平面向量知識點總結(jié)及部分訓(xùn)練題

1、第五章 平面向量一、向量的相關(guān)概念：1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小 2、向量的表示方法：幾何表示法：用有向線段表示；用字母、等表示；用有向線段的起點與終點字母：；坐標(biāo)表示法：3、向量的模：向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 4、特殊的向量：長度為0的向量叫零向量，記作的方向是任意的長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.5、相反向量：與長度相同、方向相反的向量記作 -6、相等的向量：長度相等且方向相同的向

2、量叫相等向量.向量與相等，記作；7、平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作平行向量也稱為共線向量規(guī)定零向量與任意向量平行。8、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作，則叫與的夾角說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；規(guī)定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0°q180°9、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）； （）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的10、兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾

3、角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定11、向量的投影：定義：|cosq叫做向量在方向上的投影，投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |；當(dāng)q = 180°時投影為 -|，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)，使（1）平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得

4、我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，（2） 若，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)2、兩個向量平行的充要條件向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使 設(shè)，則3、兩個向量垂直的充要條件設(shè)，則4、平面內(nèi)兩點間的距離公式（1）設(shè)，則或（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為A、B，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)5、兩向量夾角的余弦（） 三、向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) ，運算類型幾何方法

5、坐標(biāo)方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則（首尾相接，首尾連）向量的減法三角形法則（首首相接，尾尾相連，指向被減）向量的乘法實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）（2）時，與同向；當(dāng)時，與異向；當(dāng)時，。任意方向 向量的數(shù)量積，1或時, 2且時, 向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積或特別注意：（1）結(jié)合律不成立： ；（2）消去律不成立不能得到（3）不能得到=或=乘法公式成立： 線段的定比分點公式: 設(shè)點P分有向線段所成的比為，即，則 (線段定比分點的坐標(biāo)公式)當(dāng)1時，得中點公式：（）或平移公式： 設(shè)點P(x，y)按向量（，）平移后得到點P（x，y），則+a或

6、曲線yf（x）按向量（，）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yf（x)正弦定理其中R表示三角形的外接圓半徑）： （1）（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）余弦定理（1）=（2） （3）；附：ABC的判定：ABC為直角A + B =ABC為鈍角A + BABC為銳角A + B附：證明：，得在鈍角ABC中，在ABC中，有下列等式成立.證明：因為所以，所以，結(jié)論！三角形的四個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點. 內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點. 非零向量與有關(guān)系是：是方向上的單位向量練習(xí)題：一、平面

7、向量的概念及其運算1、若向量滿足，則與必須滿足的條件為 方向相同 2、若，則等于（ B ） A B C D 3、正六邊形ABCDEF中，（ D ）A B C D4、在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)，則= 2 5、在中，已知，則等于（ A ）A B C D6、在中，E、F分別是AB和AC的中點，若，則等于（ C ）A B C D7、已知：向量 同向，且，則 1 二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示8、若，且，則四邊形ABCD是（ C ） A是平行四邊形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、已知且，試求點和的坐標(biāo) 199頁（答案：）10、已知向量，則與同向的單位向量是（ A ） A B C D11、已

8、知，則線段AB中點的坐標(biāo)是 （1，2） 12、若三點共線，求 （答案：） 13、若向量與相等地，已知，則的值為（ A ）A-1 B-1或-4 C4 D1或4三、線段的定比分點14、已知A、B、C三點在同一條直線上，且A（3，-6），B（-5，2），若點C的橫坐標(biāo)為6，求點C分所成的比及點C的縱坐標(biāo)（答案：）15、若線段AB的端點，中點，則 100 、16、已知和A（6，3）兩點，若點P在直線OA上，且，又P是的中點，則點B的坐標(biāo)為 （4，2）17、已知直線與軸，軸分別交于點A、B，的重心為（-1，3），則AB中點坐標(biāo)為18、已知三個點，點C在上，且，連結(jié)DC并延長至E，使，則E點的坐標(biāo)為（ D

9、 ） A（0，1） B（-8，） C（0，1）或 D（，）19、已知點A關(guān)于R 對稱點是，則點到原點的距離是（ D ） A B C4 D四、平面向量的數(shù)量積20、已知，則與的夾角等于 21、已知ABCD為菱形，則的值為 0 22、已知，且，則向量在方向上的投影為 23、已知向量與的夾角為，且，（1）求在方向上的投影（2）求（3）若向量與垂直，求實數(shù)的值（答案：（1）-2，（2），（3）24、已知、滿足且，則 25、若，且與不共線，則與的夾角為 26、已知 ，且 ，求的坐標(biāo)27、已知，若與的夾角為鈍角，則 的取值范圍是（ A ）A B C D28、已知，則與的夾角為 29、已知，若點在線段AB的

10、中垂線上，則= 五、平移30、把點A（3，4），按 平移，求對應(yīng)點 的坐標(biāo) （答案（4，6） 31、把函數(shù)的圖象按平移得到，求的函數(shù)解析式（答案）32、一個向量把點（2，-1）平移到（-2，1），它把點（-2，1）平移到（ A ）A B（-2，1） C（6，-3） D（-6，3） 33、若向量使點（3，-9）平移到點（1，1），則將函數(shù)的圖象，按平移后的解析式為（ A ）A B C D 34、已知A（5，7）、B（2，3），將按向量平移后的坐標(biāo)為 （-3，-4） 六、解斜三角形35、在中，已知，求 （ 答案：）36、在中，已知，求 （答案 ）37、在中，已知，求 （答案7）38、在中，（1），求 （2），求C （答案：（1）（2）39、若三角形的三邊長分別為，5，6，則此三角形一定是（ A ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D銳角或鈍角三角形40、在中，若，則為（ B ）A直角三角形 B等腰三角形 C等邊三角形 D等腰三角形或直角三角形41、在中，則的值為（ C ）A B13 C D9 42、已知三點A（1，2），B（3，1），C（-1，0）（1）若ABCD為平行四邊形，求D點坐標(biāo)；（