數(shù)學高二上滬教版向量的坐標表示及其運算教師版

1、年 級： 高二 輔導科目： 數(shù)學 課時數(shù)：3課 題向量的坐標表示及其運算 教學目的1、 理解平面向量的有關(guān)概念，掌握向量的坐標表示及運算法則2、 掌握向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則教學內(nèi)容【知識梳理】知識點1 向量及其表示 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量（向量可以用一個小寫英文字母上面加箭頭來表示。如讀作向量，向量也可以用兩個大寫英文字母上面加箭頭來表示，如表示由A到B的向量。A為向量的起點，B為向量的終點）。向量（或）的大小叫做向量的模，記作（或）?！咀⒁狻考扔蟹较蛴钟写笮〉牧拷凶鱿蛄浚挥写笮]有方向的量叫做標量。向量與標量是兩種不同類型的量，要注意加以區(qū)分。2.向量坐標的

2、有關(guān)概念（1）基本單位向量：在平面直角坐標系內(nèi)，方向分別與軸和軸正方向相同的兩個單位向量叫做基本單位，記（2）將向量的起點置于坐標原點O，作=，則OA叫做位置向量，如果點A的坐標，它在軸和軸上的投影分別為M,N，則,。（3）向量的正交分解：在（2）中，向量能表示成兩個垂直的向量分別乘以實數(shù)后組成的和式，該和式稱為的線線組合。這種向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作3.向量的坐標運算：設(shè)則；4.向量的模：設(shè)，由兩點間距離公式，可求的向量的?！咀⒁狻浚?）向量的大小可以用向量的模來表示，即用向量的起點與終點間的距離來表示。（2）向量的模是一個標量，并且是一個非負的實數(shù)

3、。知識點2 向量平行的充要條件已知與為非零向量，若則的充要條件是，所以，向量平行的充要條件可表示為：（其中為非零實數(shù)）。知識點 3 定比分點公式 1.定比分點公式和中點公式 已知是直線上的任一點，且，是直線上的一點，令，則，這個公式叫做線段的定比分點公式，特別的時，為線段的中點，此時，叫做線段的中點公式。2.三角形重心坐標公式設(shè)的三個頂點坐標分別為，G為的重心，則【典型例題分析】【例1】已知點A的坐標為，點B的坐標，且,求點P的坐標?！窘狻吭O(shè)點P的坐標 解得 所以所以點P的坐標為變式練習：已知點A（4、0），B（4、4），C（2、6），O為坐標原點，求AC和OB交點P的坐標。解析：設(shè)=n=（4

4、n、4n），=（4n4、4n0）=（4n4、4n）， =（24、60）=（2、6） 由及向量共線的充要條件可得（4n）×64n×（2）=0 解得n= 所以，=（4n，4n）=（3、3），P點的坐標為（3、3）?！纠?】已知，求的坐標?！窘馕觥款愃朴诮舛淮畏匠探M，可求得的坐標?！敬鸢浮孔兪骄毩暎喝粝蛄浚?、），（、），=（1、2），則=（ ）A）+ B）C） D）+解：設(shè)=1+2，則（1、2）=1（1、1）+2（1、1）=（1+2，12） =，選B?！纠?】設(shè)向量，化簡：（1）（2）【答案】（1）原式 （2）原式 【點撥】向量的化簡，依據(jù)其運算律進行，其方法類比代數(shù)式的化簡

5、?！纠?】已知向量，點A，若向量與平行，且，求向量的坐標?！窘馕觥勘绢}中放入兩個條件，要求兩個變量，只需列出方程組，求解即可?！敬鸢浮孔兪骄毩暎?、2、1），（1、3），（3、4），D（2、2），則（ B ）A） B）= C） D）=（，3）2若向量=（2、m）與=（m、8）的方向相反，則m= -4 【例5】在直角坐標系內(nèi)，點在直線上，且,求出的坐標?！敬鸢浮孔兪骄毩暎阂阎?，B（1、0），=（3、4），（、），且=3，求點的坐標。答案：A(8 -10)【例6】已知，若，求，的坐標?！窘馕觥坑傻?，解得，即可求，的坐標【答案】當時， 當時，變式練習：1、已知=（1，2），=（x，1），且+2與2

6、平行，則x= （ ）A）2 B）1 C） D） 2、下列命題：Û存在唯一的實數(shù)l，使得l；Û存在不全為零的實數(shù)l1和l2，使得l1l20；、不平行Û若l1l20，則l1l20；、不平行Û不存在實數(shù)l1和l2，使得l1l20。其中正確的命題是（ ）A)B)C)D)3、若三點P（1、1），A（2、4），B（x、9）共線，則（ ）A）x= B）x=3 C）x= D）x=51答案：1D; 2B; 3B【例7】如圖，已知的三個頂點坐標分別為，直線于，且直線平分的面積，求點的坐標?！窘狻吭O(shè)直線交于,依題可得 即 設(shè)，由定比分點公式可求的變式練習：若D、E、F分別是A

7、BC的三邊AB、BC、CA上的動點，且它們在初始時刻分別從A、B、C出發(fā)，各以一定速度沿各邊向B、C、A移動，當t=1時，分別到達B、C、A。求證：在0t1的任何一時刻t1，DEF的重心不變。 y F E A D B x證明：建立如圖所示直角坐標系，設(shè)A、B、C坐標分別為（0、0）、（a、0）、（m、n），在任一時刻t10、1，依速度一定，其距離之比等于時間之比，有= y C由定比分點坐標公式可求得D、E、F的坐標分別 為（a t1，0）、（a+（ma）t1，n t1）、 F E（m t1、nn t1），由重心坐標公式可得DEF的重心坐標為（、）。 A D B x當t=0或1時，ABC的重心也

8、是（、），故對任一t10、1，DEF的重心不變?！纠?】如圖，已知點的坐標分別為，點的坐標為求證：.【證明】 又所以因為， 所以四邊形為平行四邊形。于是平行所以變式練習：已知點O（0、0），A（1、2），B（4、5）及=+t，試問：1） t為何值時，P在x軸上？在y軸上？P在第二象限？2） 四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由。解析：1）=（3、3），=+t=（1+3t、2+3t）。 若P在x軸上，則2+3t=0，解得t=；若在軸上，則1+3t=0，解得t=；若在第二象限，則，解得<t< 2)=（1、2），=+=（33t、33t），若四邊形OA

9、BP為平行四邊形，則=，而 方程組無解，四邊形OABP不能成為平行四邊形?！纠?】（1）若點的坐標，求最小值。（2）若，且，求的值?！窘馕觥浚?）把表示成的函數(shù)，然后利用一元二次方程知識求最值（2）利用向量平行的充要條件求解。【答案】（1） （2）變式練習：1、已知=（2、3），=（5、6），則|+|= ，| 答案：;2、已知|=3，|=4，|=5，則|的最大值為 12 ；最小值為 0 。【課堂小練】1、設(shè)A、B、C、D四點坐標依次是（、），（、），（、），（、），則四邊形ABCD為（ ）A）正方形 B）矩形 C）菱形 D）平行四邊形2、設(shè)=（、sin），=（cos、），且，則銳角為（ ）A）

10、300 B）600 C）450 D）7503、若A、B、C、D四點共線，且依次排開，C是BD的中點，=m，=n，則=（ ）A）2mn B）2nm C）nm D）m+n4、在三角形ABC中，已知=，=，O是ABC的重心，則+= 5、若=（2、3），（、），（、），且=m+n，則m= ；n= ；6、在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點，若=，=，試以、為基底表示和。 答案：1、 D; 2、C; 3、B;4、(-);5、m=2,n=56、=- =-【課后練習】一、基礎(chǔ)鞏固1.已知,點,則點的坐標為 （ ）A B C D 2.若非零向量則是的 （ ）A 充分非必要條件 B 必要非充分條

11、件C 充分必要條件 D 既非充分又非必要條件3.已知，而，且，則實數(shù)的值為（ ）A 1或 B 或2 C D 4.已知，若與反向，則等于 （ ）A B C D 5.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，與向量AB平行且模也相等的向量有（ ）A B C D 6.中，若,G是的重心，則的坐標是（ ）A B C D 7.已知：,則_二、能力提升8.連接的線段，點P在線段AB上，且,則點P的坐標_9.已知,點P是的定比分點，,求點P的坐標。10.已知是的重心，是的中點，若A,B,C,D的坐標分別是，求點的坐標。三、創(chuàng)新探究11.已知O,A,B的坐標分別為，且（1）當為何值時，點P在x軸上？在y軸上？在第二象限？（