立體幾何探究性試題的求解策略

1、FBEQA要使P F與 B斷成角是60：，只需使.FPQ =60；，只需使P F = 2 P QgAP-x ，. 只需使P F 22又在 Rt APF 中，立體幾何探究性試題的求解策略探究性問(wèn)題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立；在近幾年的高考試卷中較多地出現(xiàn)了立體幾何方面的條件開放的探究性試題，內(nèi)容涉及異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角，平行與垂直等方面；下面就各類問(wèn)題來(lái)探討一下求解的策略。一、探究?jī)蓷l異面直線所成的角例1（ 2004浙江）如圖 1已知正方行 ABCD和矩行 ACEF所在平面互相垂直,AB二AF =1，試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60

2、，并加以證明。分析：設(shè)AP =x（0乞x乞2），利用PF與BC所成的角是60來(lái)構(gòu)建以x為元的方程，再解 x就確定了點(diǎn)P的位置。.AC =2 設(shè) AP =x（0 ex乞 2）解法1:如圖2, 丁 ABCD是邊長(zhǎng)為 2的正方形,作PQ _ AB交AB與Q，則PQ / BC，相交直線PF與PQ所成的角是異面直線 PF與BC所成的角。平面 ABCD _ 平面 ACEF,ACEF 矩行，.AF _ AC, AF _ 平面 ABCDCAF _ PQ，: AB 一 AF 二 A，PQ _ 平面 ABF ,PQ _ FQ，所以當(dāng)P點(diǎn)是線段AC的中P F=:：A P 2 A；=F 1 ,， x2x二 x 2 1

3、 x 1點(diǎn)時(shí)PF與BC所成的角為60 。二、探究直線與平面所成的角例2：（ 2006年江西）如圖4，在三棱錐 A-BCD中，側(cè)面ABD , ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD二'、3,BD二CD =1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形， 在線段AC上 是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角，若存在，確定 理由。分析：如圖5把在三棱錐 A-BCD補(bǔ)成以BD為棱的 正方體HCDB-AMNG,使我們對(duì)題意及圖形有透徹理解DC找到ED與面BCD所成的角。在AC上任取一點(diǎn)E,使CEx(0 < x 2)，利用ED與面BCD所成的角為30來(lái)構(gòu)建方程，再求x的值，若x.0.2就確定了 E點(diǎn)

4、的位置，若x.0八2則說(shuō)明滿足條件的 E點(diǎn)不存在。解法1如圖6,在三棱錐 A BCD中，側(cè)面ABD與ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，AD = 、3, BD = CD = ABC是正三角形，則 AB 二 BC 二 CA 卞2G取 BC 的中點(diǎn) O 連結(jié) A Q DOBC _ AO,BC _ DO，； AO - DO =0112面 BCD，平面 AOD 二 HD,貝 U AH_ 平面 BCD，在 R BCD 中，OD BC 在 Rt ACO 中，AO 3 AC 6，在 Rt AOD 中,2 -2 2 2cos ADOD OD A。2AD *ODDC.sin ADO在 r adhHF中

5、AH = AD sin ADO =1，設(shè) CE 二 x（0 乞 x 2）,二BC丄平面AOD，二平面BCD丄平面AOD作AH丄DO ,交DO的延長(zhǎng)線于H，則平E Df 面B C腳成的角。由ThCEACe/x（沫）2在 rL c d 中 ,D E= -. C2E， C2D=, 2 1，要使ED與面BCD成30角，只需使1,x = 1,2當(dāng)CE =1時(shí)ED與面BCD成30角三、探究二面角例3 (2005年浙江)如圖在長(zhǎng)方體 ABCDA1BC1D1中，AD = AA = 1, AB = 2,點(diǎn)E在TL棱AD上移動(dòng)，當(dāng) AE等于何值時(shí)，二面角 0 - EC - D的大小為一。4D1CB作EF _CH于

6、F ,平面 AHC _平面BCD,. EF _平面BCD,. EDF 就是分析：設(shè)AE =x（0乞x空2），利用二面角 U _ EC _ D的平面角的大小TT為一來(lái)構(gòu)建以x為元的方程，求解 x，就確定AE的值了。4解法1由于ABCD -ABCiU是長(zhǎng)方體，則 DQ _平面ABCD，作DH _ EC于H ,連結(jié)UH,DE則DH是QH在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得，_ EC,故ZD1HD是二面角U-EC-D的平面角。AE=x(0 mx m2)， 在 r£ ADE中，DE三 AE AD2 . x2 1 ， 在rLt 書，C E 2 C E2 , (二占E )2，B1由 CCE *D

7、H CD *BCx2DHz r,，要使.D1HD，只CE .(x-2)2 14CD *BC需使 DH 二 DiD =1，AE =2- J3時(shí)，二面角1，解得x=2-、.3,x=：2 、3 （舍去）所以當(dāng),（x-2）2 1Di - EC - D的大小為 。4四、探究線面垂直例4 （ 2000全國(guó)）如圖已知平行六面體ABCD-ABfU的底面 ABCD是菱形，且CD.GCB GCD = BCD =60：，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)能使 AC _平面C1BD ?請(qǐng)給出CC1證明。分析：執(zhí)果索因，從結(jié)論 AC _平面GBD出發(fā)，進(jìn)行逆向思維，逐層探究使它成立的充A分條件，聯(lián)想平行六面體是由長(zhǎng)方體壓扁得到，從而CDC

8、D猜想1，再?gòu)?入手就容易證明了。CC1CC1解法1：如圖設(shè)AC - BD -O，連結(jié)AC,OC1 ；:ABCD 是菱形，AC _ BD, BC =CD，又； GCBGCD =60lCG =CG BC=DC, LGCBiGCD, C1C1DGO _ BD T 心 GO = O BD _ 平面 AAC1C, AC _ BD，當(dāng)=1 時(shí)，平行六CC1面體ABCD - ABCD的六個(gè)面是全等的菱形，將BCG B作為下底面時(shí)同理可得CDAC _ BG , TBD - BG =B,. AC _ 平面GBD ，所以當(dāng)1 時(shí)，使c。AC _ 平面 GBD。分析2：執(zhí)果索因，從結(jié)論 AC _平面GBD出發(fā)，利

9、用空間向量的幾何運(yùn)算法則，則“柳 暗花明又一村”了。五、探究線面平行例六（2004年湖南）如圖在底面是菱形的四棱錐 P ABCD中，乙ABC = 60*, PA = AC = aDPB = PD = -：:；2a,點(diǎn)E在PD上，且PE :ED = 2 :1在棱PC上是否存在一點(diǎn)F ,使BF /平面AEC ?證明你的結(jié)論。分析1：因?yàn)椴灰渍业狡矫?AEC內(nèi)直線與BF平行，所以先找 BF 所在的一個(gè)平面與平面 AEC平行，注意到PE : ED =2:1 ,容易想到取PC的中點(diǎn)F , PE的中點(diǎn)M，先證平面BMF /平面AEC從而就證明了 BF /平面AEC。六、探索角、距離的定值與最值例7：在邊長(zhǎng)

10、為a的正方形ABCD中,M, N分別為DA,BC上的點(diǎn)，且MN / AB，連結(jié)DCN2ax)AC交MN于點(diǎn)P，現(xiàn)沿MN將正方形ABCD折成直二面角。 求證無(wú)論MN怎樣平行移動(dòng)（保持 MN / AB），. APC的大小不變;當(dāng)MN在怎樣的位置時(shí)， M點(diǎn)到面ACD的距離最大？解法一：設(shè) AM 二 x,則CN=a-x, PA =、2x,PC =、2(a - x)，2 2 2 2 2 2 2 2AC = AD CD = AM DM CD = 2a 2x -2ax2 2 2 2 2 2 2cos APC = PA PC AC 二 2x _2(u)二(2a _2x2PA *PC22x J2(a-x)-AP

11、C為定值120：x (ax) x2(a _ x)2過(guò)M作MH _ DA于H，則MH的長(zhǎng)度為點(diǎn) M到面ACD的距；MH二而 x(a -x) <_22x (a -x) a一2x二i取最大值x2 (a-x)冷 - 2)2a2,取最小值=2 a , X時(shí)，MH max2 a22,4解法2:向量法設(shè)AM =e則CN =a -e，以M為原點(diǎn)建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則A(e,O,O), P(O,e,O), C(O,a,ae), D(0,0, a-e)PA=(e -e,0), PC =(0,a -e, a -e),PA .PC所以 cos NAPC = A i C =PA 卜 | PCe2 -ae.&#

12、39;2e . 2( a -e)1 ， - APC為定值12O2Cy設(shè)MH 平面ACD于H，且=xMAzMD=x(e,0,0)y(0, a, a _e) z(0,0, a _ e) = (xe, ya,( y z)(a _e)且 x y z = 1MH *AD =0由 MH *DC =0 得x y z =1-xe (y z)(a-e)2 =0 ya2 = 0x y z =1x(ae)! e二彳y =0(a-e)2e2z 一 e2 (a -e)2MHe(e)222,0, 2e (ae)2)，mhe2 十(ae)2e2 +(ae)22 2e (a-e) 2 ee(a e)Q t(a _e)e2 (

13、ae)2、e2 (a -e)m ax、2a4如圖，正方形在AC上移動(dòng)，點(diǎn)e，取2維-；）2；2，當(dāng)e，時(shí),2取最小值遼a，2ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。N 在 BF 上移動(dòng)，若 CM = BN = a （0 ： a ： ； 2）。（I）求MN的長(zhǎng)；（n）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??；（川）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面 MNA與面MNB所成的二面角:的大小。得 MP / NQ ,且 MP = NQ ,即 MN Q P是平行四邊形。 MNPQ由已知CM =BN =a , CB =AB =BE =1AC = BF2 , CP = BQ =空 a2(1 -2 -2MN

14、=PQ(1 CP)2 BQ2(0 ： a 、2)2 1 2(II )由(I) MN , (a )2 £ 所以，當(dāng) a =亍時(shí)，MN 別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為 二2的中點(diǎn)(III )取 MN 的中點(diǎn) G，連結(jié) AG、BG , v AM = AN, BM = BN , G 為 MN所以, AG _ MN , BG _ MN，即.AGB即為二面角的平面角：又AG = BG =丄6 ,4(予由余弦疋理有cos =42 6 2)(4)111故所求二面角為：31二二一 arccos-3解法二向量法：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz.F(1,0,0), B(0,1,0),

15、C(0,1,1), AM = (1 一AC2卡(0,1,1), aa i 1BN ： = BF,AN =(1 -AB = AF ： =(a, -2a,0)MN =AN - AM； (a,0, a - .2)(a ；2)2 ；(0Ya2)、2)21 得 a 22 2 2min 2(3) ；a 2,mN2=(1,0 _1),又 MA 二1 (0,1,1),MB 二2 21 (0,1, -1)所以可求得平面2MNA與平面N B的法向量分別為m = (-1,1,1) ,n 2 - (1,1,1),所以cos : rm =-1.33所以 -二-arccos -3總結(jié)：對(duì)于角的定值和距離的最值問(wèn)題解決常運(yùn)

16、用向量的知識(shí)與二次函數(shù)，均值不等式，余弦定理等知識(shí)綜合運(yùn)用， 相互轉(zhuǎn)化就可達(dá)到解決的目的； 求角度通常用向量的數(shù)量積， 求兩 點(diǎn)間距離用向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算。對(duì)于立體幾何的探索性問(wèn)題一般都是條件開放性的探究問(wèn)題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在， 尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，運(yùn)用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問(wèn)題解決。如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件， 或出現(xiàn)了矛盾，則不存在。對(duì)于立體幾何的探索性問(wèn)題最適合用空 間向量的方法，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)形判斷，在解題過(guò)程中把“是否存在的問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)”是否有解、“是否有規(guī)定范圍內(nèi)”

17、有解的問(wèn)題，使問(wèn)題簡(jiǎn)單、有效地解決。請(qǐng)同學(xué) 們善于運(yùn)用向量法。專題突破：1、(湖北卷18)如圖，在棱長(zhǎng)為 1的正方體 ABCD B" 6、D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)。(I) 試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E丄平面AB 1F;(n)當(dāng)D1E丄平面AB1F時(shí)，求二面角 C1 EF A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)。2、如圖，矩形ABCD中,AB =1, BC =a,(1) BC邊上是否存在點(diǎn) Q，使得PQ _ QD，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2 )若BC邊上存在唯一的點(diǎn) Q,使得PQ QD,指出Q點(diǎn)的位置，并求出此時(shí) AD與平面PDQ所成角的正弦值;QC(3)在(2)的條件下，求二面角 Q PD A的正弦值。3、( 2006年湖北卷)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體 ABC A1B1C1D1中,4、( 2006年江西卷)如圖，在三棱錐A BCD 中，側(cè)面 ABD、ACD是全等的直角三角形,AADBAD是公共的斜邊，且 AD =3 , BD = CD = 1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形(1) 求證：AD_BC(2) 求二面角 B AC D的大小(3) 在直線 AC上是否存在一點(diǎn) E,使ED與面BCD成30角？若存 在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由