任意軸對稱荷載作用下橫觀各向同性圓柱體的變形分析

1、任意軸對稱荷載作用下橫觀各向同性圓柱體的變形分析李金蘭劉賓1999級土木工程專業(yè)巖土工程班摘要： 本文用冪級數(shù)法分析了任意軸對稱法向稱荷載作用下橫觀各向同性圓柱體的變形問題。將應(yīng)力函數(shù)和法向荷載展成為Fourier 級數(shù)的形式，利用問題的邊界條件求解方程中的未知系數(shù)，得到相應(yīng)問題的應(yīng)力及位移解。通過對不同各向異性參數(shù)對應(yīng)的應(yīng)力進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)軸向應(yīng)力受彈性模量變化影響顯著，環(huán)向應(yīng)力對泊松比變化較敏感。關(guān)鍵詞：橫觀各向同性 圓柱體 變形分析 Fourier 級數(shù)文獻(xiàn)從橫觀各向同性材料的基本解出發(fā)，用積分的方法得到了軸對稱問題的基本解。文獻(xiàn)采用復(fù)變函數(shù)解法橫觀各向同性彈性力學(xué)空間軸對稱問題應(yīng)力分量、

2、位移分量以及邊界條件的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式。以上研究成果均能較好的反映位移隨各向異性參數(shù)的變化規(guī)律，但不能較好的反映應(yīng)力的變化情況。本文用冪級數(shù)法，將應(yīng)力函數(shù)和法向荷載展成Fourier 級數(shù)的形式，根據(jù)相應(yīng)的邊界條件建立方程組，利用Matlab符號功能對公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并得到了應(yīng)力解及位移解；并對其中的應(yīng)力隨材料性質(zhì)的變化進(jìn)行分析。2 橫觀各向同性圓柱體基本方程及邊界條件橫觀各向同性體的各向同性面上所有方向都是等效方向，因此，不僅可以采用直角坐標(biāo)系，也可以采用圓柱坐標(biāo)系。從幾何及載荷的特點(diǎn)考慮，采用圓柱坐標(biāo)系（），其中軸為對稱軸，正向鉛直向下，三個(gè)坐標(biāo)軸都與材料主向重合。圓柱體半徑為,長度為。假定

3、圓柱體只受到軸對稱的法向荷載作用，如圖1所示。圖1 荷載示意圖Fig1. the load diagram由于一切影響力學(xué)表現(xiàn)的因素（幾何、荷載及物性）都具有軸對稱性質(zhì)，所以，應(yīng)力、應(yīng)變及位移都與無關(guān)，實(shí)際上成為二維問題。該問題通過求解應(yīng)力函數(shù)來確定應(yīng)力分量，即相容方程：式中：算子（i=1,2） （1）應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的的關(guān)系為： （2） 其中，s1，s2的含義可參見文獻(xiàn)1。為徑向正應(yīng)力，為環(huán)向正應(yīng)力，為軸向正應(yīng)力，為剪切應(yīng)力；邊界條件為：時(shí)， 時(shí)， （3）3問題的求解在只有軸對法向稱荷載作用下，將此荷載按傅立葉余弦級數(shù)展開，按下方法求解：用分離變量法，根據(jù)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)力函

4、數(shù)的通項(xiàng)形式為：，代入相容方程（1）得： （4）其中，是第一類零階修正Bessel函數(shù)。將任意法向荷載展開為傅立葉余弦級數(shù)，即 式中：，。將（4）代入（2）得： （5）參數(shù)、的表達(dá)形式見附錄。其中將（5）代入（3）得： 、 、 、將 、 、 、代入式（5）可求得應(yīng)力分量、。4實(shí)例分析有限長的橫觀各向同性實(shí)心圓柱體在軸對稱的法向荷載作用下的問題進(jìn)行了分析。圓柱體半徑r=0.5m，l=40m，取圓柱體受到拋物線型的法向分布荷載p(z),有 （），展開為傅立葉余弦級： 問題的邊界條件為：時(shí)， 時(shí)， （6） 根據(jù)表1、表2中所取的橫觀各向同性材料參數(shù)，確定出每組參數(shù)對應(yīng)的，s1，s2值；取m=20，確

5、定出參數(shù)、的值；代入（5），與（6）聯(lián)立求解出參數(shù) 、 、 、（m=1,220）；求解出應(yīng)力分量、；此過程由matlab 程序來完成。表1 彈性模量取值（MPa）Table 1 Values of Youngs modulus參數(shù)水平方向彈模z軸方向彈模水平方向泊松比z軸方向泊松比z軸方向彈模變 化2002000.30.32001500.30.32001000.30.3水平方向彈模變 化2002000.30.31502000.30.31002000.30.3表2 泊松比取值Table2 Values of Poissons ratio參數(shù)水平方向彈模z軸方向彈模水平方向泊松比z軸方向泊松比z軸

6、方向泊松比變 化2002000.30.22001500.30.32001000.30.35水平方向泊松比變 化2002000.20.32002000.30.32002000.350.3 4.1計(jì)算驗(yàn)證以下運(yùn)用Matlab的數(shù)據(jù)化和圖像處理兩大功能塊，將所得的數(shù)據(jù)根據(jù)不同的情況轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形。取表1，表2中的參數(shù)作徑向應(yīng)力沿在半徑r=0.5m處沿z方向的變化曲線（見圖1）可知：徑向應(yīng)力不隨參數(shù)的變化而變化，這是與軸對稱荷載下橫觀各向同性體的性質(zhì)相符合的。圖1 徑向應(yīng)力分布 Fig.1 Distribution of radial stress4.2 彈性模量變化對應(yīng)力的影響取表1中參數(shù)作環(huán)向應(yīng)

7、力、軸向應(yīng)力在半徑r=0.3m處沿z變化的曲線（見圖2、圖3）。可知：環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力隨彈性模量的變化較大，軸向應(yīng)力對水平方向彈性模量比對軸向彈性模量敏感。環(huán)向應(yīng)力對軸向彈性模量比對水平方向彈性模量敏感。4.3泊松比的變化對應(yīng)力的影響取表2中參數(shù)作環(huán)向應(yīng)力、軸向應(yīng)力在半徑r=0.3m處沿z變化的曲線（圖4、圖5）?？芍翰此杀鹊淖兓瘜S向應(yīng)力的影響不大；對環(huán)向應(yīng)力影響顯著，環(huán)向應(yīng)力對軸向泊松比相對于對水平方向泊松比來說比較敏感. 圖2環(huán)向應(yīng)力分布 圖3軸向應(yīng)力分布 Fig.2 Distribution of circumference stress Fig.3 Distribution of

8、 circumference stress 圖4環(huán)向應(yīng)力分布 圖5 軸向應(yīng)力分布 Fig.4 Distribution of circumference stress Fig.5 Distribution of circumference stress5.結(jié)論（1）用分離變量法，把應(yīng)力函數(shù)和法向軸對稱荷載展成傅立葉級數(shù)求解橫向各向同性圓柱體應(yīng)力和位移是一種可行的方法。（2）徑向應(yīng)力不隨材料的變化而變化；環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力隨彈性模量的變化較大，軸向應(yīng)力對水平方向彈性模量比軸向彈性模量敏感。環(huán)向應(yīng)力對軸向彈性模量水方向彈性模量敏感。（3）泊松比的變化對軸向應(yīng)力的影響不大；對環(huán)向應(yīng)力影響顯著，環(huán)向應(yīng)力對軸向泊松比比對水平方向泊松比敏感。參考文獻(xiàn)1、陳子蔭圍巖力學(xué)分析中的解析方法，煤炭工業(yè)出版社。2、丁皓江 橫觀各向同性