概率論與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)總結(jié)復(fù)習(xí)

1、第一章隨機(jī)事件與概率1貫穿本章的基本概念可總結(jié)為三個(gè)方面：1）隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)事件及基本事件，樣本空間及樣本點(diǎn)；2）事件關(guān)系及其運(yùn)算，對(duì)偶法則與互不相容分解（）；3）概率的概念及性質(zhì)，古典概型。2關(guān)于概率計(jì)算，首先要熟練運(yùn)用古典概率計(jì)算公式及排列組合公式直接解題，其次要緊扣題設(shè)條件、選擇適當(dāng)公式、正確完成計(jì)算. 計(jì)算公式匯集如下：1) 逆事件概率公式：。注1：當(dāng)直接計(jì)算A時(shí)問(wèn)題較為復(fù)雜，難以計(jì)算，可考慮用逆事件概率公式進(jìn)行簡(jiǎn)化。注2：題目中出現(xiàn)“至少”，首先考慮是否可用逆事件概率進(jìn)行計(jì)算；如果不可行，再利用加法公式。2）加法公式：。若A1，A2，An是相互獨(dú)立事件，則 .3）減法公式：。強(qiáng)調(diào)：利

2、用概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先畫(huà)出事件的文氏圖，把概率的計(jì)算當(dāng)做是圖形面積的計(jì)算，可以得到正確的結(jié)果。第二章條件概率與獨(dú)立性1貫穿本章的基本概念可總結(jié)為兩個(gè)方面：1）條件概率及其三個(gè)應(yīng)用；2）事件的獨(dú)立性。2關(guān)于條件概率，首先要熟練掌握定義：。注：題目出現(xiàn)條件概率，首先考慮按照定義展開(kāi)。3. 對(duì)于條件概率，用三個(gè)重要的應(yīng)用：1）乘法公式：；一般情形：。注：應(yīng)用場(chǎng)合：n個(gè)事件的發(fā)生有著明顯的先后順序，考慮n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率時(shí)可使用乘法公式。但一般情形的乘法公式不是經(jīng)常用到。2）全概率公式：設(shè)B1 , B2 , Bn為樣本空間的一個(gè)劃分，如果P(Bi )0, i1,2,n, 則對(duì)中的任一事件A,

3、 有。注：應(yīng)用場(chǎng)合：?jiǎn)栴}有明顯的時(shí)間先后順序，考慮后一步發(fā)生的概率，應(yīng)考慮使用全概率公式，劃分的選取由前一步?jīng)Q定。3）貝葉斯公式：。注：應(yīng)用場(chǎng)合：貝葉斯公式是全概率公式的后續(xù)問(wèn)題，它求解的是已知結(jié)果出現(xiàn)，考慮原因的條件概率，做題時(shí)應(yīng)注意。強(qiáng)調(diào)：這些公式有特定的應(yīng)用場(chǎng)合，做題時(shí)先分析清楚是否需要使用，應(yīng)該如何使用！4關(guān)于事件的獨(dú)立性，掌握兩個(gè)事件和三個(gè)事件獨(dú)立性的定義。注1：事件的獨(dú)立性與事件的互不相容是兩個(gè)完全不同的概念，要注意區(qū)分。注2：做題時(shí)一定要看清楚A和B是否相互獨(dú)立。第三章一維隨機(jī)變量及其分布1本章概念多，抽象性強(qiáng). 從應(yīng)用需要看，要理解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布

4、列、分布密度、分布函數(shù)、隨機(jī)變量函數(shù)的概念，特別要掌握描述隨機(jī)變量取值概率規(guī)律的分布.2.關(guān)于分布函數(shù)：1）定義：。注：分布函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。2）性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)不減；右連續(xù)性。3）利用分布函數(shù)計(jì)算事件的概率：。4）特殊情形下的分布函數(shù)：若X為離散型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)F(x) 是分段階梯函數(shù), 在 X的可能取值xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk ；若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則，要能正確地確定積分上下限進(jìn)行計(jì)算。3關(guān)于離散型隨機(jī)變量，一切問(wèn)題的處理都依賴于分布律，內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單。4關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量，一切問(wèn)題的處理都依賴于概率密度f(wàn) (x)。注：重要的計(jì)算公式：

5、（用于求未知參數(shù)的值）；。5熟練掌握常用的三種離散型隨機(jī)變量和三種連續(xù)型隨機(jī)變量：X01P1-pp1）兩點(diǎn)分布： 2）二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， ，（k0，1，2，n），記為B(n，p).注：要注意二項(xiàng)分布的應(yīng)用背景，題目中出現(xiàn)“發(fā)生的次數(shù)”，應(yīng)聯(lián)想到二項(xiàng)分布。3）泊松分布：， （k1，2，），簡(jiǎn)記為P().注：題目中出現(xiàn)“k!”，應(yīng)聯(lián)想到泊松分布。4）均勻分布：在區(qū)間a,b上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，X表示數(shù)的坐標(biāo)，則X的概率密度為簡(jiǎn)記為Ua,b.5）指數(shù)分布: 簡(jiǎn)記為EP()。注：題目中出現(xiàn)“e-x”，應(yīng)聯(lián)想到指數(shù)分布。6）正態(tài)分布：，簡(jiǎn)記為 .特別地，標(biāo)準(zhǔn)正

6、態(tài)分布N(0,1)，密度函數(shù)用(x)表示，分布函數(shù)用(x)表示。注1：題目中出現(xiàn)“e-ax2+bx+c”，應(yīng)聯(lián)想到正態(tài)分布。注2：正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于“x=”對(duì)稱，有些題目可以根據(jù)對(duì)稱性求解。注3：正態(tài)分布相關(guān)事件概率的計(jì)算：“標(biāo)準(zhǔn)化” 。注4：重要結(jié)論：。6關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的分布，方法比較固定，大家可以看課件或者作業(yè)題，這里不再詳述。第四章多維隨機(jī)變量及其分布1. 多維隨機(jī)變量是由兩個(gè)以上隨機(jī)變量構(gòu)成，其概率特性不僅決定于各個(gè)分量，同時(shí)也與這些隨機(jī)變量的聯(lián)合特征有關(guān)，這是處理多維隨機(jī)變量在方法上要更為復(fù)雜的原因. 2. 本章很多定義是一維情形的推廣，所以在這一章的學(xué)習(xí)中，要掌握相應(yīng)的計(jì)算公

7、式并能正確地進(jìn)行計(jì)算。重要計(jì)算公式總結(jié)如下：3. 關(guān)于離散型隨機(jī)變量，掌握住聯(lián)合分布律的表格：注：判斷離散型隨機(jī)變量X和Y的獨(dú)立性，即驗(yàn)證聯(lián)合分布律是否為邊緣分布律的乘積。4. 關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量，重要計(jì)算公式：(用于求未知參數(shù)的值)；，（一定要能正確確定積分上下限）；（是否成立用于判斷X和Y是否相互獨(dú)立）。5. 兩個(gè)常見(jiàn)分布：二維均勻分布：二維正態(tài)分布的常見(jiàn)性質(zhì)：1），；2）X與Y的相關(guān)系數(shù)為，且X與Y獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)不相關(guān)。6關(guān)于離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，方法比較固定，大家可以看課件，這里不再詳述。關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，要掌握X+Y，max(X,Y)和min(X,Y)的相關(guān)計(jì)算。第五章

8、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)，它形式上是以概率為權(quán)的加權(quán)平均，實(shí)質(zhì)上它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的集中位置或平均水平. 熟練掌握其計(jì)算公式：1）離散型， ；2）連續(xù)型 ，。2熟練掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：1）； 2）；3）若X和Y相互獨(dú)立，則。3方差是衡量隨機(jī)變量取值集中（分散）程度的重要數(shù)字指標(biāo). 熟練掌握方差的計(jì)算公式：。4熟練掌握方差的性質(zhì)：1）； 2）；3）若X1,Xn相互獨(dú)立，則； 注：一定要注意系數(shù)的平方！注：若X1,Xn相互獨(dú)立且滿足Xi 服從N ( i,i2)，則.5. 熟練掌握常見(jiàn)分布的期望和方差結(jié)果。6. 協(xié)方差可理解為協(xié)助計(jì)算隨機(jī)變量和的方差，熟練掌握協(xié)方差的計(jì)算公

9、式：。7. 相關(guān)系數(shù)用于刻畫(huà)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系，熟練掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式： 。注：如果你在做題時(shí)求出的相關(guān)系數(shù)為0，記得檢查一下你的計(jì)算是否正確，你是否把X和Y錯(cuò)誤的認(rèn)為是相互獨(dú)立的。8. 熟練掌握相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1）|=1 的充要條件是 P(Y=aX+b)=1；2）X和Y不相關(guān)等價(jià)于=0；等價(jià)于cov(X,Y)=0；等價(jià)于 E(XY)=EXEY；等價(jià)于D(X±Y)=DX+DY。第六章大數(shù)定律和中心極限定理1掌握切比雪夫不等式的結(jié)論：。2簡(jiǎn)單了解一下大數(shù)定律的結(jié)論：。3掌握中心極限定理的結(jié)論：。會(huì)利用中心極限定理做近似計(jì)算。第七章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本概念1. 涉及本章的概念，除樣

10、本觀測(cè)值以及與此有關(guān)的概念外，都要充分揭示它們的隨機(jī)性內(nèi)涵. 否則，概念的實(shí)質(zhì)無(wú)法理解，思想方法更難把握.總體X 體現(xiàn)某種特征的數(shù)量指標(biāo)隨機(jī)變量.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(X1，X2，Xn）獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.統(tǒng)計(jì)量 g(X1，X2，Xn）且不含任何未知參數(shù)隨機(jī)變量.樣本矩樣本均值、樣本方差、樣本修正方差隨機(jī)變量.2. 常用統(tǒng)計(jì)量有： 樣本均值. 樣本方差. 樣本修正方差. 樣本r階原點(diǎn)矩.重要結(jié)論：，。3. 掌握三大抽樣分布：分布、t分布、F分布的構(gòu)造性定義，對(duì)于給定的問(wèn)題，要能夠判斷出其所屬的類型，參考課件上的相關(guān)例題。4. 掌握上分位點(diǎn)的定義，會(huì)畫(huà)圖表示。5. 掌握正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的重要結(jié)論：；與相互獨(dú)立。這是利用頻率很高的三個(gè)結(jié)論。第八章參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)1.熟練掌握兩種點(diǎn)估計(jì)方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法的計(jì)算步驟。矩估計(jì)法的步驟：第一步：分析總體中含有未知參數(shù)的個(gè)數(shù)（至多兩個(gè)，大多數(shù)題目只有一個(gè)參數(shù)）；第二步：計(jì)算總體X的矩（若一個(gè)參數(shù)只需計(jì)算EX，若有兩個(gè)參數(shù)則需計(jì)算EX和EX2）；第三步：令樣本矩等于總體矩（這時(shí)矩估計(jì)方法的核心），建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組；第四步：解方程，得到參數(shù)的矩估計(jì)。最大似然估計(jì)的步驟：第一步：計(jì)算似然函數(shù)；（對(duì)于離散型隨機(jī)變量計(jì)算分布律，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量計(jì)算概率密度）；第二步