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文檔簡介

1、.2017三角函數(shù)大題綜合訓(xùn)練一解答題(共30小題)1(2016白山一模)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知=(1)求角C的大小,(2)若c=2,求使ABC面積最大時a,b的值2(2016廣州模擬)在ABC中,角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A(I)求角A的大??;()若ABC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值3(2016成都模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2xsinxcosxsin2x()求函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合;()設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角,若cosB=,f(C)=,求sin

2、A的值4(2016臺州模擬)已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,且c2=a2+b2ab(1)求角C的值;(2)若b=2,ABC的面積,求a的值5(2016惠州模擬)如圖所示,在四邊形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=()求ACD的面積;()若BC=2,求AB的長6(2015)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值7(2015新課標I)已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC()若a=b,求cosB;()設(shè)B=90,且a=,求ABC的面積8(20

3、15)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA()證明:sinB=cosA;()若sinCsinAcosB=,且B為鈍角,求A,B,C9(2015新課標II)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長10(2015)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=btanA,且B為鈍角()證明:BA=;()求sinA+sinC的取值范圍11(2015)已知A、B、C為ABC的內(nèi)角,tanA,tanB是關(guān)于方程x2+pxp+1=0(pR)兩個實根()求C的大?。ǎ┤鬉B=3,AC=,求p的值

4、12(2015河西區(qū)二模)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的內(nèi)角對邊分別為a,b,c,滿足(a+b+c)(ab+c)=ac()求B()若sinAsinC=,求C13(2015)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=,b2a2=c2(1)求tanC的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值14(2015)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c向量=(a,b)與=(cosA,sinB)平行()求A;()若a=,b=2,求ABC的面積15(2015)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60(1)求BC的長;(2)求sin2C的值16(2015天津)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所

5、對的邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為3,bc=2,cosA=()求a和sinC的值;()求cos(2A+)的值17(2015懷化一模)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,c=asinCccosA(1)求角A;(2)若a=2,ABC的面積為,求b,c18(2015甘肅一模)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosBccosB()求cosB的值;()若,且,求a和c的值19(2015衡水四模)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,函數(shù)f(x)=2cosxsin(xA)+sinA(xR)在x=處取得最大值(1)當時,求函數(shù)f(x)的值

6、域;(2)若a=7且sinB+sinC=,求ABC的面積20(2015濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx(xR)()當x0,時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;()設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量=(1,sinA)與向量=(2,sinB)共線,求a,b的值21(2015濟南二模)已知向量=(cos(2x),cosx+sinx),=(1,cosxsinx),函數(shù)f(x)=()求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;()在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知f(A)=,a=2,B=,求ABC的面積S22(2015和平區(qū)校

7、級三模)在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且a=3,b=4,B=+A(1)求cosB的值;(2)求sin2A+sinC的值23(2015洛陽三模)在銳角ABC中,=(1)求角A;(2)若a=,求bc的取值范圍24(2015河北區(qū)一模)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且2cosAcosC+1=2sinAsinC()求B的大小;()若,求ABC的面積25(2015云南一模)在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且=(sinA+sinB+sinC,sinC),=(sinB,sinB+sinCsinA),若(1)求A的大??;(2)設(shè)為ABC的面積,求的最大值及

8、此時B的值26(2015歷下區(qū)校級四模)已知向量,若() 求函數(shù)f(x)的最小正周期;() 已知ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=3,(A為銳角),2sinC=sinB,求A、c、b的值27(2015高安市校級模擬)在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知sin(A+)+2cos(B+C)=0,(1)求A的大??; (2)若a=6,求b+c的取值范圍28(2015威海一模)ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin(BA)=cosC()求A,B,C;()若SABC=3+,求a,c29(2015新津縣校級模擬)已知向量,函數(shù)f(x)=()求函數(shù)f(x)的

9、單調(diào)遞增區(qū)間;()在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(B)=1,b=,sinA=3sinC,求ABC的面積30(2015和平區(qū)二模)在ABC中,角A,B,C為三個內(nèi)角,已知cosA=,cosB=,BC=5()求AC的長;()設(shè)D為AB的中點,求CD的長三角函數(shù)大題綜合訓(xùn)練參考答案與試題解析一解答題(共30小題)1(2016白山一模)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知=(1)求角C的大小,(2)若c=2,求使ABC面積最大時a,b的值【考點】正弦定理;余弦定理【專題】解三角形【分析】(1)已知等式左邊利用正弦定理化簡,右邊利用誘導(dǎo)公式變形,整理后再利用兩角和

10、與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形,根據(jù)sinA不為0求出cosC的值,即可確定出C的度數(shù);(2)利用余弦定理列出關(guān)系式,將c與cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值,進而確定出三角形ABC面積的最大值,以及此時a與b的值即可【解答】解:(1)A+C=B,即cos(A+C)=cosB,由正弦定理化簡已知等式得:=,整理得:2sinAcosC+sinBcosC=sinCcosB,即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,sinA0,cosC=,C為三角形內(nèi)角,C=;()c=2,cosC=,由余弦定理得:c2=a2+b22abcosC,即4=a2

11、+b2+ab2ab+ab=3ab,ab,(當且僅當a=b時成立),S=absinC=ab,當a=b時,ABC面積最大為,此時a=b=,則當a=b=時,ABC的面積最大為【點評】此題考查了正弦、余弦定理,三角形的面積公式,以及基本不等式的運用,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵2(2016廣州模擬)在ABC中,角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A(I)求角A的大?。唬ǎ┤鬉BC的面積S=5,b=5,求sinBsinC的值【考點】正弦定理;余弦定理【專題】解三角形【分析】(I)利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡3cosBcosC+

12、2=3sinBsinC+2cos2A,得到cosA的值,即可求解A(II)通過三角形的面積求出b、c的值,利用余弦定理以及正弦定理求解即可【解答】解:(I)由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得2cos2A+3cosA2=0,(2分)即(2cosA1)(cosA+2)=0解得cosA=或cosA=2(舍去)(4分)因為0A,所以A=(6分)(II)由S=bcsinA=bc=bc=5,得bc=20又b=5,所以c=4(8分)由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21,故a=(10分)又由正弦定理,得sinBsinC=sinAsinA=sin2A=(

13、12分)【點評】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的三角函數(shù),考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力3(2016成都模擬)已知函數(shù)f(x)=cos2xsinxcosxsin2x()求函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合;()設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角,若cosB=,f(C)=,求sinA的值【考點】正弦定理;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;解三角形【分析】()由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的值域求得函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合()由條件求得cos(2C+)=,C=,求出sinB的值,再根據(jù)sinA=sin(B+C)求得它的值【解答】解:()

14、函數(shù)f(x)=cos2xsinxcosxsin2x=cos2xsinxcosx+(cos2xsin2x )=sin2x+cos2x=+cos(2x+),故函數(shù)取得最大值為,此時,2x+=2k時,即x的集合為 x|x=k,kZ()設(shè)A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角,若cosB=,f(C)=+cos(2C+)=,cos(2C+)=,又A、B、C為銳角三角形ABC的三個內(nèi)角,2C+=,C=cosB=,sinB=,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+=【點評】本題主要考查三角恒等變換,余弦函數(shù)的值域,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于中檔題4(2016臺州模擬)已知a,b

15、,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,且c2=a2+b2ab(1)求角C的值;(2)若b=2,ABC的面積,求a的值【考點】余弦定理;三角形的面積公式【專題】解三角形【分析】(1)利用余弦定理,可求角C的值;(2)利用三角形的面積公式,可求a的值【解答】解:(1)c2=a2+b2ab,cosC=,0C180,C=60;(2)b=2,ABC的面積,=,解得a=3【點評】本題考查余弦定理的運用,考查三角形面積的計算,正確運用公式是關(guān)鍵5(2016惠州模擬)如圖所示,在四邊形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=()求ACD的面積;()若BC=2,求AB的長【考點】余弦定理的

16、應(yīng)用;正弦定理【專題】解三角形【分析】()利用已知條件求出D角的正弦函數(shù)值,然后求ACD的面積;()利用余弦定理求出AC,通過BC=2,利用正弦定理求解AB的長【解答】(共13分)解:()因為D=2B,所以 (3分)因為D(0,),所以 (5分)因為 AD=1,CD=3,所以ACD的面積(7分)()在ACD中,AC2=AD2+DC22ADDCcosD=12所以 (9分)因為 ,(11分)所以 所以 AB=4(13分)【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用,基本知識的考查6(2015)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c

17、的值【考點】正弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】解三角形【分析】利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及基本關(guān)系式,解方程可得;利用正弦定理解之【解答】解:因為ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,所以sinB=,sinAcosB+cosAsinB=,所以sinA+cosA=,結(jié)合平方關(guān)系sin2A+cos2A=1,得27sin2A6sinA16=0,解得sinA=或者sinA=(舍去);由正弦定理,由可知sin(A+B)=sinC=,sinA=,所以a=2c,又ac=2,所以c=1【點評】本題考查了利用三角函數(shù)知識解三角形,用到了兩角和與差的正

18、弦函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正弦定理等知識7(2015新課標I)已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC()若a=b,求cosB;()設(shè)B=90,且a=,求ABC的面積【考點】正弦定理;余弦定理【專題】解三角形【分析】(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得出(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面積計算公式即可得出【解答】解:(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:0,代入可得(bk)2=2akck,b2=2ac,a=b,a=2c,由余弦定理可得:cosB=(II)由(I)可得

19、:b2=2ac,B=90,且a=,a2+c2=2ac,解得a=c=SABC=1【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題8(2015)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA()證明:sinB=cosA;()若sinCsinAcosB=,且B為鈍角,求A,B,C【考點】正弦定理【專題】解三角形【分析】()由正弦定理及已知可得=,由sinA0,即可證明sinB=cosA()由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,可得sin2B=,結(jié)合范圍可求B,由

20、sinB=cosA及A的范圍可求A,由三角形內(nèi)角和定理可求C【解答】解:()證明:a=btanA=tanA,由正弦定理:,又tanA=,=,sinA0,sinB=cosA得證()sinC=sin(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinCsinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,sin2B=,0B,sinB=,B為鈍角,B=,又cosA=sinB=,A=,C=AB=,綜上,A=C=,B=【點評】本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9(2015新課標II)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,A

21、BD面積是ADC面積的2倍(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長【考點】正弦定理;三角形中的幾何計算【專題】解三角形【分析】(1)如圖,過A作AEBC于E,由已知及面積公式可得BD=2DC,由AD平分BAC及正弦定理可得sinB=,sinC=,從而得解(2)由(1)可求BD=過D作DMAB于M,作DNAC于N,由AD平分BAC,可求AB=2AC,令A(yù)C=x,則AB=2x,利用余弦定理即可解得BD和AC的長【解答】解:(1)如圖,過A作AEBC于E,=2BD=2DC,AD平分BACBAD=DAC在ABD中,=,sinB=在ADC中,=,sinC=;=6分(2)由(1)知,BD=2D

22、C=2=過D作DMAB于M,作DNAC于N,AD平分BAC,DM=DN,=2,AB=2AC,令A(yù)C=x,則AB=2x,BAD=DAC,cosBAD=cosDAC,由余弦定理可得:=,x=1,AC=1,BD的長為,AC的長為1【點評】本題主要考查了三角形面積公式,正弦定理,余弦定理等知識的應(yīng)用,屬于基本知識的考查10(2015)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=btanA,且B為鈍角()證明:BA=;()求sinA+sinC的取值范圍【考點】正弦定理【專題】解三角形【分析】()由題意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范圍和誘導(dǎo)公式可得;()由題意可得A(0,),可得0si

23、nA,化簡可得sinA+sinC=2(sinA)2+,由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得【解答】解:()由a=btanA和正弦定理可得=,sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B為鈍角,+A(,),B=+A,BA=;()由()知C=(A+B)=(A+A)=2A0,A(0,),sinA+sinC=sinA+sin(2A)=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2(sinA)2+,A(0,),0sinA,由二次函數(shù)可知2(sinA)2+sinA+sinC的取值范圍為(,【點評】本題考查正弦定理和三角函數(shù)公式的應(yīng)用,涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值,屬基礎(chǔ)題11(2015)已知A、B、C為ABC的內(nèi)

24、角,tanA,tanB是關(guān)于方程x2+pxp+1=0(pR)兩個實根()求C的大?。ǎ┤鬉B=3,AC=,求p的值【考點】正弦定理的應(yīng)用;兩角和與差的正切函數(shù)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;解三角形【分析】()由判別式=3p2+4p40,可得p2,或p,由韋達定理,有tanA+tanB=p,tanAtanB=1p,由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanC=tan(A+B)=,結(jié)合C的范圍即可求C的值()由正弦定理可求sinB=,解得B,A,由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanA=tan75,從而可求p=(tanA+tanB)的值【解答】解:()由已知,方程x2+pxp+1=0的判別式:=(p)24(p+1)=

25、3p2+4p40,所以p2,或p由韋達定理,有tanA+tanB=p,tanAtanB=1p所以,1tanAtanB=1(1p)=p0,從而tan(A+B)=所以tanC=tan(A+B)=,所以C=60()由正弦定理,可得sinB=,解得B=45,或B=135(舍去)于是,A=180BC=75則tanA=tan75=tan(45+30)=2+所以p=(tanA+tanB)=(2+)=1【點評】本題主要考查了和角公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識,考查了運算求解能力,考查了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想的應(yīng)用,屬于中檔題12(2015河西區(qū)二模)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的內(nèi)角對邊分別為a,b

26、,c,滿足(a+b+c)(ab+c)=ac()求B()若sinAsinC=,求C【考點】余弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】解三角形【分析】(I)已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算,整理后得到關(guān)系式,利用余弦定理表示出cosB,將關(guān)系式代入求出cosB的值,由B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);(II)由(I)得到A+C的度數(shù),利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos(AC),變形后將cos(A+C)及2sinAsinC的值代入求出cos(AC)的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出AC的值,與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù)【解答】解:(I)(a+b+c)(ab+c)=(a

27、+c)2b2=ac,a2+c2b2=ac,cosB=,又B為三角形的內(nèi)角,則B=120;(II)由(I)得:A+C=60,sinAsinC=,cos(A+C)=,cos(AC)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2=,AC=30或AC=30,則C=15或C=45【點評】此題考查了余弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵13(2015)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=,b2a2=c2(1)求tanC的值;(2)若ABC的面積

28、為3,求b的值【考點】余弦定理【專題】解三角形【分析】(1)由余弦定理可得:,已知b2a2=c2可得,a=利用余弦定理可得cosC可得sinC=,即可得出tanC=(2)由=3,可得c,即可得出b【解答】解:(1)A=,由余弦定理可得:,b2a2=bcc2,又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得,a2=b2=,即a=cosC=C(0,),sinC=tanC=2(2)=3,解得c=2=3【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本關(guān)系式、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題14(2015)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c向量=(a,b)與=(cosA,s

29、inB)平行()求A;()若a=,b=2,求ABC的面積【考點】余弦定理的應(yīng)用;平面向量共線(平行)的坐標表示【專題】解三角形【分析】()利用向量的平行,列出方程,通過正弦定理求解A;()利用A,以及a=,b=2,通過余弦定理求出c,然后求解ABC的面積【解答】解:()因為向量=(a,b)與=(cosA,sinB)平行,所以asinB=0,由正弦定理可知:sinAsinBsinBcosA=0,因為sinB0,所以tanA=,可得A=;()a=,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c22bccosA,可得7=4+c22c,解得c=3,ABC的面積為:=【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用,

30、三角形的面積的求法,考查計算能力15(2015)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60(1)求BC的長;(2)求sin2C的值【考點】余弦定理的應(yīng)用;二倍角的正弦【專題】解三角形【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可(2)利用正弦定理求出C的正弦函數(shù)值,然后利用二倍角公式求解即可【解答】解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+9223=7,所以BC=(2)由正弦定理可得:,則sinC=,ABBC,C為銳角,則cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2=【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用,二倍角的三角函數(shù),注意角的范圍的解題的關(guān)鍵16(20

31、15天津)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為3,bc=2,cosA=()求a和sinC的值;()求cos(2A+)的值【考點】余弦定理的應(yīng)用;正弦定理的應(yīng)用【專題】解三角形【分析】()通過三角形的面積以及已知條件求出b,c,利用正弦定理求解sinC的值;()利用兩角和的余弦函數(shù)化簡cos(2A+),然后直接求解即可【解答】解:()在三角形ABC中,由cosA=,可得sinA=,ABC的面積為3,可得:,可得bc=24,又bc=2,解得b=6,c=4,由a2=b2+c22bccosA,可得a=8,解得sinC=;()cos(2A+)=cos2Acossin2A

32、sin=【點評】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式,余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力17(2015懷化一模)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,c=asinCccosA(1)求角A;(2)若a=2,ABC的面積為,求b,c【考點】正弦定理;余弦定理的應(yīng)用【專題】計算題【分析】(1)把已知的等式利用正弦定理化簡,根據(jù)sinC不為0,得到一個關(guān)系式,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可;(2)由A的度數(shù)求出sinA和cosA的值,由三角形ABC的面積,利用面積公式及sinA的值,求出bc的值,記作;由a與cosA的值,利用

33、余弦定理列出關(guān)系式,利用完全平方公式變形后,把bc的值代入求出b+c的值,記作,聯(lián)立即可求出b與c的值【解答】解:(1)由正弦定理=化簡已知的等式得:sinC=sinAsinCsinCcosA,C為三角形的內(nèi)角,sinC0,sinAcosA=1,整理得:2sin(A)=1,即sin(A)=,A=或A=,解得:A=或A=(舍去),則A=;(2)a=2,sinA=,cosA=,ABC的面積為,bcsinA=bc=,即bc=4;由余弦定理a2=b2+c22bccosA得:4=b2+c2bc=(b+c)23bc=(b+c)212,整理得:b+c=4,聯(lián)立解得:b=c=2【點評】此題考查了正弦、余弦定理

34、,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵18(2015甘肅一模)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosBccosB()求cosB的值;()若,且,求a和c的值【考點】正弦定理;平面向量數(shù)量積的運算;兩角和與差的正弦函數(shù);余弦定理【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想【分析】(1)首先利用正弦定理化邊為角,可得2RsinBcosC=32RsinAcosB2RsinCcosB,然后利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值即可(2)由向量數(shù)量積的定義可得accosB=2,結(jié)合已知及余弦定理可得a2+b2=12,再根據(jù)完全平方式易得a=

35、c=【解答】解:(I)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,則2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB又sinA0,因此(6分)(II)解:由,可得accosB=2,由b2=a2+c22accosB,可得a2+c2=12,所以(ac)2=0,即a=c,所以(13分)【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、向量數(shù)量積的定義等基礎(chǔ)知

36、識,考查了基本運算能力19(2015衡水四模)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,函數(shù)f(x)=2cosxsin(xA)+sinA(xR)在x=處取得最大值(1)當時,求函數(shù)f(x)的值域;(2)若a=7且sinB+sinC=,求ABC的面積【考點】正弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù);正弦函數(shù)的定義域和值域【專題】解三角形【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式為sin(2xA),由于函數(shù)在處取得最大值令,其中kz,解得A的值,(1)由于A為三角形內(nèi)角,可得A的值,再由x的范圍可得函數(shù)的值域;(2)由正弦定理求得b+c=13,再由余弦定理求得bc的值,由ABC的面積等于

37、,算出即可【解答】解:函數(shù)f(x)=2cosxsin(xA)+sinA=2cosxsinxcosA2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosAcos2xsinA=sin(2xA)又函數(shù)f(x)=2cosxsin(xA)+sinA(xR)在處取得最大值,其中kz,即,其中kz,(1)A(0,),A=,2xA,即函數(shù)f(x)的值域為:(2)由正弦定理得到,則sinB+sinC=sinA,即,b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc2bccosA即49=1693bc,bc=40故ABC的面積為:S=【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正、余弦定理的

38、應(yīng)用,正弦函數(shù)的值域,屬于中檔題20(2015濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx(xR)()當x0,時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;()設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量=(1,sinA)與向量=(2,sinB)共線,求a,b的值【考點】正弦定理;平面向量共線(平行)的坐標表示;平面向量數(shù)量積的運算【專題】解三角形【分析】(I)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f(x)的解析式為令,kz,求得x的范圍,結(jié)合,可得f(x)的遞增區(qū)間()由f(C)=2,求得,結(jié)合C的范圍求得C的值根據(jù)向量=(1,sinA)與向量=(2,sinB)共

39、線,可得 ,故有= ,再由余弦定理得9=a2+b2ab ,由求得a、b的值【解答】解:(I)=令,解得,即,f(x)的遞增區(qū)間為()由,得而C(0,),可得向量向量=(1,sinA)與向量=(2,sinB)共線,由正弦定理得:= 由余弦定理得:c2=a2+b22abcosC,即9=a2+b2ab ,由、解得【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的增區(qū)間,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,兩個向量共線的性質(zhì),屬于中檔題21(2015濟南二模)已知向量=(cos(2x),cosx+sinx),=(1,cosxsinx),函數(shù)f(x)=()求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;()在ABC中,內(nèi)角A,B,

40、C的對邊分別為a,b,c,已知f(A)=,a=2,B=,求ABC的面積S【考點】正弦定理;平面向量數(shù)量積的運算;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】()由兩向量的坐標,利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f(x)解析式,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;()由第一問確定出的f(x)解析式,根據(jù)f(A)=確定出A的度數(shù),再由a,sinB的值,利用正弦定理求出b的值,同時利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sinC的值,利用三角形面積公式即可求出S【解答】解

41、:()向量=(cos(2x),cosx+sinx),=(1,cosxsinx),函數(shù)f(x)=cos(2x)+cos2xsin2x=cos(2x)+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin(2x+),令+2k2x+2k(kZ),得+kx+k(kZ),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為+k,+k(kZ);()由f(A)=sin(2A+)=,得sin(2A+)=,A為ABC的內(nèi)角,由題意知0A,2A+,2A+=,解得:A=,又a=2,B=,由正弦定理=,得b=,A=,B=,sinC=sin(A+B)=sin(A+B)=snAcosB+cosAsinB=+=,則AB

42、C的面積S=absinC=2=【點評】此題考查了正弦定理,平面向量的數(shù)量積運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及三角形的面積公式,熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵22(2015和平區(qū)校級三模)在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且a=3,b=4,B=+A(1)求cosB的值;(2)求sin2A+sinC的值【考點】正弦定理;余弦定理【專題】計算題;三角函數(shù)的求值;解三角形【分析】(1)運用正弦定理和誘導(dǎo)公式、以及同角公式,即可得到cosB;(2)由二倍角的正弦和余弦公式,以及誘導(dǎo)公式,化簡計算即可得到【解答】解(1),cosB=cos(+A)=sinA,又a=3,b=4,所以由正弦定理得 ,所

43、以=,所以3sinB=4cosB,兩邊平方得9sin2B=16cos2B,又sin2B+cos2B=1,所以,而,所以(2),2A=2B,sin2A=sin(2B)=sin2B=又A+B+C=,sinC=cos2B=12cos2B=【點評】本題考查正弦定理和運用,考查三角函數(shù)的化簡和求值,注意運用二倍角公式和誘導(dǎo)公式,以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題23(2015洛陽三模)在銳角ABC中,=(1)求角A;(2)若a=,求bc的取值范圍【考點】正弦定理;余弦定理【專題】計算題;三角函數(shù)的求值;解三角形【分析】(1)由余弦定理可得:a2+c2b2=2accosB,代入已知整理可得sin2A

44、=1,從而可求A的值(2)由(1)及正弦定理可得bc=,根據(jù)已知求得角的范圍,即可求得bc的取值范圍【解答】解:(1)由余弦定理可得:a2+c2b2=2accosB,sin2A=1且,(2),又,b=2sinB,c=2sinC,bc=2sin(135C)2sinC=,【點評】本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題24(2015河北區(qū)一模)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且2cosAcosC+1=2sinAsinC()求B的大??;()若,求ABC的面積【考點】正弦定理;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;余弦定理【專題】解三角形【分析】()由2cosAcosC+1=

45、2sinAsinC 化簡求得,求得,可得B的值()由余弦定理,可得,把、 代入求得ac的值,再根據(jù)計算求得結(jié)果【解答】解:()由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得:2(cosAcosCsinAsinC)=1,又0B,()由余弦定理得:,又,故,【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于中檔題25(2015云南一模)在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且=(sinA+sinB+sinC,sinC),=(sinB,sinB+sinCsinA),若(1)求A的大??;(2)設(shè)為ABC的面積,求的最大值及此時B的值【考點】正弦定理;平面向量數(shù)量積的

46、運算【專題】計算題;解三角形【分析】(1)共線向量的坐標運算可得(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinCsinA)=sinBsinC,再利用正弦定理將角的正弦轉(zhuǎn)化為所對邊的邊長,再利用余弦定理即可求得A的大??;(2)依題意,利用正弦定理=2,可求得S=bcsinA=sinBsinC,逆用兩角差的余弦即可求得S+cosBcosC取最大值及此時B的值【解答】解:(1),(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinCsinA)=sinBsinC根據(jù)正弦定理得(a+b+c)(c+ba)=bc,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得cosA=,又A(0,

47、),A=;(2)a=,A=,由正弦定理得=2,b=2sinB,c=2sinC,S=bcsinA=2sinB2sinC=sinBsinC,S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos(BC),當B=C時,即B=C=時,S+cosBcosC取最大值【點評】本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用,考查平面共線向量的坐標運算及兩角差的余弦,考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力,屬于中檔題26(2015歷下區(qū)校級四模)已知向量,若() 求函數(shù)f(x)的最小正周期;() 已知ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=3,(A為銳角),2sinC=sinB,求A、c、b的值【考點】正弦定

48、理;平面向量數(shù)量積的運算;兩角和與差的正弦函數(shù);余弦定理【專題】計算題;解三角形【分析】()利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)f(x)的解析式為sin(2x),由此求得函數(shù)f(x)的最小正周期() 已知ABC中,由 (A為銳角),求得sinA=,可得 A=由正弦定理可得b=2c,根據(jù) a=3,再由余弦定理求出c、b的值【解答】解:() =sinxcosxcos2x+=sin(2x),故函數(shù)f(x)的最小正周期為() 已知ABC中,(A為銳角),sinA=,A=2sinC=sinB,由正弦定理可得b=2c,a=3,再由余弦定理可得 9=b2+c22bccos解得 b=2,c=【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式,兩角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題27(2015高安市校級模擬)在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知sin(A+)+2cos(B+C)=0,(1)求A的大??; (2)若a=6,求b+c的取值范圍【考點】正弦定理;三角函數(shù)的化簡求值;兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】解三角形【分析】(1)利用兩角和公式和誘導(dǎo)公

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