無窮級數(shù)習(xí)題及解答

1、第十一章 無窮級數(shù)§11.1 級數(shù)的概念、性質(zhì)一、單項選擇題1. 若級數(shù)收斂(為常數(shù))，則滿足條件是( )； ； ； 答2. 下列結(jié)論正確的是( )若，則收斂；若，則收斂；若收斂，則；若發(fā)散，則. 答3. 若級數(shù)與分別收斂于，則下述結(jié)論中不成立的是( )； ； 答.4. 若級數(shù)收斂，其和，則下述結(jié)論成立的是( )收斂； 收斂；收斂； 收斂. 答.5. 若級數(shù)收斂，其和，則級數(shù)收斂于( )； ； ； 答.6. 若級數(shù)發(fā)散，收斂則 ( ) 發(fā)散； 可能發(fā)散，也可能收斂； 發(fā)散； 發(fā)散. 答.二、填空題1. 設(shè)，則 答：. 2. 級數(shù)的和為 答： .3. 級數(shù)，其和是 答： .4.數(shù)項級數(shù)

2、的和為答： . 5*. 級數(shù)的和為 答： 3. 三、簡答題1 判定下列級數(shù)的斂散性(1) 答： 收斂.解：(2) 答： 發(fā)散.解：(3) 答： 發(fā)散.解：(4) 答： 發(fā)散.解：(5) 答： 收斂.解：§11.2 正項級數(shù)收斂判別法、P 級數(shù)一、單項選擇題1. 級數(shù)與滿足，則( ) 若發(fā)散,則發(fā)散；若收斂,則收斂；若收斂,則發(fā)散；若發(fā)散，則發(fā)散. 答.2. 若，則下列級數(shù)中肯定收斂的是( )； ； 答.3. 設(shè)級數(shù) (1) 與 (2) ，則( ) 級數(shù)(1)、(2)都收斂； 級數(shù)(1)、(2)都發(fā)散；級數(shù)(1)收斂，級數(shù)(2)發(fā)散； 級數(shù)(1)發(fā)散，級數(shù)(2)收斂 答.4. 設(shè)級數(shù)(

3、1) 與 (2) , 則( ). 級數(shù)(1)、(2)都收斂； 級數(shù)(1)、(2)都發(fā)散；級數(shù)(1)收斂,級數(shù)(2)發(fā)散； 級數(shù)(1)發(fā)散,級數(shù)(2)收斂 答.5. 下列級數(shù)中收斂的是( ) ； ； 答.6*. 若級數(shù)，則級數(shù)( ). ; ; ; . 答.7. 設(shè)與均為正項級數(shù),若，則下列結(jié)論成立的是( ).收斂, 發(fā)散； 發(fā)散, 收斂；與都收斂,或與都發(fā)散. 不能判別. 答.8. 設(shè)正項級數(shù)收斂，則( ). 極限； 極限；極限； 無法判定. 答9. 用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散，則( ). 可能發(fā)散； 一定發(fā)散；可能收斂； 不能判定. 答二、填空題1. 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是部分和答：有

4、上界.2. 設(shè)級數(shù)收斂，則的范圍是 答：3. 級數(shù)的部分和，則 答：.4. 級數(shù)是收斂還是發(fā)散 答：收斂. 5. 若級數(shù)收斂，則的范圍是 答：. 6. 級數(shù)是收斂還是發(fā)散 答：發(fā)散. 三、簡答題1. 用比較法判定下列級數(shù)的斂散性：(1) ； 答：發(fā)散. (2) ； 答： 收斂.(3) ； 答：收斂. (4) .答收斂;發(fā)散. 2. 用比值法判定下列級數(shù)的斂散性：(1) ； 答：發(fā)散. (2) ； 答： 收斂. 解：(3) ； 答： 收斂. (4) 答： 收斂.解：3. 用根值法判定下列級數(shù)的斂散性：(1) ； 答： 收斂. (2) ； 答：收斂. 解：解： (3) ； 答：收斂. 解：(4)

5、其中，均為正數(shù)答：當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散，當(dāng)時不能判斷§11.3 一般項級數(shù)收斂判別法一、單項選擇題1. 級數(shù)與滿足,則( ) 若收斂,則發(fā)散； 若發(fā)散,則發(fā)散； 若收斂,則發(fā)散； 若收斂,則未必收斂答.2. 下列結(jié)論正確的是( ) 收斂，必條件收斂； 收斂，必絕對收斂； 發(fā)散，則必條件收斂； 收斂，則收斂答 .2. 下列級數(shù)中，絕對收斂的是( ) ; ； ； 答 . 3. 下列級數(shù)中，條件收斂的是( ) ； ； ； 答 .4. 設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)( ). 絕對收斂； 條件收斂； 發(fā)散；斂散性與的取值有關(guān) 答.5. 設(shè)，則級數(shù)( ).與都收斂. 與都發(fā)散. 收斂，發(fā)散. 發(fā)散，收斂. 答.

6、6.設(shè),則下列級數(shù)中肯定收斂的是( ). . . . 答.7.下列命題中正確的是( ). 若與都收斂,則收斂.若收斂,則與都收斂. 若正項級數(shù)發(fā)散,則.若,且發(fā)散,則發(fā)散. 答.二、填空題1. 級數(shù)絕對收斂，則的取值范圍是 答： 2. 級數(shù)條件收斂，則的取值范圍是 答：3. 級數(shù)收斂，則是條件收斂還是絕對收斂 答：絕對 三、簡答題1. 判定下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？(1) ； 答： 解：(2) ； 答： 解：(3) ； 答： 解：(4) ； 答： 解：(5) ； 答： 解：(6) 答： 解：§11.4 冪級數(shù)收斂判別法一、單項選擇題1. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間是(

7、) ； ； ； 答.2. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間是( )； ； ； 答.3. 冪級數(shù)的收斂半徑是( ).； ； ； 答.（A） (C) （B） (D) 4. 若級數(shù)在處是收斂的，則此級數(shù)在處( ).發(fā)散；條件收斂； 絕對收斂； 收斂性不能確定 答.5. 若級數(shù)在處是收斂的，則此級數(shù)在處( ).發(fā)散；條件收斂； 絕對收斂； 收斂性不能確定 答.6若冪級數(shù)在處條件收斂，則級數(shù)( ).條件收斂； 絕對收斂； 發(fā)散； 斂散性不能確定. 答.二、填空題1. 冪級數(shù)的收斂域是 答： 2. 冪級數(shù)的收斂域是 答： 3. 冪級數(shù)的收斂半徑 ，和函數(shù)是 答：4. 冪級數(shù)的收斂半徑 ，和函數(shù)是 答：5. 設(shè)的收斂半徑為

8、，則的收斂半徑為答：6. 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則的收斂半徑為答：7. 冪級數(shù)的收斂域是 . 答：8. 冪級數(shù)在處條件收斂，則其收斂域為 .答：.一、簡答題1. 求下列冪級數(shù)的收斂域(1) ； 答： (2) ； 答： (3) ； 答： (4) ； 答：(5) ; 答： (6) 答：2. 用逐項求導(dǎo)或逐項積分，求下列冪級數(shù)的和函數(shù)(1) ； 答：解：(2) 答：解：3*. 求級數(shù)的和答：解：§11.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、單項選擇題1. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)是( ) ； ； ； 答.2. 如果的麥克勞林展開式為，則是( ) ；答.3. 如果在的泰勒級數(shù)為，則是( ) ；答.4. 函數(shù)展開

9、成的冪級數(shù)是( ) ； ； 答.二、填空題1. 函數(shù)的麥克勞林展開式為答： 2. 函數(shù)的麥克勞林展開式為答： 3. 冪級數(shù)的和函數(shù)是 答： 4. 函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為 答：5. 函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為 答：6. 函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為答： 7. 函數(shù)在處的泰勒級數(shù)答： 8. 函數(shù)在處的泰勒級數(shù)答： 9. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為 答： 10. 函數(shù)展開成的冪級數(shù)為 答：11. 級數(shù)的和等于. 答：.三、簡答題1. 將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間(1) ； 解：答：(2) ； 解：答：(3) ； 解：答：(4*) ； 解：答：(5). 解：答：2. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解：答： 3*.

10、將函數(shù)在展開成冪級數(shù)解：答： 4*. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：答： §11.6 為周期的傅里葉級數(shù)一、單項選擇題1. 函數(shù)系 在區(qū)間上正交； 在區(qū)間上不正交； 在區(qū)間上正交； 以上結(jié)論都不對答.2. 函數(shù)系 在區(qū)間上正交； 在區(qū)間上不正交； 不是周期函數(shù)； 以上結(jié)論都不對答.3. 下列結(jié)論不正確的是( ) ；答.4. 是以為周期的函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)時，其傅里葉系數(shù)為( ) ；答.5. 是以為周期的函數(shù)，當(dāng)是偶函數(shù)時，其傅里葉系數(shù)為( ) ； 答.二、填空題1. 是以為周期的函數(shù)，傅里葉級數(shù)為答：其中2. 是以為周期的偶函數(shù)，傅里葉級數(shù)為 答： 3. 是以為周期的奇函數(shù)，傅里葉級數(shù)為

11、答： 4. 在的傅里葉級數(shù)中，的系數(shù)為答：5. 在的傅里葉級數(shù)中，的系數(shù)為答：6. 在的傅里葉級數(shù)中，的系數(shù)為答：三、簡答題1. 下列函數(shù)的周期為，試將其展開為傅里葉級數(shù)(1) ； 解：答： (2) ； 解：答：2. 將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)解：答： 3. 將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)解：答：4. 將函數(shù)展開成正弦級數(shù)解：答：5. 將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)解：答：§11.7 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、單項選擇題1. 下列結(jié)論不正確的是( )；答. 2. 是以為周期的函數(shù)，則的傅里葉級數(shù)為( )； 答.3. 是以為周期的函數(shù)，當(dāng)是偶函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)為( )； ； 答.4. 是以為周期的函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)為( )； ； 答.二、填空題1. 是以為周期的函數(shù), 的傅里葉級數(shù)為答：2. 是以為周期的偶函數(shù), 的傅里葉級數(shù)為答： 3. 是以為周期的奇函數(shù)，的傅里葉級數(shù)為答： 4. 設(shè)是以為周期的函數(shù)，又