立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié),解題方法總結(jié)

1、.數(shù)學(xué)必修二知識(shí)梳理與解題方法分析第一章 "空間幾何體"一、本章總知識(shí)構(gòu)造二、各節(jié)內(nèi)容分析1.1空間幾何體的構(gòu)造1.本節(jié)知識(shí)構(gòu)造1.2空間幾何體三視圖和直觀圖1、本節(jié)知識(shí)構(gòu)造1.3 空間幾何體的外表積與體積1、本節(jié)知識(shí)構(gòu)造。三、高考考點(diǎn)解析本局部?jī)?nèi)容在高考中主要考察以下兩個(gè)方面的內(nèi)容：1.多面體的體積外表積問(wèn)題；2.點(diǎn)到平面的距離多面體的一個(gè)頂點(diǎn)到多面體一個(gè)面的距離問(wèn)題“等體積代換法。一多面體的體積外表積問(wèn)題1 在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為601求四棱錐PABCD的體積；【

2、解】1在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角,PBO=60°.在RtAOB中BO=ABsin30°=1,由POBO,于是，PO=BOtan60°=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.2如圖,長(zhǎng)方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)，求三棱錐PDEN的體積。【解】作，交于，由面得面在中，。二點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題“等體積代換法。1 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，III求點(diǎn)E到平面ACD的距離?！窘狻?III 設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的

3、距離為， 在中，而點(diǎn)E到平面ACD的距離為2如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)為1，是底面邊上的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的點(diǎn)，且。求點(diǎn)到平面的距離?！窘狻窟^(guò)在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，。故點(diǎn)到平面AMN的距離為1。3如圖，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。1求O點(diǎn)到面ABC的距離； 【解】1取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD。，那么BC面OAD。過(guò)O點(diǎn)作OHAD于H，那么OH面ABC，OH的長(zhǎng)就是所要求的距離。，。面OBC，那么。，在直角三角形OAD中，有 另解：由知：第二章 "點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系&

4、quot;一、本章的知識(shí)構(gòu)造二、各節(jié)內(nèi)容分析2.1空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、本節(jié)知識(shí)構(gòu)造2.內(nèi)容歸納總結(jié)1四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言：。公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 三個(gè)推論： 它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線兩個(gè)平面的交線。符號(hào)語(yǔ)言：。公理4：平行線的傳遞性平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：。2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。 兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一

5、點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角或直角叫異面直線所成的夾角。易知：夾角X圍定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。注意：會(huì)畫(huà)兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形2.位置關(guān)系：3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：4空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識(shí)構(gòu)造2.內(nèi)容歸納總結(jié)1四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問(wèn)題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。在平面內(nèi)“找出一條直線與直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“

6、平面問(wèn)題平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。判定的關(guān)鍵：在一個(gè)平面內(nèi)“找出兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面平行問(wèn)題直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。2定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化兩平面平行問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以在解題時(shí)應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。這種轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是：將“高維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“低維問(wèn)題，將“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題。2.3 直線、平面平

7、垂直的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識(shí)構(gòu)造2.內(nèi)容歸納總結(jié)一根本概念1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。2. 直線與平面所成的角：角的取值X圍：。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的記法：二面角的取值X圍：兩個(gè)平面垂直：直二面角。二四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問(wèn)題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。在平面內(nèi)“找出兩條相交直線與直線垂直

8、就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直轉(zhuǎn)化為“線線垂直平面與平面垂直的判定一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。滿足條件與垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)判定的關(guān)鍵：在一個(gè)平面內(nèi)“找出兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面平行問(wèn)題直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個(gè)平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直。解決問(wèn)題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線三定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化：兩平面垂直問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時(shí)應(yīng)注意從“高維到“低維 的轉(zhuǎn)化，即“空間問(wèn)題

9、到“平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。三、高考考點(diǎn)解析第一局部、三類角異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角的求解問(wèn)題一異面直線所成的夾角與異面直線的公垂線1異面直線所成的夾角是本局部的重點(diǎn)和難點(diǎn)更是高考的考點(diǎn)。異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個(gè)量，掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過(guò)“平移法轉(zhuǎn)化為“平面角，然后證明這個(gè)角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角簡(jiǎn)言之：“轉(zhuǎn)化角、“證明、“求角。以上三個(gè)步驟“轉(zhuǎn)化角是求解的關(guān)鍵，因?yàn)檗D(zhuǎn)化的過(guò)程往往就是求解的過(guò)程其目的就是將“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題角問(wèn)題。1如下圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直

10、，.是的直徑，,。II求直線與所成的角?！窘狻縄I第一步：將“問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“平面角問(wèn)題根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條異面直線的四個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點(diǎn)D作符合條件的直線。連結(jié)DO，那么ODB即為所求的角。第二步：證明ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE/AF，且DE=AF，所以四邊形ODEF為平行四邊形 所以DO/EF所以根據(jù)定義，ODB就是所求的角。第三步：求角由題設(shè)可知：底面ABCD為正方形 DA平面ABCD 平面 DABC又 AFBC BC平面ADO DOBCDOB為直角三角形 在RtODB，或用反三角函數(shù)表示為：2在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱

11、形，DAB60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為602假設(shè)E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大小結(jié)果用反三角函數(shù)值表示【解】2取AB的中點(diǎn)F，連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn),得EFPA,FED是異面直線DE與PA所成角或它的補(bǔ)角。在RtAOB中AO=ABcos30°=OP,于是,在等腰RtPOA中,PA=,那么EF=.在正ABD和正PBD中，DE=DF=.cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.3 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，II求異面直線AB與CD所成角的大??；【解】 本小題主要考察

12、直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離根本知識(shí)，考察空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。方法一：II 取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線AB與CD所成角的大小為4如圖，三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)。2求異面直線BE與AC所成的角；【解】2取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，那么EMAC，BEM是異面直線BE與AC所成的角。 求得：， 。2. 異面直線的公垂線問(wèn)題 異面直線的公垂線問(wèn)題也是高考的考點(diǎn)之一。與兩條異面直線都垂直相交的直線

13、叫做兩條異面直線的公垂線.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.1如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。I證明：ED為異面直線與的公垂線；【解】 設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO，BO，那么EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，EDOBABCDEA1B1C1OFABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1， EDAC1， EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線ABCA1VB1C12如圖，平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè)求證

14、直線是異面直線與的公垂線；【解】解法1：證明： 平面平面，又平面平面，平面平面，平面， ，又，. 為與的公垂線.二 直線與平面所成夾角1如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。求與平面所成的角。【解】 II取的中點(diǎn)，連結(jié)、，那么，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等. 因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角.在中，。故與平面所成的角是。圖1圖22 在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2如圖1。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P如圖2求直線A1E與平面A1BP所成角的大小；【

15、解】不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為3，那么II在圖2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜線，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A1E在面A1BP內(nèi)的射影三垂線定理的逆定理設(shè)A1E在面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于Q，那么EA1Q就是A1E與面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP為正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直線A1E與面A1BP所成角為60o。三二面角與二面角的平面角問(wèn)題1如下圖，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,。I

16、求二面角的大??；【解】IAD與兩圓所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABFC是正方形，所以BAF450.即二面角BADF的大小為450；2如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。求面與面所成二面角的大小?！窘狻窟B結(jié)AD，那么易知AD與BF的交點(diǎn)為O。II設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM，MD。斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB，。又因此，為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中，在Rt在Rt，那么在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小為3如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的

17、中點(diǎn).求二面角的大小.【解】如圖，取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，那么EF是PAD的中位線， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位線，F(xiàn)OABFOAC由三垂線定理可知ÐEOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAEF。ÐEOF45°而二面角與二面角EACD互補(bǔ)，故所求二面角的大小為135°.4 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，與相交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，又.求二面角的大??；【解】平面，又，由平面幾何知識(shí)得：連結(jié)，由及三垂線定理知，為二面角的平面角， 二面角的大小為5 如圖,=l , A, B,點(diǎn)A在直線l 上的

18、射影為A1, 點(diǎn)B在l的射影為B1,AB=2,AA1=1, BB1=, 求:II二面角A1ABB1的大小?！窘狻?BB1, 平面ABB1。在平面內(nèi)過(guò)A1作A1EAB1交AB1于E，那么A1E平面AB1B。過(guò)E作EFAB交AB于F，連接A1F，那么由三垂線定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45°， AB1=B1B=. RtAA1B中，A1B= = 。由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= = ,在RtA1EF中，sinA1FE = = ，二面角A1ABB1的大小為arcsin.第二局部 "空間直線、平面的平行

19、問(wèn)題"將“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題的“轉(zhuǎn)化思想一“線線平行與“線面平行的轉(zhuǎn)化問(wèn)題1如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；【解】 證明此題的關(guān)鍵：在平面EAC中“找一條與PB平行的直線，由于點(diǎn)E在平面PBD中，所以可以在平面PBD中過(guò)點(diǎn)E“找顯然，要“找的直線就是平面PBD與平面EAC的交線。最終將“線面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線平行問(wèn)題。連接BD，與AC相交與O，連接EO，ABCD是平行四邊形 O是BD的中點(diǎn)又E是PD的中點(diǎn)， EO/PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC。2如圖，在五面體中，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，面是等邊三角形，棱1證明/

20、平面；2設(shè)，證明平面【解】分析通上題。證明：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM.在矩形ABCD中。 ，又，那么，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，且EM平面CDE，F(xiàn)O平面CDE二 “線面平行與“面面平行的轉(zhuǎn)化問(wèn)題2如圖,長(zhǎng)方體ABCD-中，E、P分別是BC、的中點(diǎn),M、N分別是AE、的中點(diǎn)，求證：；【證明】此題如果利用“線線平行找“線比擬復(fù)雜不是不可以，所以我們可以考慮利用“面面平行來(lái)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化。關(guān)鍵是：考慮到點(diǎn)M、N都是中點(diǎn)，于是我們就輕松的可以找到另一個(gè)比擬特殊的中點(diǎn)KOC的中點(diǎn)，將“線面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“面面平行問(wèn)題。取的中點(diǎn)，連結(jié)分別為的中點(diǎn)面，面面面面第三局部 "

21、;空間直線、平面的垂直問(wèn)題"將“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想。一“線線垂直到“線面垂直1如圖，是正四棱柱。I求證：BD平面；【解】 根據(jù)直線與平面平行的判定定理很容易找到兩條相交的直線AC、A1A與BD垂直。是正四棱柱， CC1平面ABCD， BDCC1， ABCD是正方形， BDAC又 AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面。2 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，I求證：平面BCD； 【解】I證明：連結(jié)OC在中，由可得而即平面3 如圖4, 兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2, 。I證明: ；【解】取AD的中點(diǎn)M，連接PM、QM。因?yàn)镻ABCD與QABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。從而AD平面PQM。 又PQ平面PQM，所以PQAD。 同理PQAB，所以PQ平面ABCD。9圖1圖2在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、A