普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學卷天津文含詳解

1、2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數學（文史類） 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁。第II卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘?？忌⒁馐马棧?.答題前，務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名，座位號與本人姓名、座位號是否一致。務必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位。2.答第I卷時、每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮檫干凈后，在選涂其他答案標號。3.答第II卷時，必須用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、

2、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后在用0.5毫米的黑色墨色簽字筆清楚。必須在標號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題卡區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。4.考試結束，務必將試題卷和答題卡一并上交。參考公式：S表示底面積，h表示底面的高如果事件A、B互斥，那么 棱柱體積 P(A+B)=P(A)+P (B) 棱錐體積 第I卷(選擇題 共50分)一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.i是虛數單位，A. B. C. D. 2.設變量x,y滿足約束條件，則目標函數的最小值為A. 6 B. 7 C.8 D.233.設則是的A.充分而不必要條件 B

3、. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D. 5.設，則A. B. C. D.6.閱讀右面的程序框圖，則輸出的A. 14 B.20 C.30 D.557.已知函數的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的一個值是A. B. C. D.8.設函數，則不等式的解集是A. B. C. D. 9.設，若，則的最大值為A.2 B. C. 1 D.10.設函數在上的導函數為，且，下面的不等式在上恒成立的是A. B. C. D.第二卷二填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案

4、填在答題卡的相應位置。11.如圖，與相交于點，且，若的外接圓的直徑為1，則的外接圓的直徑為_12.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_13.設全集，若，則集合_14.若圓與圓的公共弦的長為，則_15.若等邊的邊長為，平面內一點滿足，則_16.若關于的不等式的解集中的整數恰有3個，則實數的取值范圍是_三解答題;本大題共6小題，共76分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答17. （本小題滿分12分）在中，（1）求的值（2）求的值18. （本小題滿分12分）為了了解某市開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從三個區(qū)中抽取7個工廠進行調查，已知區(qū)中分別有18，27，18個工廠（

5、1）求從區(qū)中應分別抽取的工廠個數（2）若從抽得的7個工廠中隨機地抽取2個進行調查結果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有一個來自區(qū)的概率19. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，平分，為的中點，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值20. （本小題滿分12分）已知等差數列的公差不為0.設（1）若，求數列的通項公式（2）若，且成等比數列，求的值（3）若，證明21. （本小題滿分14分）設函數，其中（1）當時，求曲線在點處的切線的斜率（2）求函數的單調區(qū)間與極值（3）已知函數有三個互不相同的零點，且，若對任意的恒成立，求的取值范圍22. （本小題滿分14分）已

6、知橢圓的兩個焦點分別為和，過點的直線與橢圓相交于兩點，且（1）求橢圓的離心率（2）求直線的斜率（3）設點與點關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數學（文史類）參考公式：。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。棱柱的體積公式V=sh。其中S表示棱柱的底面積，h表示棱柱的高1.是虛數單位，=A B C D 【答案】D 【解析】由已知，【考點定位】本試題考查了復數的基本的除法運算。2.設變量x,y滿足約束條件，則目標函數的最小值為A 6 B 7 C 8 D 23【答案】B 【解析】由已知，先作出線性規(guī)劃區(qū)域為一個三

7、角形區(qū)域，得到三個交點（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直線 的平行直線，當過其中點（2，1）時，目標函數最小?！究键c定位】本試題考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運用以及作圖能力。3設的A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A 【解析】 因為，顯然條件的集合小，結論表示的集合大，由集合的包含關系，我們不難得到結論?！究键c定位】本試題考察了充分條件的判定以及一元高次方程的求解問題?？疾檫壿嬐评砟芰?。4設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A B C D【答案】C 【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為【

8、考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。5.設，則A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c【答案】B 【解析】由已知結合對數函數圖像和指數函數圖像得到，而，因此選B?！究键c定位】本試題考查了對數函數和指數函數的性質運用，考查了基本的運算能力。6.閱讀右面的程序框圖，則輸出的S=A 14 B 20 C 30 D 55【答案】C【解析】當時， S=1;當i=2時， S=5;循環(huán)下去，當i=3時， S=14；當i=4時,S=30；【考點定位】本試題考查了程序框圖的運用。7. 已知函數的最

9、小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于y軸對稱，則的一個值是（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知，周期為 ，則結合平移公式和誘導公式可知平移后是偶函數，故選D【考點定位】本試題考查了三角函數的周期性和三角函數的平移公式運用以及誘導公式的運用。8. 設函數則不等式的解集是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由已知，函數先增后減再增當，令解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當，故 ，解得【考點定位】本試題考查分段函數的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。9. 設的最大值為A 2 B C 1 D 【答案】C 【解析】因為，【考點定位】本試題考查指數式和對數

10、式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力。10. 設函數f(x)在R上的導函數為f(x),且2f(x)+xf(x)>x,x下面的不等式在R內恒成立的是A B C D【答案】A 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后結合已知條件排除C,得到A【考點定位】本試題考察了導數來解決函數單調性的運用。通過分析解析式的特點，考查了分析問題和解決問題的能力。二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分。把答案填寫在題中的橫線上。）11. 如圖，相交與點O, 且，若得外接圓直徑為1，則的外接圓直徑為_. 【答案】2 【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圓半徑是外接圓半徑的二倍。

11、【考點定位】本試題考查了正弦定理的運用。以及三角形中外接圓半徑與邊角的關系式運用?？疾炝送瑢W們對于新問題的轉化化歸思想。12. 如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=_.【答案】 【解析】由已知正視圖可以知道這個幾何體是睡著的直三棱柱，兩個底面是等腰的三角形，且底邊為2，等腰三角形的高位a，側棱長為3，結合面積公式可以得到 ，解得a=【考點定位】本試題考查了簡單幾何體的三視圖的運用。培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力。13. 設全集，若，則集合B=_.【答案】2，4，6，8 【解析】 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本試題主要考查了集合的概念和基本的運算能力。

12、14. 若圓與圓的公共弦長為，則a=_.【答案】1 【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1【考點定位】本試題考查了直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。15. 若等邊的邊長為，平面內一點M滿足,則_.【答案】-2 【解析】合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設這樣利用向量關系式，求得M，然后求得，運用數量積公式解得為-2.【考點定位】本試題考察了向量在解三角形中的幾何運用。也體現(xiàn)了向量的代數化手段的重要性?？疾榱嘶局R的綜合運用能力。16. 若關于x的不等式的解集中整數恰

13、好有3個，則實數a的取值范圍是_.【答案】【解析】因為不等式等價于，其中中的，且有，故，不等式的解集為，則一定有1，2，3為所求的整數解集。所以，解得a的范圍為【考點定位】本試題考查含有參數的一元二次不等式的解集問題的運用?？疾榱朔诸愑懻撍枷胍约澳嫦蛩季S的能力。三、解答題17. （本小題滿分12分）在中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求AB的值。（）求的值?！敬鸢浮?【解析】（1）解：在 中，根據正弦定理，于是（2）解：在 中，根據余弦定理，得于是=，從而【考點定位】本題主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函數的關系式，二倍角的正弦和余弦，兩角差的正弦等基礎知識，考查基本運算能

14、力。18. （本小題滿分12分）為了了解某工廠開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B,C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調查，已知A,B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠（）求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個數；（）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調查結果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率?！敬鸢浮?1) 2，3，2(2) 【解析】 （1）解： 工廠總數為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數比為，所以從A,B,C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數為2，3，2.（2）設為在A區(qū)中抽得的2個工廠，為在B區(qū)中抽得的3個工廠，為在C區(qū)中抽得的2個工廠，這7個工廠

15、中隨機的抽取2個，全部的可能結果有：種，隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結果有，,同理還能組合5種，一共有11種。所以所求的概率為【考點定位】本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發(fā)生的概率等基礎知識，考查運用統(tǒng)計、概率知識解決實際問題的能力。19.如圖，在四棱錐中，且DB平分，E為PC的中點，, （）證明 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）證明（）求直線BC與平面PBD所成的角的正切值【答案】（1）略（2）略（3）【解析】 證明：設，連結EH，在中，因為AD=CD，且DB平分，所以H為AC的中點，又有題設，E為PC的中點，故,又,所以（2）證明：

16、因為，所以由（1）知，,故(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。由,在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為?！究键c定位】本小題主要考察直線與平面平行。直線和平面垂直。直線和平面所成的角等基礎知識，考察空間想象能力、運算能力和推理能力。20.（本小題滿分12分）已知等差數列的公差d不為0，設（）若 ,求數列的通項公式；（）若成等比數列，求q的值。（）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】 （1）解：由題設，代入解得，所以 （2）解：當成等比數列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設，可得，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -

17、得，+得， 式兩邊同乘以 q，得所以（3）證明：=因為，所以若，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設知，且當時，由，即，所以因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當時，同理可得因此綜上，【考點定位】本小題主要考查了等差數列的通項公式，等比數列通項公式與前n項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。21. （本小題滿分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設函數（）當曲線處的切線斜率（）求函數的單調區(qū)間與極值；（）已知函數有三個互不相同的零點0，且。若對任意的，恒成立，求m的取值范圍?！敬鸢浮浚?）1（2）在和內減函數，在內增函數。函數在處

18、取得極大值，且=函數在處取得極小值，且=【解析】解：當所以曲線處的切線斜率為1.（2）解：，令，得到因為當x變化時，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內減函數，在內增函數。函數在處取得極大值，且=函數在處取得極小值，且=（3）解：由題設， 所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為若，而，不合題意若則對任意的有則又，所以函數在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 綜上，m的取值范圍是【考點定位】本小題主要考查導數的幾何意義，導數的運算，以及函數與方程的根的關系解不等式等基礎知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。22. （本小題滿分14分）已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （求橢圓的離心率（）直線AB的斜率；（）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值?！敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】 （1）解：由，得,從而，整理得，故離心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）解：由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設直線AB的方程