直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交一一:直線與雙曲線位置關(guān)系種類直線與雙曲線位置關(guān)系種類XYO種類種類:相離相離;相切相切;相交相交(0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn))位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離相離:0:0個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交:兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代

2、入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0,原點(diǎn)原點(diǎn)O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.直線直線y-ax-1=0和曲線和曲線3x2-y2=1相交，交相交，交點(diǎn)為點(diǎn)為

3、A、B，當(dāng)，當(dāng)a為何值時(shí)，以為何值時(shí)，以AB為直徑的為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 分析：分析：橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的橢圓上關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的連線段與此直線垂直點(diǎn)的連線段與此直線垂直, 即即: (1) 與橢圓相交于兩不同點(diǎn)；與橢圓相交于兩不同點(diǎn)； (2) 與橢圓兩交點(diǎn)連線段的中與橢圓兩交點(diǎn)連線段的中點(diǎn)在已知直線上點(diǎn)在已知直線上 例例2 試確定試確定m的取值范圍，的取值范圍，使橢圓使橢圓 上存在兩個(gè)不上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線同點(diǎn)關(guān)于直線y = 2x + m對(duì)稱對(duì)稱22143xy11(,)22m 分析二

4、：分析二：設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在橢兩點(diǎn)在橢圓上圓上, 且關(guān)于直線且關(guān)于直線l：y = 2x + m對(duì)稱，則可由線段對(duì)稱，則可由線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P在橢圓內(nèi)來確定在橢圓內(nèi)來確定m的取值范圍的取值范圍. 例例2 試確定試確定m的取值范圍，的取值范圍，使橢圓使橢圓 上存在兩不同上存在兩不同點(diǎn)關(guān)于直線點(diǎn)關(guān)于直線y = 2x + m對(duì)稱對(duì)稱22143xy11(,)22m 1 .位置判定位置判定2.弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式3.中點(diǎn)問題中點(diǎn)問題4.垂直與對(duì)稱垂直與對(duì)稱5.設(shè)而不求設(shè)而不求(韋達(dá)定理、點(diǎn)差法韋達(dá)定理、點(diǎn)差法)小結(jié)：小結(jié)：1. 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為F，(1)求

5、過點(diǎn)求過點(diǎn)F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)A(1,1)與橢圓的位置關(guān)系與橢圓的位置關(guān)系,并求以并求以A為中點(diǎn)為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.2.,yx1P ,Q ,O PO Q ,10| PQ |,.2 已已 知知 橢橢 圓圓 中中 心心 在在 原原 點(diǎn)點(diǎn) 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 在在 坐坐 標(biāo)標(biāo) 軸軸 上上 直直 線線與與 該該 橢橢 圓圓 相相 交交 于于且且求求 橢橢 圓圓 方方 程程2 22 2y y3 3. .給給定定雙雙曲曲線線x x- -= = 1 1, ,過過點(diǎn)點(diǎn)A A( (1 1, ,1 1) )能能否否作作直直線線

6、L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P P, ,Q Q, ,且且A A是是線線段段P PQ Q的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說說明明理理由由. . 4. 過點(diǎn)過點(diǎn)M( 2，0)作直線作直線l交雙曲線交雙曲線x2 y2 = 1于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，探索是否存在直線探索是否存在直線l，使，使 AOB = 90度度 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在，求若存在，求l的方程，若不存在，說明理由的方程，若不存在，說明理由. 解：2 22 2設(shè)設(shè)橢橢圓圓方方程程為為: :p px x + +q qy y = =1 1( (p p 0 0, ,q q 0 0) )將y=x+1代入得：2 2( (p p

7、+ +q q) )x x + +2 2q qx x+ +q q- -1 1= = 0 0121122121122設(shè)此方程的兩根為x ,x ,則P(x ,x +1),Q(x ,x +1),由題意:設(shè)此方程的兩根為x ,x ,則P(x ,x +1),Q(x ,x +1),由題意:2 2222221212121121212121010(x - x ) +(x +1)-(x +1) =()(x - x ) +(x +1)-(x +1) =()2 2x x +(x +1)(x +1)= 0 x x +(x +1)(x +1)= 0解之得或12121212121212121111x x =x x = -x

8、 x =x x = -4444, ,3131x +x = -x +x = -x +x = -x +x = -2222即或2q32q12q32q1=p+q2p+q2p+q2p+q2, ,q-11q-11q-11q-11= -= -p+q4p+q4p+q4p+q4解之得：或13311331p =,q =p =,q =,p =,q =p =,q =,22222222故所求的方程為或22222222x3y3xyx3y3xy+=1+=1.+=1+=1.222222223.,yx110P ,Q ,O PO Q ,| PQ |,.2 例例已已 知知 橢橢 圓圓 中中 心心 在在 原原 點(diǎn)點(diǎn) 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 在在

9、 坐坐 標(biāo)標(biāo) 軸軸 上上 直直 線線與與 該該 橢橢 圓圓 相相 交交 于于且且求求 橢橢 圓圓 方方 程程拓展延伸拓展延伸22121200221212001.1,169:3:2(,)1,3,(,)xyPF FPF PFP x yyxF FPF PFP x y已知 為雙曲線右支上的一點(diǎn),分別為左、右焦點(diǎn)，若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)。2.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上的一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，且d,成等比數(shù)列，試求點(diǎn)的坐標(biāo). 例例5 過點(diǎn)過點(diǎn)M( 2，0)作直線作直線l交雙曲線交雙曲線x2 y2 = 1于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，探索是否存在直線探索是否存在直線l，使，使 AOB = (O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)

10、原點(diǎn))若存在，求若存在，求l的方程，若不存在，說明理由的方程，若不存在，說明理由. 2作業(yè)作業(yè)不存在不存在2 22 2y y2 2. .給給定定雙雙曲曲線線x x- -= = 1 1, ,過過點(diǎn)點(diǎn)A A( (1 1, ,1 1) )能能否否作作直直線線L L2 2使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)P P, ,Q Q, ,且且A A是是線線段段P PQ Q的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說說明明理理由由. .1 11 12 22 2解解 : : 假假設(shè)設(shè)存存在在P P( (x x , ,y y ) ), ,Q Q( (x x , ,y y ) )為為直直線線L L上上的的兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,且且P

11、PQ Q的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為A A, ,則則有有 : : 2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程為12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx x - -= = 1 1x x - - 4 4

12、x x + + 3 3 = = 0 0 0 02 2y y - - 1 1 = = 2 2( (x x - - 1 1) )方程組無解，故滿足條件的方程組無解，故滿足條件的L不存在。不存在?！揪毩?xí)】112222 byaxP是是橢橢圓圓設(shè)設(shè)(ab0)上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 是兩個(gè)焦點(diǎn)，半焦距是兩個(gè)焦點(diǎn)，半焦距21FF、為為c，則，則 的最大值與最小值之差一定是（的最大值與最小值之差一定是（ ）.21PFPF A. 1 B. C. D.2a2b2cxOyPFQDBA122222 byaxO的的橢橢圓圓如如圖圖，中中心心為為(ab0)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交交x軸于軸于B，P，Q

13、在在橢圓上，且橢圓上，且PDl于于D，QFAO，則橢圓，則橢圓其中正確的個(gè)數(shù)是其中正確的個(gè)數(shù)是；的離心率是的離心率是.AOFOABAFBOAOBFQFPDPF（ ）A. 1個(gè)個(gè) B. 3個(gè)個(gè) C. 4個(gè)個(gè) D. 5個(gè)個(gè)DD22yx3.LC :1A,B35已已知知直直線線與與雙雙曲曲線線相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn). .與與雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線相相交交于于C C, ,D D兩兩點(diǎn)點(diǎn), , 求求證證: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需證明線段分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。的中點(diǎn)重合即可。證明證明: (1)若若L有斜率，設(shè)有斜率，設(shè)L的方程為的方程為:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 2AB210kbLC