微分方程知識Word版

1、第二章 一階微分方程的初等解法研究對象一階微分方程與的求解問題1 變量可分離方程形如的方程，稱為變量可分離方程，其中和分別是的連續(xù)函數(shù)。1）變量可分離方程的解法對于變量分離方程，分離變量得，再積分，得，這就是方程的通解。注意：在變量分離的過程中，必須保證。但如果有根為，則不難驗證也是微分方程的解，有時無論怎樣擴充通解的表達式中的任意常數(shù)，此解不包含在其中，解題時要另外補充上，不能遺漏。2）可化為可分離變量的方程齊次方程 ，令，方程可化為分離變量的方程，。分式線性方程 1 / 14下面分三種情形來討論：），這時 為齊次方程。）及，這時可作變換，其中是線性代數(shù)方程的唯一解，可將方程化為齊次方程 。

2、）及，這時可設(shè) ，方程可化為，再令，則方程可進一步化為 ，這是一個變量可分離方程。其它類型的方程利用整體代換的思想，可將其他類型的方程化為變量可分離方程。例如，令；，令；，令；，令。2 一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性方程，當(dāng)時，稱為一階線性齊次方程，當(dāng)不恒為零時，稱為一階線性非齊次方程。1)一階線性方程的解法及其性質(zhì)一階線性方程的解法首先求其對應(yīng)的線性齊次方程的通解：利用分離變量法可得其通解為，其中為任意常數(shù)，滿足初始條件的解是。其次利用常數(shù)變易法求線性非齊次方程的通解：將線性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)來求線性非齊次方程的通解，此方法稱為常數(shù)變易法?？傻猛ń鉃?。滿足初始條件

3、的特解為 。線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)為：線性非齊次方程的通解等于其對應(yīng)線性齊次方程的通解與線性非齊次方程的一個特解之和。線性齊次方程解的性質(zhì)性質(zhì)1 必有零解；性質(zhì)2 通解等于任意常數(shù)與一個非零特解的乘積；性質(zhì)3 若均為齊次方程的解，則也是該方程的解，其中為任意常數(shù)。線性非齊次方程解的性質(zhì)性質(zhì)1 無零解，所有的解不能構(gòu)成解空間；性質(zhì)2 若是齊次方程的解, 是非齊次方程的解，則也是非齊次方程的解，其中為任意常數(shù)；性質(zhì)3 若均為非齊次方程的解，則相應(yīng)的齊次方程的解；性質(zhì)4（疊加原理）若是的解, 是的解，則是的解。2) 可化為一階線性方程的方程 迫努利(Bernoulli)方程形如的方程（是常數(shù)），稱

4、為伯努利方程，其中和為的連續(xù)函數(shù)。迫努利方程的解法作變換可將原方程變?yōu)?這是關(guān)于未知函數(shù)的線性方程，即可得到它的通解。黎卡提（Riccati）方程 形如的方程，稱為黎卡提方程，其中和為的連續(xù)函數(shù)。黎卡提方程的解法顯然當(dāng)，這就是迫努利方程。當(dāng)不恒為零時，一般無法對它精確求解，但如果已知它的一個特解，則可通過變換，而得到一個關(guān)于的迫努利方程，從而可求出它的通解，因此，求解黎卡提方程的關(guān)鍵是尋求它的一個特解。 雅克比（Jacobi） 方程形如的方程稱為雅克比方程，其中是常數(shù)。雅可比方程的解法 作變換，其中是使得為關(guān)于為齊次的。變換之后，方程變?yōu)橐浑A的，而且的系數(shù)是齊次的，因此這里如果的選擇使得成立，

5、則的系數(shù)也變成了齊次的，或更加對稱的，如果，即就是因此由下面的三次方程定義這樣定義之后，就是的任意兩個相容方程的解。方程可以被寫成以下形式作變換可將該方程化為迫努利方程，這里只是的函數(shù)。另外，如果關(guān)于的方程有三個不等的根，則雅可比方程的通解形式為其中關(guān)于線性表式。3 一階對稱形式的微分方程若將一階顯式微分方程寫成微分形式 （2.1）此形式稱為一階對稱形式的微分方程。1）恰當(dāng)方程 如果對稱形式的方程（2.1）的左端恰好是某一個二元函數(shù)的全微分，則稱該方程為恰當(dāng)方程。恰當(dāng)方程的判定定理2.1 假設(shè)函數(shù)和在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微，則方程（2.1）是恰當(dāng)方程的充分必要條件是在此區(qū)域內(nèi)恒有 成立。恰當(dāng)方程的解

6、法方法1 湊微分法利用熟知的二元函數(shù)微分公式，重新分組組合，分塊湊成全微分式。方法2 不定積分法利用關(guān)系式 由此，函數(shù)應(yīng)適合方程組，對 關(guān)于積分得 ，兩端關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，并利用恰當(dāng)方程的充分必要條件，得，通過對方程關(guān)于積分，解出，從而可得的表達式，令，即得方程的通解。如果對關(guān)于積分，同理可得方程的通解為，其中可類似于求解的方法得到。方法3公式法方程的通解為：或，其中是任意常數(shù)。求解時，的選擇要盡可能簡單，且使有意義。注意：求解恰當(dāng)方程的關(guān)鍵就是求方程左端微分式的原函數(shù)問題。2）非恰當(dāng)方程積分因子及其性質(zhì)對于方程（2.1），如果存在某連續(xù)可微的函數(shù)，使得為恰當(dāng)方程，則稱為方程（2.1）的一個積分因子

7、。因此求解非恰當(dāng)方程的關(guān)鍵是尋找合適的積分因子，從而將非恰當(dāng)方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程的求解問題。性質(zhì)1 只要方程（2.1）有解，則必有積分因子，而且不是唯一的，對于不同的積分因子，通解可能具有不同的形式。性質(zhì)2 方程（2.1）的任意兩個積分因子和之間必有函數(shù)關(guān)系。性質(zhì)3 若方程（2.1）有兩個積分因子和,且，則該方程的通積分為；注意：方程兩端同乘以積分因子可能出現(xiàn)使此因子為零的多余特解，注意檢驗。尋求積分因子的方法（1）觀察法 利用已知的或熟悉的微分式的原函數(shù)求積分因子。（2）公式法 利用積分因子滿足的微分方程來求積分因子。定理2.2 函數(shù)是方程（2.1）的積分因子的充分必要條件是滿足一階偏微分方程

8、：。利用定理2.2，容易得到下列尋求積分因子的簡捷方法。結(jié)論1 方程（2.1）有只與有關(guān)的積分因子的充分必要條件是此時，積分因子為。結(jié)論2 方程（2.1）有只與有關(guān)的積分因子的充分必要條件是此時，積分因子為。（3）分組組合法分組組合方法的原理：若方程（2.1）可進行下列分組組合 并且，尋找適當(dāng)?shù)目晌⒑瘮?shù)和使得 ，則原方程的積分因子為。（4）待定指數(shù)法對于系數(shù)為多項式的對稱形式的方程，常利用待定指數(shù)法求其積分因子。設(shè)方程具有積分因子為，其中為待定常數(shù)，根據(jù)積分因子的意義和恰當(dāng)方程滿足的充要條件，通過比較系數(shù)求出和即可。（5）換元法 （）若能確定適當(dāng)?shù)淖儞Q，使得方程（2.1）變換為易積分的方程，其

9、中（）若能確定適當(dāng)?shù)淖儞Q，使得方程（2.1）變換為易積分的方程，其中（6） 綜合分析法所謂綜合分析法是指將以上各方法的優(yōu)點有機地結(jié)合起來，在計算分析的過程中尋求適當(dāng)?shù)淖儞Q或積分因子，使方程（2.1）變?yōu)榭煞e方程，從而達到求解的目的。步驟1 結(jié)合觀察法、分組組合法將方程（2.1）化為 （1），并令。步驟2 求解方程 （2）若易得方程（2）的積分因子為，并求得其通解為，則方程（2）積分因子的通式可表示為，其中為的任意可微函數(shù)。步驟3 確定可微函數(shù)，使，則為方程（2.1）的積分因子。4 一階隱方程 一階隱方程的一般形式為。第一類 能解出(或)的方程1） （2.2） 這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。解法

10、引進參數(shù) ，則原方程變?yōu)?，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，并把代入可得 ，整理得 （2.3）則（2.3）是關(guān)于的一階顯式方程。若已求出方程(2.3)的通解為：， 將其代入中得方程(2.2)的通解為：。若求得方程(2.3)的通解為 ，則原方程有以下參數(shù)形式的通解 。若求得方程(2.3)通解形式為，則原方程有以下參數(shù)形式隱式通解 。其中是參數(shù),為任意常數(shù)。2） （2.4）解法 令，則原方程變?yōu)?兩邊對求導(dǎo)，得 ， ， （2.5） 則（2.5）是關(guān)于的一階顯式方程。若求得方程（2.5）的解為，則方程(2.4)的通解為。若求得方程(2.5)的通解為 ，則原方程有以下參數(shù)形式的通解 。若求得方程（2.5）的解為，則方程

11、(2.4)的通解為。特別地，注意以下兩個重要方程克萊羅（Clairaut）方程 形如的方程，稱為克萊羅方程。克萊羅方程解法令，對原方程兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 ，即，由可得，通解；由，得奇解為：。注意：克萊羅方程的通解可以視為將方程中換成任意常數(shù)而得到，它表示一族直線，奇解是一曲線，而此曲線恰為這族直線的包羅線。拉格朗日-達朗貝爾（Lagrange-DAlembert）方程形如的方程，稱為拉格朗日-達朗貝爾方程。拉格朗日-達朗貝爾方程的解法當(dāng)時，此時方程為克萊羅方程。當(dāng)時，令，對原方程兩端關(guān)于求導(dǎo)，得 ，整理得，這是關(guān)于的線性方程，解之得 原方程的參數(shù)形式的解為：，同時還必須考查由于的限制是否會漏掉某些解。第二類 不顯含( 或的方程 )1） 解法 引入適當(dāng)?shù)淖儞Q，代入方程從中得到，(或引入變換，代入方程從中得到)，有，積分可得 ，則方程的參數(shù)形式通解為 。特殊情形 令，代入方程從中求得，積分可得通解為 。2） 解法 引入