(完整)數(shù)列例題(含答案),推薦文檔

1、1設(shè)等差數(shù)列a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S4 =4S2， a2n=2an+1（1）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列 b nn且n2n* ）求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 T（ 為常數(shù)）令 c =b（ nNc n 的前 n 項(xiàng)和 Rn【解答】 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 a n 的首項(xiàng)為a1，公差為 d，由 a2n=2an+1，取 n=1，得 a2=2a1+1，即 a1 d+1=0再由 S4=4S2，得，即 d=2a1 聯(lián)立 、 得 a1=1， d=2所以 an=a1+（ n 1） d=1+2（ n 1）=2n 1；（2）把 an=2n 1 代入，得，則所以 b1=T1=1，當(dāng) n2 時，

2、=所以，Rn=c 1+c2+cn=得：=所以；所以數(shù)列 c n 的前 n 項(xiàng)和2等差數(shù)列 a n 中， a2=4，a4+a7=15 （ ）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè) bn=2+n，求 b1+b2+b3+b10 的值【解答】 解：（ ）設(shè)公差為d，則，1解得，所以 an=3+ （ n 1） =n+2 ；（ ） bn=2+n=2 n+n，所以 b1+b2+b3+b10=（ 2+1） +（ 22+2） +（ 210+10 ）=（2+2210+2 ） +（ 1+2+10 ）=+=2101 3已知數(shù)列2n* ）為等差數(shù)列，且 a1=33log （ a1） （nN， a =9（ ）求數(shù)列 a n

3、 的通項(xiàng)公式；（ ）證明+ 1【解答】（ I ）解：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og 2 （an 1） 的公差為d由 a1=3， a3=9 得 2（ log22+d）=log 22+log 28，即 d=1所以 log2（ an 1） =1+ （ n 1） ×1=n，即 an=2n+1（II ）證明：因?yàn)?，所以+=+=1 1，即得證n 是正數(shù)組成的數(shù)列，1n+1* ）在函數(shù) y=x2的圖象4已知 aa =1，且點(diǎn)（， a）（ nN+1上（ ）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；an，求證： bnn+2n+12（ ）若列數(shù) b n1n+1 n 滿足 b =1， b=b +2?b b【解答】 解：解法一：（

4、）由已知得an+1=an+1、即 an+1an=1，又 a1=1，所以數(shù)列 a n 是以 1 為首項(xiàng)，公差為1 的等差數(shù)列故 an=1+ （ n1） ×1=n（ ）由（ ）知： an=n 從而 bn+1 bn=2nbn=（ bn bn 1）+（ bn 1 bn 2 ）+（ b2b1） +b 1n 1n2=2+2+2+1=22nn+2n+1 1）2bn?bn+2bn+1 =（ 21）（ 21）（ 2=（22n+2 2n 2n+2+1）（ 22n+2 2?2n+1+1）=2n 0nn+22n+1b ?bb解法二：（ ）同解法一（ ） b2=12nn+12=2n+1?bn+12n?bn+1

5、 2n?2n+1bn?bn+2 bn+1 =（ bn+1 2 ）（ bn+1+2） bn+1=2n（ bn+1 2n+1）=2n（ bn+2n 2n+1）nn=2 （ bn 2）=n（ b1=2 2）=2n 02bn?bn+2bn+15已知等差數(shù)列a n 滿足 a1+a2=10 ， a4 a3=2（ 1）求 a n 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)等比數(shù)列 b n 滿足 b2=a3， b3=a7，問： b6 與數(shù)列 a n 的第幾項(xiàng)相等？【解答】 解：（ I）設(shè)等差數(shù)列 a n 的公差為 d a4 a3=2 ，所以 d=2 a1+a2=10 ，所以 2a1+d=10 a1=4 ， an=4+2 （ n1

6、） =2n+2（ n=1，2， ）（II ）設(shè)等比數(shù)列 b n 的公比為 q，b2=a3=8， b3=a7=16 ， q=2 ， b1=4=128，而 128=2n+2 n=63 b6 與數(shù)列 a n 中的第 63 項(xiàng)相等6設(shè)等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a5+a13=34， S3=9（1）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和公式；（2）設(shè)數(shù)列 b n 的通項(xiàng)公式為，問：是否存在正整數(shù)t，使得 b1，b2，bm（ m3，mN ）成等差數(shù)列？若存在，求出t 和 m 的值；若不存在，請說明理由【解答】 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列a n 的公差為d由已知得3即解得2故 an=2n 1，

7、Sn=n（2）由（ 1）知要使 b1， b2，bm 成等差數(shù)列，必須2b2=b1+bm，即，（8 分）移項(xiàng)得：=，整理得，因?yàn)?m， t 為正整數(shù)，所以t 只能取 2， 3， 5當(dāng) t=2 時， m=7；當(dāng) t=3 時， m=5；當(dāng) t=5 時， m=4 故存在正整數(shù) t，使得 b1，b2， bm 成等差數(shù)列7設(shè) a n 是等差數(shù)列，bn=（） an已知 b1+b 2+b3=， b1b2b3=求等差數(shù)列的通項(xiàng)an【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列a n 的公差為d，則 an=a1+（ n 1） db1b3=?=b22由 b1b2b3= ，得 b23= ，解得 b2= 代入已知條件整理得解這個方程組得b1

8、=2， b3=或 b1=， b3=2 a1= 1， d=2 或 a1=3 ，d= 2所以，當(dāng) a1= 1， d=2 時an=a1+（ n 1）d=2n 3當(dāng) a1=3， d=2 時an=a1+（ n 1）d=5 2n48已知等差數(shù)列 a n 的公差大于0，且 a3， a5 是方程 x2 14x+45=0 的兩根，數(shù)列 b n 的前n 項(xiàng)的和為 S ，且 S =1nn（ 1）求數(shù)列 a n ， b n 的通項(xiàng)公式；（ 2）記 cn=anbn，求證 cn+1cn【解答】 解：（ 1） a3， a5 是方程 x2 14x+45=0 的兩根，且數(shù)列a n 的公差 d 0， a3=5 ， a5=9，公差

9、 an=a5+（ n 5） d=2n 1又當(dāng) n=1 時，有 b1=S1=1 當(dāng)數(shù)列 b n 是等比數(shù)列，（2）由（ ）知， cn+1cn9已知等差數(shù)列a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， S5=35， a5 和 a7 的等差中項(xiàng)為13（ ）求 an 及 Sn；（ ）令（nN ），求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 T n【解答】 解：（ ） 設(shè)等差數(shù)列 a n 的公差為d，因?yàn)?S5=5a3=35， a5+a7=26，所以解得所以，（ 2 分）a1=3， d=2， （ 4 分）an=3+2 （n 1） =2n+1；n×2=n2+2n （ 6分）S =3n+（ ） 由（ ）知 an=2n+1

10、 ，所以 bn=（8 分）5=， （10 分）所以 T n=（12分）10已知等差數(shù)列 a n 是遞增數(shù)列，且滿足a4?a7=15， a3+a8=8（ ）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；（ ）令 bn=（ n2）， b1=，求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 Sn【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意： a3 8474 747是方程 x2 8x+15=0 的+a =8=a +a ， a ?a =15，知： a， a兩根，且 a4a7解得 a4=3， a7=5，設(shè)數(shù)列 a n 的公差為 d由故等差數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式為：（ 2）=又=11設(shè) f（ x）=x3，等差數(shù)列 a n31 2 3nn n n中 a

11、=7， a +a +a =12，記S=，令 b =a S ，數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 T n（ ）求 a n 的通項(xiàng)公式和 Sn；（ ）求證：；（ ）是否存在正整數(shù)m， n，且 1 m n，使得 T 1， Tm，T n 成等比數(shù)列？若存在，求出m，n 的值，若不存在，說明理由【解答】 解：（ ）設(shè)數(shù)列 a n3 11231+3d=12 的公差為 d，由 a =a +2d=7， a +a +a =3a解得 a1=1， d=3 an=3n 23nn+1f （x） =x S=a =3n+1（ ） bnnn=a S =（ 3n 2）（ 3n+1）6（ ）由（ 2）知， T 1， Tm，T n 成等比數(shù)列即

12、當(dāng) m=1 時， 7=， n=1，不合題意；當(dāng)m=2 時，=， n=16，符合題意；當(dāng) m=3 時，=， n 無正整數(shù)解；當(dāng)m=4 時，=， n 無正整數(shù)解；當(dāng) m=5 時，=， n 無正整數(shù)解；當(dāng)m=6 時，=， n 無正整數(shù)解；當(dāng) m7 時， m2 6m 1=（ m 3） 2 10 0，則，而，所以，此時不存在正整數(shù)m， n，且 1 m n，使得 T1， Tm， Tn 成等比數(shù)列綜上，存在正整數(shù)m=2，n=16，且 1 m n，使得 T1，T m， T n 成等比數(shù)列212已知等差數(shù)列a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=pn 2n+q （ p， qR），nN+（ ）若 a1 與 a5 的等差中

13、項(xiàng)為18， bn 滿足 an=2log 2bn，求數(shù)列 b n 的前 n 和 T n【解答】 解：（ ）當(dāng) n=1 時， a1=S1=p 2+q當(dāng) n2 時， an=Sn Sn 1=pn 2 2n+q p（ n 1） 2+2 （ n 1） q=2pn p2 a n 是等差數(shù)列， a1 符合 n2 時， an 的形式，p 2+q=2p p 2，q=0（ ） ，由題意得a3=18又 a3=6p p2， 6p p 2=18，解得 p=4 an=8n 6由 an=2log 2bn，得 bn=2 4n 3，即 b n 是首項(xiàng)為2，公比為16 的等比數(shù)列數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和13已知等差數(shù)列a n

14、的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足： a2+a4=14， S7=70 （ ）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè) bn=，數(shù)列 bn 的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值【解答】 解：（ I）設(shè)公差為d，則有（ 2 分）解得以 an=3n 2（ 4 分）7（II ）（6 分）所以= 1（ 10 分）當(dāng)且僅當(dāng)，即 n=4 時取等號，故數(shù)列 b n 的最小項(xiàng)是第4 項(xiàng)，該項(xiàng)的值為23（ 12 分）14己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列22*），且 a3+2是 a2， a4的a n 滿足 an+1 an+1an2an =0（ nN等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 an；n+1 50 成立的正整數(shù)（2）若 bn n

15、nn1 2nnn 的最小值=aa ， S =b +b+b，求 S +n ?222【解答】 解：（ ） an+1 an+1an2an =0， （ an+1+an）（ an+1 2an） =0， an+1+an 0， an+1 2an=0，即 an+1=2an，所以數(shù)列 a n 是以 2 為公比的等比數(shù)列a3+2 是 a2， a4 的等差中項(xiàng)，a2+a4=2a3+4，2a1+8a1=8a1+4 ，1a =2 ，數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 an=2nn，（ ）由（ ）及 bn=得， bn= n?2Sn=b1+b2+bn，Sn= 22?22 3?23 4?24 n?2n 2Sn= 22 2?23 3?24 4?25（ n 1） ?2n n?2n+12345nn+1 得， Sn=2+2 +2 +2 +2 +2 n?2=，n+1n+1n+1要使 Sn+n?2 50 成立，只需2 250 成立，即 2 52，15設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1=1 ，an+1=2Sn+1，數(shù)列 b n 滿足 a1=b1，點(diǎn) P（ bn，bn+1）在直線 x y+2=0 上， nN* （ ）求數(shù)列 a n ， b n 的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè)，求數(shù)列 c n