曲邊梯形的面積

1、1.5.1 曲邊梯形的面積一、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能目標(biāo)：（1）通過問題情景，經(jīng)歷求曲邊梯形面積的過程，初步了解、感受定積分概念的實際背景。（2）理解求曲邊梯形面積的“四步曲”分割、近似代替、求和、取極限。2、過程與方法目標(biāo)：（1）通過問題的探究體會“以直代曲、無限逼近”的思想。（2）通過類比體會從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。3、情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：在探究中進一步感受極限的思想，體會直與曲雖然是對立矛盾的，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，在問題解決中體驗成功的愉悅，感受數(shù)學(xué)的魅力。二、學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對象是民語班的學(xué)生。學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)有：一是

2、學(xué)生已學(xué)習(xí)過如何通過割補的方法計算不規(guī)則直邊圖形的面積；學(xué)生在必修3的閱讀與思考內(nèi)容中對劉徽的“割圓術(shù)”求圓面積的方法已經(jīng)有所了解。二是學(xué)生雖然未學(xué)習(xí)過極限的有關(guān)知識，但通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，對極限有了初步的認(rèn)識。學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中將會面臨的難點：一是部分學(xué)生漢語程度相對較為薄弱，一些數(shù)學(xué)名詞難以準(zhǔn)確理解，因此需要借助民語教材對部分名詞做民語標(biāo)注，幫助學(xué)生準(zhǔn)確掌握和學(xué)習(xí)；此外，學(xué)生的漢語表達能力較差，需要即時引導(dǎo)學(xué)生進行準(zhǔn)確表述和學(xué)習(xí)。二是本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中如何“以直代曲”，即學(xué)生如何將割圓術(shù)中“以直代曲，無限逼近”的思想靈活地遷移到一般的曲邊梯形上具體說來就是：如何選擇適當(dāng)?shù)闹边厛D形（矩形、三角形

3、或梯形）代替曲邊梯形，并使細分的過程程序化且便于操作和計算。三、重點難點教學(xué)重點：探究求曲邊梯形面積的方法。教學(xué)難點：把“以直代曲”的思想方法轉(zhuǎn)化為具體可操作的步驟，理解“無限逼近”的思想方法。四、教學(xué)過程一、問題情境生活中的數(shù)學(xué)原型【教師提問】觀察下面的圖片，從圖片中截取一個平面圖形，觀察圖形，如何求圖形的面積？圖片一：圖形一：【教師提問】觀察下面的圖片，從圖片中截取一個平面圖形，觀察圖形，如何求圖形的面積？圖片二：圖形二：【教師提問】觀察下面的圖片，從圖片中截取一個平面圖形，觀察圖形，如何求圖形的面積？圖片三：圖形三：【思考】“曲邊梯形”與“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？【設(shè)計意圖】1.從生

4、活實際出發(fā)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，生活中處處都能找到數(shù)學(xué)的原型。2.學(xué)生通過分割和補足的方法求解直邊圖形，回顧“割補思想”，為接下來探究如何對曲邊梯形以直代曲做鋪墊。3.對比“曲邊梯形”與“直邊圖形”的主要區(qū)別，為學(xué)生準(zhǔn)確理解曲邊梯形的概念做鋪墊。4.通過設(shè)立問題引發(fā)學(xué)生思考，從而引出本節(jié)課題。二、概念辨析“連續(xù)函數(shù)”與“曲邊梯形”的概念【學(xué)生活動】翻開課本38頁，仔細研讀書中“連續(xù)函數(shù)”與“曲邊梯形”的概念。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生回歸課本進行自主學(xué)習(xí)，并發(fā)現(xiàn)概念中的關(guān)鍵內(nèi)容。三、知識回顧割圓術(shù)【講授】割圓術(shù)是由魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)，所謂“割圓術(shù)”是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近

5、圓面積，并以此求取圓周率的方法。【教師提問】1.你能否總結(jié)出割圓術(shù)求圓面積的思想方法？2.將割圓術(shù)求圓面積的思想方法進行提煉，能否應(yīng)用到求曲邊梯形的面積中？【解答】割圓術(shù)求圓面積的思想方法：1.將圓等分成n個小扇形。2.用小三角形面積近似代替小扇形面積。3.求小三角形面積之和。4.隨著n的增大，小三角形面積之和不斷逼近圓面積。將割圓術(shù)求圓面積的思想方法進行提煉1.分割2.近似代替3.求和4.取極限【設(shè)計意圖】回顧割圓術(shù)中正多邊形逼近圓的方法，引發(fā)學(xué)生思考：這種“以直代曲”的思想啟發(fā)我們，是否也能用直邊形逼近曲邊梯形的方法，求曲邊梯形的面積。同時，通過在提煉思想方法的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納的

6、習(xí)慣。四、特例探究類比割圓術(shù)的思想方法，求特殊的曲邊梯形的面積【思考】如何求由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x²所圍成的曲邊梯形的面積S？（一）分割【自主探究】思考：應(yīng)采用什么樣的方式分割下面的曲邊梯形才能有利于“以直代曲”？【學(xué)生活動】1. 分小組討論，并在紙上做出方案。2. 通過對比各組方案，選出最佳方案?！窘處熣故尽糠桨敢唬悍桨付骸窘處熖釂枴窟x取方案一進行探究。1. 如何將大曲邊梯形等分成n個小曲邊梯形？2. 將區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，這n個小區(qū)間分別是什么？3. 單獨研究第i個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間是什么？【解答】1. 在區(qū)間0，1上等間隔地插入n-1個點，過這些

7、點做x軸的垂線。2. 將區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間，這n個小區(qū)間分別是：3. 單獨研究第i個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間是：【設(shè)計意圖】學(xué)生通過類比割圓術(shù)中“將圓等分成n個小扇形”這一步驟，經(jīng)歷分割曲邊梯形的過程，同時通過對比，選出最佳方案進行進一步探究。在探究的過程中，充分帶動學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，并加強學(xué)生對“四步曲”中“分割”的理解和認(rèn)識。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及團隊協(xié)作的精神。（二）近似代替【自主探究】思考：對每個小曲邊梯形如何“以直代曲”？（單獨研究第i個小曲邊梯形）【學(xué)生活動】1.分小組討論，并在紙上做出方案。2.通過對比各組方案，選出最佳方案?！窘處熣故尽糠桨敢唬悍桨付悍桨溉悍桨杆?/p>

8、：【思考】選取方案二進行探究。怎樣求出小矩形的面積？【解答】第i個區(qū)間的長度為：第i個小矩形的高為：（即區(qū)間左端點的函數(shù)值）第i個小矩形的面積為：【設(shè)計意圖】學(xué)生通過類比割圓術(shù)中“用小三角形面積近似代替小扇形面積”這一步驟，經(jīng)歷將第i個小曲邊梯形“以直代曲”的過程，同時通過對比，選出最佳方案進行進一步探究，并引導(dǎo)學(xué)生帶著疑問進入下面的學(xué)習(xí)。在探究的過程中，培養(yǎng)學(xué)生善于思考的習(xí)慣，以及自我創(chuàng)新的能力。（三）求和【共同探究】思考：怎樣求出n個小矩形的面積之和？【師生互動】引導(dǎo)學(xué)生分析如何求出n個小矩形的面積之和，共同探求解題思路。具體求解過程由學(xué)生參與，師生共同補充?！咎崾尽拷o出公式：【講授】此處

9、求出的小矩形面積之和稱作曲邊梯形面積的不足近似值?！窘獯稹啃【匦蚊娣e之和為：【設(shè)計意圖】學(xué)生通過類比割圓術(shù)中“求小三角形面積之和”這一步驟，經(jīng)歷“求和”的過程，加深學(xué)生對符號的理解，同時，讓學(xué)生更好地掌握求和類型題目的解法，提高學(xué)生的計算能力以及數(shù)學(xué)的邏輯思維能力?！編缀萎嫲逭故尽坑^察當(dāng)n取不同值時，小矩形面積之和與大曲邊梯形面積存在怎樣的關(guān)系？【思考】為了更加準(zhǔn)確地求出大曲邊梯形的面積，n應(yīng)該取何值？【設(shè)計意圖】通過幾何畫板的演示，更加直觀地讓學(xué)生感受到“無限逼近”的思想，并為第四步“取極限”做出鋪墊。（四）取極限【思考】n趨向于無窮大時，曲邊梯形的面積S等于多少？【師生互動】引導(dǎo)學(xué)生回顧極

10、限的運算，共同計算出曲邊梯形的面積S的值。【解答】取極限得到曲邊梯形的面積為：【設(shè)計意圖】通過經(jīng)歷“取極限”的過程，進一步加強學(xué)生對極限運算的認(rèn)識。五、類比探究類比“不足近似值”與“過剩近似值”【思考】選取方案三進行探究。怎樣求出小矩形的面積？【師生互動】類比方案二中的求解過程，發(fā)現(xiàn)求解小矩形的面積時的異同，引導(dǎo)學(xué)生正確計算小矩形的面積?！窘獯稹康趇個區(qū)間的長度為：第i個小矩形的高為：（即區(qū)間右端點的函數(shù)值）第i個小矩形的面積為：【設(shè)計意圖】通過方案二和方案三的對比，進一步加強學(xué)生對“割補思想”“以直代曲”思想的理解和認(rèn)識，并使學(xué)生逐步掌握運算技巧。【思考】怎樣求出n個小矩形的面積之和？【提示

11、】給出公式：【師生互動】引導(dǎo)學(xué)生通過類比“不足近似值”的求法，體驗“過剩近似值”的求解過程。【解答】小矩形面積之和為：【設(shè)計意圖】通過類比方案二中的求解過程，學(xué)生能很快掌握相應(yīng)解法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，同時鞏固本節(jié)所學(xué)知識。這樣安排，有利于學(xué)生循序漸進從多種角度去考慮曲邊梯形的面積的求法，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生善于思考的習(xí)慣?！編缀萎嫲逭故尽坑^察當(dāng)n取不同值時，小矩形面積之和與大曲邊梯形面積存在怎樣的關(guān)系？【思考】為了更加準(zhǔn)確地求出大曲邊梯形的面積，n應(yīng)該取何值？【解答】取極限得到曲邊梯形的面積為：【設(shè)計意圖】通過幾何畫板的演示，更加直觀地讓學(xué)生感受到“無限逼近”的思想，并與之前的案

12、例進行對比?！綞xcel展示】【設(shè)計意圖】利用Excel表格進行計算，讓學(xué)生更直觀得觀察當(dāng)n趨近于無窮大時，S的不足近似值與過剩近似值最終都會趨近于。同時，驗證了之前的結(jié)論。六、能力提升【思考】取f(x)=x²在區(qū)間上任意一點i處的函數(shù)值f(i)作為近似值，求出的S也是嗎？【師生互動】引導(dǎo)學(xué)生回答，教師補充完善，并用多媒體進行適當(dāng)展示?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生體會，無論用哪個近似值進行近似代替，借助極限運算都可以得到曲邊梯形的面積。同時，更直觀地感受到從特殊到一般的過程。七、課堂小結(jié)【思考】在今天的課程中， 你學(xué)到了什么呢？【師生互動】讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)所學(xué)知識，師生共同補充、糾正?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生養(yǎng)成善于總結(jié)的好習(xí)慣，并對本節(jié)的知識研究線索有一個全面的