數(shù)學(xué)建模-新產(chǎn)品銷量預(yù)測問題

1、.銷量預(yù)測問題一、 摘要本文通過建立微分方程模型，探討了新產(chǎn)品進(jìn)入市場后銷售量變化的情況。模型由簡單到復(fù)雜、 由理想到現(xiàn)實(shí)， 逐步利用廣告對(duì)市場的限制探討了產(chǎn)品銷售量變化的情況，分析了廣告費(fèi)用對(duì)銷售量產(chǎn)生的影響， 建立比較符合現(xiàn)實(shí)的模型。問題一中，新產(chǎn)品的投入，沒有市場競爭，有良好的市場環(huán)境，也有良好的口碑，故屬于較為簡單的微分方程模型，可直接建立模型。問題二中，產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N統(tǒng)計(jì)表明 dx 與該產(chǎn)品的潛在,dt容量 Nx(t ) 成正比，故建立阻滯增長模型求解。問題三中，則考慮了廣告費(fèi)用對(duì)產(chǎn)品銷量的影響， 分析了廣告費(fèi)用與銷售速率之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)微分方程模型，并運(yùn)用了 Ma

2、tlab 軟件編程求解。二、 問題提出一種新產(chǎn)品問世，經(jīng)營者自然要關(guān)心產(chǎn)品的賣出情況。如何采取有效措施，使得產(chǎn)品銷量大，獲取更大的利潤，這是每個(gè)經(jīng)營者最為關(guān)注的問題。dxx(t)、設(shè)t時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長率dt與成正比 , 預(yù)測 t 時(shí)的產(chǎn)品銷量x t；1dx2、設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N, 統(tǒng)計(jì)表明 dt 與該產(chǎn)品的潛在容量 Nx(t ) 成正比 , 預(yù)測 t 時(shí)的產(chǎn)品銷量 x t；3、試考慮影響產(chǎn)品銷量的廣告因素，并建立模型， 預(yù)測 t 時(shí)的產(chǎn)品銷量 x t .三、 模型假設(shè)與符號(hào)系統(tǒng)模型假設(shè)：模型基本假設(shè)：；假設(shè) 1：在考慮影響商品銷售的因素時(shí)，不考慮偶然因素，如經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭因素、

3、政治干預(yù)等；假設(shè) 2：產(chǎn)品的銷售量符合產(chǎn)品的生命周期；假設(shè) 3：產(chǎn)品為日常用品，不是耐用品，每個(gè)人都需要。.符號(hào)系統(tǒng)：x(t)為 t 時(shí)刻新產(chǎn)品的銷售量a 為每件新產(chǎn)品的宣傳效率N 為市場的銷售容量b 為產(chǎn)品銷售量的增長率與潛在容量的比例系數(shù)s(t) 為商品 t 時(shí)刻的銷售量 (即新產(chǎn)品在此時(shí)刻一段時(shí)間的銷售量 ,如七月份 , 八月份的銷售量 ,而不是總銷售量 )M(t)為 t 時(shí)刻的廣告費(fèi)用為銷售量本身的衰減系數(shù)? 為廣告宣傳對(duì)銷售速率的影響T為商品銷售速率最大的時(shí)刻四、 模型的建立與求解問題一模型的建立與求解：模型的建立：t 時(shí)刻時(shí)，新產(chǎn)品的銷售量為x（ t），把 x（ t）當(dāng)做連續(xù)、可微

4、函數(shù)處理。每件新產(chǎn)品都是宣傳品，且單位時(shí)間內(nèi)每件新產(chǎn)品能夠使a 件新產(chǎn)品被銷售。由假設(shè)可知：x(t+?t) -x(t)=ax(t)即：dxdt開始時(shí)有 x0 件新產(chǎn)品被銷售axx(0)=x0整理得：dxaxdtx(0)x0求解得：x(t )x0eat.問題二模型的建立與求解：模型的建立：事實(shí)上， x t 往往是有上界的。針對(duì)模型上述欠缺，我們來修改模型 , 統(tǒng)計(jì)表明 dx 與該產(chǎn)品的潛在銷量成正比， 且設(shè) b 為銷售量的增長率與潛在dt銷售量的比例系數(shù)則：dxb( N x(t )dt用 matlab 軟件求解得：x( t)N ( ebt1) x 0ebt問題三模型的建立與求解：模型的建立：與實(shí)

5、際情況比較， 所得結(jié)果與真實(shí)銷售量的增長情況比較相符。然而事實(shí)上， 廠家在產(chǎn)品銷售之初， 往往是通過廣告、 宣傳等各種方式來推銷其產(chǎn)品的。因此我們需要做一下在廣告干預(yù)下的模型。另由圖像分析可知商品的銷售速度與廣告費(fèi)用成正比，即dsdtM (t)但是在市場趨于飽和， 銷售量趨于極限值 N時(shí)，銷售速度將會(huì)下降 （廣告作用下降，當(dāng) s（t ）趨近于 N，廣告作用趨近于零） 。產(chǎn)品生命周期一般分為四個(gè)階段：引入期：指新產(chǎn)品投入市場的初期階段，也叫投入期。因這一階段，用戶對(duì)產(chǎn)品不太了解，需要做大量的廣告宣傳工作， 向用戶推薦介紹產(chǎn)品， 所以這一時(shí)期也叫做介紹期。成長期： 市場銷售量迅速增長的階段。成熟期

6、：銷售量很大，而且穩(wěn)定，增減幅度不大。 銷售量最高點(diǎn)也是在這一時(shí)期。衰退期： 產(chǎn)品已經(jīng)陳舊老化，銷售量下降很快。由產(chǎn)品的生命周期可知，自然衰退是商品銷售速度的一種性質(zhì)，即產(chǎn)品銷售速度隨銷售量的增加而下降。dss(t )1dtN由于商品本質(zhì)屬性中銷售衰減期的存在，所以我們建立模型如下：ds(t)M (t)(1s(t ) )s(t)dtN特別： M(t ）=0， s（ t ） =N時(shí)，得到.ds(t)dt.s(t)若 M(t ）復(fù)雜，則方程難以解出?？紤]到銷售速度與廣告宣傳的關(guān)系，當(dāng)銷售進(jìn)行到一定時(shí)刻， 無論如何做廣告， 銷售速度都將下降。 故設(shè)廣告總費(fèi)用為 m，為討論方便，設(shè)在 T 時(shí)間內(nèi)做廣告且取 M（t ）=m/T,即取廣告策略為 :m (0tT )M (t )T0(tT )相當(dāng)于在開始到 T 時(shí)間內(nèi)，平均投入廣告費(fèi)用，時(shí)間T 后不再作廣告。代入方程：當(dāng) 0<t<T 時(shí)，ds(t )m (1s(t) )s(t )dtTNm(m ) s(t)(0<t<T)TTM令mpTMmqT則方程化為一階非齊次線性方程ds(t )dt得 :ps(t )qpts ( t )ce若 s（ 0） =s0，則 c=s0-q/p,從而qps(t)(s0q )e pt qppq (1 e pt )s0e ptp當(dāng) t>T 時(shí)，由s'(t)=-s(t)得