四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-函數(shù)的基本性質(zhì)提高知識梳理

1、函數(shù)的基本性質(zhì)（提高）【考綱要求】1. 了解函數(shù)的定義域、值域，并能簡單求解2. 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義3. 會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)【知識網(wǎng)絡(luò)】函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性單調(diào)性周期性【考點(diǎn)梳理】1單調(diào)性（1）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻麑τ诙x域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，若都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間。（3）判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法：單調(diào)四法，導(dǎo)數(shù)定義復(fù)合圖像定義法：用定義

2、法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是設(shè)，且；作差；變形（合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）判斷的正負(fù)符號；根據(jù)定義下結(jié)論。復(fù)合函數(shù)分析法設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：增增增增減減減增減減減增導(dǎo)數(shù)證明法：設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)，總有，則在區(qū)間上為增函數(shù)（減函數(shù)）；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)（減函數(shù)），則。圖像法：一般通過已知條件作出函數(shù)圖像的草圖，從而得到函數(shù)的單調(diào)性。2、奇偶性(1)定義:如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)

3、,則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù);如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù).理解：()上述定義要求一對實(shí)數(shù)x,-x必須同時(shí)都在f(x)的定義域內(nèi),注意到實(shí)數(shù)x,-x在x軸上的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱(或與原點(diǎn)重合),故知f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是f(x)具有奇偶性的必要條件.()判斷函數(shù)奇偶性的步驟:考察函數(shù)定義域;考察f(-x)與f(x)的關(guān)系;根據(jù)定義作出判斷.()定義中條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) =-1 (f(x)0)f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=

4、0;或f(-x)=f(x) =1 (f(x)0)(2)延伸() 設(shè)函數(shù)f(x)是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個(gè)函數(shù),則有f(x)=+ =g(x)+p(x)其中,g(x)= 為偶函數(shù),p(x)= 為奇函數(shù).即對于定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的任何一個(gè)函數(shù)f(x), f(x)總可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和.()若f(x)為奇函數(shù)且零屬于f(x)的定義域,則f(0)=0.(3)奇(偶)函數(shù)圖像的特征()奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱;()偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱.(4)奇偶性與單調(diào)性的聯(lián)系當(dāng)函數(shù)f(x)既具奇偶性,又在某區(qū)間上單調(diào)時(shí),我們可利用奇、偶函數(shù)的定義導(dǎo)出以下命題:設(shè)G,G為函數(shù)（）的定義域的子區(qū)間，并且

5、區(qū)間與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有()當(dāng)（）為奇函數(shù)時(shí)，（）在區(qū)間和區(qū)間上的單調(diào)性相同；()當(dāng)（）為偶函數(shù)時(shí)，（）在區(qū)間和區(qū)間上的單調(diào)性相反這一命題又可凝練為八個(gè)字：區(qū)間對稱，奇同偶反【典型例題】類型一、求（判斷）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。解：設(shè)， 函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+)；(2)定義域?yàn)?，其中u=2x-1為增函數(shù)，在(-，0)與(0，+)為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；(3)定義域?yàn)?-，0)(0，+)，單調(diào)增區(qū)間為：(-，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+).

6、類型二、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)例2. 已知二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.解：(1)對稱軸是決定f(x)單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4f(2)=-2a+11-4+11=7.舉一反三：【變式】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 解：單調(diào)遞減且值域(0,1，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋蓤D象知，若有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0,1）.類型三、判斷函數(shù)的奇偶性例3. 判斷

7、下列函數(shù)的奇偶性：(1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)；(2)x-10，f(x)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)為非奇非偶函數(shù)；(3)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(5)，f(x)為奇函數(shù)；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)

8、=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(7)，f(x)為奇函數(shù).舉一反三：【變式】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).證明：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).類型四、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例4設(shè)是偶函數(shù)（1）求的值;（2）證明：在上為增函數(shù)解

9、析：（1）方法一：是偶函數(shù)且其定義域?yàn)椋?， ，解得或， 方法二：是偶函數(shù)且其定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)即，解得或 （2）方法一：定義法由（1）知：設(shè)，則， ，即故在上為增函數(shù)。方法二：導(dǎo)數(shù)法由（1）知：，時(shí)時(shí)故在上為增函數(shù)。點(diǎn)評：偶函數(shù)在其定義域內(nèi)恒成立，因此可以應(yīng)用恒等式的相關(guān)方法進(jìn)行處理。在利用定義法證明單調(diào)性的時(shí)候，必須注意書寫格式的規(guī)范。舉一反三：【變式】已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 【答案】(1)證明：由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x)，f(x)為奇函數(shù) (2)證明：先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1)f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(