引理2-J不陀(t)| 蘭d|%(t)| +M積分，得：t6込(t)| 蘭 J (M +d|性x(s)| dsIt乞 M 二亠 d ： |.x(s) dsX由引理1,:.x

10、(t)乞 M ；ed(t)空 M ；ed ；所以在區(qū)間,；上，卩jX(t)與:為同階無窮小。(3) 在區(qū)間；,tf上、x = f (5?亠心:x,U) - f (XU?|xC) =0(；)由Lipschitz 條件窗=| f f (?,?蘭 d|jx(t)|由引理2-J卜 x(t)x(t)dt在區(qū)間內(nèi)由.到t積分陋込(t)| 勻+d J；Jx(s)|ds由引理1，卩必蘭2必"+卸=o(e)所以在整個區(qū)間t°,tf上,5. 估計余項R；. = o（；）2廣F導一呼爭t+認*）|址+。憐（tji）其中，第2項、第3項為；的高階無窮小。對第一項，由積分中值定理，存在 0乞二叮，由f，厶的連續(xù)性，得 第一項第一項-；、；xT（. 片）| ； H X（ 門），U, （；對 汨 X（ ，U（ 門），（）ILx汶由于汨存在且有界，所以dx= qM j +| M 2| ）Q唱 + o（e） = o（e）R為o（；），即為的高階無窮小。因此6J = J代站（？,u,幾）- H （X, U? h）dt o（；）6. 極值條件如果系統(tǒng)有極小值，則、J = J（i?、u） - J（ _0由積分中值定理，存在0乞二2 _1J - H ?（ 込）,u,（