第一章數(shù)學(xué)建模概論

1、數(shù)學(xué)建模概論數(shù)學(xué)建模概論 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實踐基地浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實踐基地 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model） 是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題 本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或 能解釋某些客能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略?，F(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling） 應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提

2、煉出數(shù)學(xué)模型的過程。應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。1.1 例例（萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) ） 十五世紀(jì)中期十五世紀(jì)中期 ，哥白尼哥白尼 提出了震驚世界的提出了震驚世界的 日心說日心說。 丹麥著名的實驗天文學(xué)丹麥著名的實驗天文學(xué) 家家第谷第谷花了二十多年時間花了二十多年時間 觀察紀(jì)錄下了當(dāng)觀察紀(jì)錄下了當(dāng) 時已發(fā)現(xiàn)的五大時已發(fā)現(xiàn)的五大 行星的運動情況行星的運動情況 。 第谷的學(xué)生和助手第谷的學(xué)生和助手 開普勒開普勒對這些資料進(jìn)行了九年時對這些資料進(jìn)行了九年時間的分間的分 析計算后析計算后 得出著名的得出著名的Kepler三定律三定律。 牛頓牛頓根據(jù)開普勒三定律和牛頓第

3、二定律，利用微積分根據(jù)開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即方法推導(dǎo)出牛頓第三定律即 萬有引力定律萬有引力定律。1.行星軌道是一行星軌道是一 個橢圓，太個橢圓，太 太陽位于此橢圓的一個焦太陽位于此橢圓的一個焦 點上。點上。 2.行星在單位時間內(nèi)行星在單位時間內(nèi) 掃過的掃過的 面積不變。面積不變。3.行星運行周期的平方正比行星運行周期的平方正比 于橢圓長半軸的三次方于橢圓長半軸的三次方 ， 比例系數(shù)不隨行星而比例系數(shù)不隨行星而 改變改變 （絕對常數(shù)）（絕對常數(shù)）開普勒三大定律開普勒三大定律 這其中必這其中必 定是某一定是某一 力學(xué)力學(xué)規(guī)律規(guī)律 的反映，哼哼，我的反映，哼哼

4、，我 要找出它。要找出它。 如圖，有橢圓方程如圖，有橢圓方程 :cos1 eprdrdA221矢徑所掃過的面矢徑所掃過的面 積積A的微分為的微分為:由開普勒第二定由開普勒第二定 律律:wrdtdA221常數(shù)常數(shù)立即得出立即得出:wrwrrwrdtd222)(0即即:02wrwr橢圓面積橢圓面積wTrdtdtdAabT2021由此得出由此得出Tabwr22常數(shù)常數(shù)簡單推導(dǎo)如下：簡單推導(dǎo)如下：行星行星r太陽太陽()dwdt我們還需算出行星的加速度，為此需要建立我們還需算出行星的加速度，為此需要建立 兩種兩種 不同的坐標(biāo)架。第一個是固定的，以太陽為坐標(biāo)原點，不同的坐標(biāo)架。第一個是固定的，以太陽為坐標(biāo)

5、原點，沿長軸方向的單位向量記沿長軸方向的單位向量記 為為i,沿短軸方向的單位向量記沿短軸方向的單位向量記 為為j，于是：，于是：jir sinrcosr 進(jìn)而有進(jìn)而有 加速度加速度cossin)(2(sin)(cos()sinr(dtd)cosr(dtd22222)jijijira wrwrrwr以行星為坐標(biāo)原點建立活動架標(biāo)，其兩個正交的單位向以行星為坐標(biāo)原點建立活動架標(biāo)，其兩個正交的單位向量分別是量分別是jiejie cossinsincos r , 因此得出因此得出rrwrea)(2 由于由于02wrwr也就是說行星的加速度為也就是說行星的加速度為rrTaea223214由開普勒第三定律知

6、由開普勒第三定律知23/Ta為常數(shù)。若記為常數(shù)。若記2324MTaG那么就導(dǎo)出著名的那么就導(dǎo)出著名的 萬有引力定律：萬有引力定律：再將橢圓方程再將橢圓方程 )cos1 (erp兩邊微分兩次，得兩邊微分兩次，得0)(1)(2232 wrrrprwr將前面得到的結(jié)果將前面得到的結(jié)果和焦參數(shù)和焦參數(shù)代入，即得代入，即得22322rTarwr14 Tabwr22abp2rrMmGFe2 1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。必要的數(shù)據(jù)資料。 2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的

7、分析計對資料的分析計 算，算， 找出起主要作用的因素，經(jīng)必找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。 3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 即即建立數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析與檢驗。模型的分析與檢驗。 在難以得出解析解時，也在難以得出解析解時，也應(yīng)當(dāng)借助應(yīng)當(dāng)借助 計算機(jī)計算機(jī) 求出數(shù)值求出數(shù)值解。解。 實體信實體信息息(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))假設(shè)假設(shè)建模建模求解求解驗證

8、驗證應(yīng)用應(yīng)用對某個實際問題對某個實際問題了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特模型中變量的特征征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際研究課題的實際范疇范疇人口模型、生人口模型、生 態(tài)系統(tǒng)模型態(tài)系統(tǒng)模型 、交通、交通流模型、經(jīng)流模型、經(jīng) 濟(jì)模型、濟(jì)模型、 基因模型等基因模型等數(shù)學(xué)建模實踐的數(shù)學(xué)建模實踐的 每一步中都每一步中都 蘊含

9、著能力上的蘊含著能力上的 鍛煉，在鍛煉，在調(diào)查研究階段，需調(diào)查研究階段，需 要用到要用到觀察能力觀察能力、分析能力分析能力和和數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理能力能力等。在提出假設(shè)等。在提出假設(shè) 時，又需要用到時，又需要用到 想象力和歸納想象力和歸納 簡化簡化能力。能力。 在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工前人或別人的工作，使自己的工 作成為別人研究工作作成為別人研究工作 的的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)

10、學(xué)會果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會在盡可能短的時間在盡可能短的時間 內(nèi)內(nèi)查到并學(xué)會查到并學(xué)會我想應(yīng)用的知識的本領(lǐng)。我想應(yīng)用的知識的本領(lǐng)。 還需要你多少要有點還需要你多少要有點 創(chuàng)新的能力創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會。有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會。 開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué) 生的生的綜合素質(zhì)綜合素質(zhì)，增強(qiáng)，增強(qiáng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識應(yīng)用數(shù)學(xué)知識 解決實際問解決實際問 題的本領(lǐng)。題的本領(lǐng)。僅最近幾年里，我校僅最近幾年里，我校學(xué)生都在只參加了半學(xué)生都在只參

11、加了半年左右的學(xué)習(xí)和實踐年左右的學(xué)習(xí)和實踐后，就在國際性的競后，就在國際性的競賽（美國大學(xué)生數(shù)學(xué)賽（美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）中交出了建模競賽）中交出了非常出色的研究論文，非常出色的研究論文，奪得了特等獎兼奪得了特等獎兼INFORMSINFORMS獎獎2 2項（項（19991999年、年、20032003年各一項）、年各一項）、1818項一等獎、項一等獎、1010項二項二等獎的好成績。等獎的好成績。例例1 某人平時下班總是按預(yù)定時間到達(dá)某處，然某人平時下班總是按預(yù)定時間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人

12、就沿著妻子來接他了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問題就迎刃而換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？十分鐘時間從何而來？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點到顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又

13、從會合點返回相遇點這一會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需段路的緣故，故由相遇點到會合點需開開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會合點，故相遇時他已步行了二十達(dá)會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。五分鐘。 ？例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。問：在什么條件下，地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達(dá)該地。中的同一時間到達(dá)該地。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同

14、假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。 （請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明）請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明） 例例3 3 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)一個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈。亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是

15、什么，不難看設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離離 L。這就是說，在離街口距離為。這就是說，在離街口距離為 L處處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅芤堰^線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。穿過馬路。 馬路的寬度馬路的

16、寬度 D是容易測得是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在的，問題的關(guān)鍵在 于于L的確定。為確定的確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程 ，L2為剎車制動為剎車制動后車輛駛過的路程。后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對較容易計算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間司機(jī)的平均反應(yīng)時間 t1早有測算，反應(yīng)時間過早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量

17、最大，是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車距離。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來律計算出來 （ 留作習(xí)題）留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出一步，先計算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即的車順利穿過馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v

18、。 DL例例4 4 餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴捎谙牍?jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴降卓梢韵炊嗌俦P子，請你幫他建模分析一到底可以洗多少盤子，請你幫他建模分析一下這一問題。下這一問題。盤子有大小嗎盤子有大小嗎 ? ?是什么樣的盤子？是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的盤子是怎樣洗的 ? ? 不

19、妨不妨假設(shè)假設(shè)我們了解到：盤子大小相同，我們了解到：盤子大小相同，均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時先將一疊均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后盤子浸泡在熱水中，然后 一一清洗。清洗。 不難看出，是水不難看出，是水 的溫度在決的溫度在決 定定洗盤子的數(shù)量洗盤子的數(shù)量 。盤子是先用冷水。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會再用清水洗過的，其后可能還會再用清水沖洗，更換熱水并非因為水太臟沖洗，更換熱水并非因為水太臟了，而是因為了，而是因為 水不夠熱了水不夠熱了。 那么熱水為什么會變冷呢？假如那么熱水為什么會變冷呢？假如你想建一個較精細(xì)的模型，你當(dāng)你想建一個較精細(xì)的模型，你當(dāng)然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的

20、因然應(yīng)當(dāng)把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原素都考慮進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)崴骄庵皇窍肓私庖幌乱怀責(zé)崴骄蠹s可以洗多少盤子，大約可以洗多少盤子， 殺雞殺雞 焉用牛刀？焉用牛刀？ 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 簡化假設(shè)簡化假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮水池、空氣吸熱不計，只考慮 盤子吸熱，盤子的大小、材料相同盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為度為T1，最終換水時的溫度為，最終換水時的溫度為 T

21、2（4）每個盤子的洗滌時間每個盤子的洗滌時間 T是一是一個常數(shù)。（個常數(shù)。（這一假設(shè)甚至可以去掉這一假設(shè)甚至可以去掉 不要不要）根據(jù)上述簡化假設(shè)，利用熱量守根據(jù)上述簡化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查易回答了，當(dāng)然，你還應(yīng)當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。 可見可見 ，假設(shè)條件，假設(shè)條件 的提出不的提出不 僅和你僅和你 研的研的 問題問題 有關(guān)，還和有關(guān)，還和 你準(zhǔn)備利用哪些知你準(zhǔn)備利用哪些知 識識 、準(zhǔn)備建立什么樣的模型以及你準(zhǔn)準(zhǔn)備建立什么樣的模

22、型以及你準(zhǔn) 備研備研究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時，究的深入程度有關(guān)，即在你提出假設(shè)時，你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。你建模的框架已經(jīng)基本搭好了。 例例5 5 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與重量均設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與重量均 為為1 1，其，其 重重心在中點心在中點1/21/2磚長處，現(xiàn)用磚長處，現(xiàn)用歸納法歸納法推導(dǎo)。推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：塊磚受到的兩個力的力矩相等，有： 1/2-Z

23、n= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，從而上面，從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總距離為總距離為 ，nkk121112121,時nnknkn 例例6 6 某人住在某公交線附近，該公交線路某人住在某公交線附近，該公交線路為在為在A A、B B兩地間運行，每隔兩地間運行，每隔 1010分鐘分鐘A A、B B兩兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C C點等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇怪的現(xiàn)點等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B B去去A A的車，難道由的車，難道由 B B去去A

24、 A的車次多些嗎？請的車次多些嗎？請你幫助他找一下原因你幫助他找一下原因由于距離不同，設(shè)由于距離不同，設(shè) A A到到C C行駛行駛3131分分鐘，鐘，B B到到C C要行駛要行駛 3030分鐘，考察一分鐘，考察一個時間長度個時間長度 為為1010分鐘的區(qū)間，例分鐘的區(qū)間，例如，可以從如，可以從 A A方向來的車駛方向來的車駛 離離C C站站時開始，在其后的時開始，在其后的 9 9分鐘內(nèi)到達(dá)的分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見到先來的車均為乘客見到先來的車均為 B B開往開往A A的，的，僅有最僅有最 后后1 1分鐘到達(dá)的乘客才見到分鐘到達(dá)的乘客才見到 由由A A來的車先到。由此可見，如果來的車先到。由此可見，如果此人此人 到到C C站等車的時間是隨機(jī)的，站等車的時間是隨機(jī)的，則他先遇則他先遇 上上B B方向來的車的概率為方向來的車的概率為 90%90% 。例例4 4 飛機(jī)失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射飛機(jī)失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計一些尋找黑定其所在的方