數(shù)學(xué)輔助線做法

1、初中幾何中常見(jiàn)輔助線的作法在幾何學(xué)習(xí)中，如何添加輔助線是許多同學(xué)感到頭疼的問(wèn)題，許多同學(xué)常因輔助線的添加方法不當(dāng)，造成解題困難。在老師的幫助下，我根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)把初中幾何中常見(jiàn)的輔助線作法編成了一些“順口溜” 歌訣，現(xiàn)將該歌訣寫(xiě)出來(lái)奉獻(xiàn)給同學(xué)們，但愿能給大家的學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)帶來(lái)一些幫助。人人都說(shuō)幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心

2、等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變?；咀鲌D很關(guān)鍵，

3、平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。正確熟練地掌握輔助線的作法和規(guī)律，也是迅速解題的關(guān)鍵，如何準(zhǔn)確地作出需要的輔助線，簡(jiǎn)單介紹幾種方法：方法一：從已知出發(fā)作出輔助線：DABCEFMN例1已知：在ABC中，AD是BC邊的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，求證：AF=分析：題設(shè)中含有D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，由此可以聯(lián)想到三角形中與邊中點(diǎn)有密切聯(lián)系的中位線，所以，可有如下2種輔助線作法：（1）過(guò)D點(diǎn)作DNCA，交BF于N，可得N為BF中點(diǎn)，由中位線定理得DN=，再證AEFD

4、EN，則有AF=DN，進(jìn)而有AF=（2）過(guò)D點(diǎn)作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，F(xiàn)M=AF，則有AF=方法二：分析結(jié)論，作出輔助線ABDCE 例2：如圖，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑，求證：AB·AC=AE·AD分析：要證AB·AC=AE·AD，需證ABCDEO·（或），需證ABEADC（或ABDAEC），這就需要連結(jié)BE（或CE），形成所需要的三角形，同時(shí)得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得證。方法三：“兩頭湊”（即同時(shí)分析已知和結(jié)論）作出輔助線ABCDEFM例3：過(guò)ABC的頂點(diǎn)C

5、任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E；求證：AEED=2AFFB分析：已知D是BC中點(diǎn)，那么在三角形中可過(guò)中點(diǎn)作平行線得中位線；若要出現(xiàn)結(jié)論中的AEED，則應(yīng)有一條與EF平行的直線。所以，過(guò)D點(diǎn)作DMEF交AB于M，可得，再證BF=2FM即可。方法四：找出輔助線的一般規(guī)律，將對(duì)證題時(shí)能準(zhǔn)確地作出所需輔助線有很大幫助。例如：在“圓”部分就有許多規(guī)律性輔助線：（1）有弦，作“垂直于弦的直徑”例4：已知，如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，求證：AC=BD分析：過(guò)O點(diǎn)作OEAB于E，則AE=BE，CE=DE，即可證得AC=BDABCDE12·O（2）

6、有直徑，構(gòu)成直徑上的圓周角（直角）例5：已知：如圖，以ABC的AC邊為直徑，作O交BC、BA于D、E兩點(diǎn)，且，求證：B=C 分析：連結(jié)AD，由于AC為直徑，則有ADBC，又，有1=2，由內(nèi)角和定理得B=C（3）見(jiàn)切線，連半徑，證垂直ABCDO123·例6：如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分DAB分析：連結(jié)OC，由于CD為切線，可知OCCD，易證：1=2，又因?yàn)?=3，所以1=3，則可得AC平分DAB（4）證切線時(shí)，“連半徑，證垂直”或“作垂直，證半徑”例7：已知，直線AB經(jīng)過(guò)O上的一點(diǎn)，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求證：直

7、線AB是O的切線分析：連結(jié)OC，要證AB是O的切線，需證OCAB，由已知可證OACOBC，可得OCA=OCB=900，結(jié)論得證。例8：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直徑，BC=CD+AB，ABCDO·E求證：AD是O的切線分析：過(guò)O點(diǎn)作OEAD，垂足為E，要證AD是O的切線，只要證OE是O的半徑即可，也就是說(shuō)需要證OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行線等分線段定理得DE=EA，進(jìn)而由梯形中位線定理得OE=，所以E點(diǎn)在O上，AD是O的切線。（二）練習(xí)1、已知： 如圖，在ABC中，ADDB，AEEC求證： DEBC，DEBC2、已知： 如圖

8、27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求證： EFBC，EF（ADBC）3、已知：如圖27.3.13所示,在ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求證：AE、DF互相平分。4、如圖：已知：AB為O的直徑，弦CDAB，M為上一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于F，求證：AMD=FMC與圓有關(guān)的輔助線常規(guī)作法解析與圓有關(guān)的幾何問(wèn)題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質(zhì)，題型的復(fù)雜程度可想而知。為此，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解并掌握?qǐng)A中有關(guān)計(jì)算或證明題的一般解法，現(xiàn)就圓中輔助線的常規(guī)作法分類總結(jié)如下，供

9、同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半徑或直徑，有時(shí)還要連結(jié)過(guò)弦端點(diǎn)的半徑）例1.如圖，以RtABC的直角頂點(diǎn)A為圓心，直角邊AB為半徑的A分別交BC、AC于點(diǎn)D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A的半徑。解：過(guò)A作AHBD于H，則。BAAC，CAB=AHB=90°。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如圖，AB是O的直徑,POAB交O于點(diǎn)P，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：。證明：過(guò)O作OCNP于點(diǎn)C，則。OCNP，POAB，POM=PCO=90°。又OPM=CPO，OPMCPO，即。評(píng)析：求解圓中與弦有關(guān)的問(wèn)題，常需作弦心距（即垂直于弦

10、的直徑或半徑），其目的是構(gòu)造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，并利用垂徑定理來(lái)溝通弦、弧、弦心距之間的聯(lián)系。二、圓中有直徑，常作直徑所對(duì)的圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對(duì)的圓周角）例3.如圖，AB為半圓的直徑，OHAC于H，BH與OC交于E，若BH=12，求BE的長(zhǎng)。解：連結(jié)BC。 AB為直徑， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如圖,AB是半圓的直徑, C為圓上的一點(diǎn), CDAB于D, 求證:。證明：連結(jié)AC、BC。 AB為直徑， ACB=90°，1+2=90°。又CDAB，ADC=CDB=90

11、76;，1+3=90°，3=2，BCDCAD，即。評(píng)析：由于直徑所對(duì)的圓周角為直角，所以在有關(guān)圓的證明或計(jì)算問(wèn)題中，利用該性質(zhì)極易構(gòu)造出直角三角形，從而可以很方便地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行解決。三、圓中有切線，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑（若無(wú)切點(diǎn)，則過(guò)圓心作切線的垂線）例5.如圖，已知MN為O的直徑，AP是O的切線，P為切點(diǎn)，點(diǎn)A在MN的延長(zhǎng)線上，若 PA=PM，求A的度數(shù)。解：連結(jié)OP，設(shè)A的度數(shù)為x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于點(diǎn)P，APOP，A+POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30

12、6;，A=30°。例6.如圖,AB為O的直徑,C為O上的一點(diǎn),AD和過(guò)C點(diǎn)的切線垂直,垂足為D，求證1=2。證明：連結(jié)OC。DC切O于點(diǎn)C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。評(píng)析：當(dāng)欲求解的問(wèn)題中含有圓的切線時(shí)，常常需要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系。四、圓中有特殊角，常作直徑構(gòu)造直角三角形（若題中有三角函數(shù)但無(wú)直角三角形，則也需作直徑構(gòu)造直角三角形）例7.如圖, 點(diǎn)A、B、C在O上（AC不過(guò)O點(diǎn)），若ACB=60°,AB=6，求O半徑的長(zhǎng)。解：作直徑AD，連結(jié)BD。ACB與D都是所對(duì)的圓周角，D=A

13、CB=60°。又AD是直徑，ABD=90°，。例8.如圖，在銳角ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圓半徑為R，求證：。證明：作直徑CD，連結(jié)BD。CD為直徑，CBD=90°，。又A=D，即，同理可得，。評(píng)析：當(dāng)題設(shè)中未告訴有直角三角形但卻含有30°、45°、60°、90°等特殊角或某個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，通常需要作直徑構(gòu)造直角三角形來(lái)幫助求解。五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）例9.如圖，O1和O2外切于點(diǎn)A，BC是O1和O2外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：ABAC。證明：過(guò)點(diǎn)A作O1與O2的公切

14、線AM交BC于點(diǎn)M。MA和MB分別切O1于點(diǎn)A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即點(diǎn)A、B、C同在以M為圓心，BC為直徑的圓周上，ABAC。例10.如圖，A和B外切于點(diǎn)P，CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，若A與B的半徑分別為r和3r,求：CD的長(zhǎng)；B的度數(shù)。解：連結(jié)AB，連結(jié)AC、BD，過(guò)點(diǎn)A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，ACCD，BDCD。又AEBD，四邊形ACDE為矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60°。評(píng)析：在解決有關(guān)兩圓相切的問(wèn)題時(shí)，常常需作

15、出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑、切線長(zhǎng)相等、連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和（或差）等性質(zhì)來(lái)溝通兩圓間的聯(lián)系。六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線）例11.如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，AD是O1的直徑，且圓心O1在O2上，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交O2于點(diǎn)C，求證：CO1AD。證明：連結(jié)AB。 AD為O1的直徑，ABD=90°，D+BAD=90°。又C和BAO1都是O2中所對(duì)的圓周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90°，CO1AD。例12.如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為和，公共弦AB的長(zhǎng)為12，求O1AO2的度數(shù)。解：

16、連結(jié)AB、O1O2，使之交于H點(diǎn)。AB為O1與O2的公共弦，連心線O1O2垂直平分AB，O1AH=45°，O2AH=30°，O1AO2=O1AH+O2AH=75°。 評(píng)析：在解決有關(guān)兩圓相交的問(wèn)題時(shí)，最常見(jiàn)的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可以聯(lián)通兩圓中的弦、角關(guān)系，而連心線則垂直平分公共弦。全等三角形作輔助線的常用方法一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC&

17、gt;BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N， （法二：圖1-2） 延長(zhǎng)BD交 AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDC>BAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于 在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)

18、交BC于F注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三 角 形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，注意：當(dāng)證題有

19、角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、 在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到： AB+BD>

20、AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE （常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF=2AD。 六、 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點(diǎn) 求證：AB-AC>PB-PC。 分析：要證：AB-AC>

21、;PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長(zhǎng)法） 在AB上截取AN=AC連接PN 證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，七、 延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形： 例如：如圖7-1：已知AC=BD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：AD=BC分析：欲證 AD=BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD

22、與BAC， 但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接AC（或BD） 九、 有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。 例如：如圖9-1：在RtABC中，AB=AC，BAC=90°，1=2，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：B

23、D=2CE 分析：要證BD=2CE，想到要構(gòu)造線段2CE， 同時(shí)CE與ABC的平分線垂直，想到 要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于F。十、 連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB=DC，AC=BD，求證：A=D。分析：要證A=D，可證它們所在的三角形ABD和DCO全等，而只有AB=DC和對(duì)頂角 兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如連接BC，則ABD和DCO全等，所以，證得A=D。證明：連接BC 在ABC和DCB中十一、 取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB=DC，A=D 求證

24、：ABC=DCB。分析：由AB=DC，A=D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BN=CN，ABN=DCN。下面只需證NBC=NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN， 則由SSS公理有NBMNCM，所以NBC=NCB。問(wèn)題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。梯形問(wèn)題中的輔助線1、連結(jié)對(duì)角線例1如圖1，梯形ABCD中，ABCD，ADBC，延長(zhǎng)AB到E，使BECD，試說(shuō)明ACCE.解：如圖1，連結(jié)BD，由BDCE可證得BDCE，由等腰梯形ABCD性質(zhì)得ACBD，所以ACCE.2、平移一腰，即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形 例2如圖2，梯形ADCB中，ABCD，AB2cm，CD8cm，AD4cm，求BC的取值范圍.解析：過(guò)點(diǎn)B作BEAD，交CD于點(diǎn)E，則四邊形ADEB是平行四邊形，可知BEAD4cm，DEAB2cm.于是ECCDDE826cm. 在ABC中，ECBEBCECBE，所以2cmBC10cm.3、平移兩腰，將兩腰轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中例3如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90°，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，BC8，AD4，試求EF. 解：過(guò)點(diǎn)E分別作EMAB，ENCD，交BC于M、N，則EMFB，ENFC，