淺談平幾入門教學(xué)中的五關(guān)

1、淺談平幾入門教學(xué)中的“五關(guān)”吳縣湘城中學(xué) 薛勁松 數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：“初中幾何將邏輯化與直觀性相結(jié)合，通過(guò)各種圖形的概念、性質(zhì)、作(畫)圖及運(yùn)算等方面的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、空間觀念和運(yùn)算能力。”而初一學(xué)習(xí)的又是平面幾何最基礎(chǔ)的知識(shí)，因此抓好平面幾何的入門教學(xué)就顯得尤為重要。另一方面由于平面幾何是新開(kāi)設(shè)的課程，加上它特有的抽象性、邏輯性和嚴(yán)密性，極易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，陷入學(xué)習(xí)的僵局，那么怎樣才能抓好平面幾何的入門教學(xué)呢？筆者根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為首先必須過(guò)好以下“五關(guān)”： 一、基本概念關(guān) 清晰的概念和準(zhǔn)確的判斷是正確迅速地進(jìn)行嚴(yán)密推理的基礎(chǔ)，它是構(gòu)成抽象邏輯思維的“細(xì)胞”，這種“

2、細(xì)胞”對(duì)于思維來(lái)說(shuō)，往往是最簡(jiǎn)單卻又是最重要的因素。因此，平幾入門教學(xué)，概念是基礎(chǔ)，對(duì)概念的理解與教學(xué)，須掌握它的本質(zhì)屬性，抓住直觀性、關(guān)鍵詞、聯(lián)系性。 1.增強(qiáng)直觀性 由生活實(shí)踐中的幾何模型，抽象出數(shù)學(xué)概念，是義務(wù)教材的一大特色。所以教學(xué)中，應(yīng)盡可能地讓學(xué)生先觀察幾何模型，形成感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，給出數(shù)學(xué)名稱，畫成數(shù)學(xué)圖形，定義圖形，研究性質(zhì)，其教學(xué)流程大致是： 數(shù)學(xué) 名稱 數(shù)學(xué) 定義 圖形 性質(zhì) 實(shí)際 模型如：“直線”，經(jīng)過(guò)了以上四個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，直線概念便會(huì)落實(shí)到位。 2.突出關(guān)鍵詞 把握住概念中的關(guān)鍵詞至關(guān)重要，能幫助學(xué)生抓住概念的本質(zhì)從而掌握它。如：在直線公理中，“有且只有”這幾個(gè)字

3、隱含著兩層意思：() 可畫一條直線，即存在性；()只可以畫一條直線，即唯一性。(決不可以說(shuō)成“過(guò)兩點(diǎn)可畫一條直線”)再如：“互為補(bǔ)角”也有兩層含意：(1)數(shù)量特征和為180°；(2)相互關(guān)系甲為乙的補(bǔ)角，反之乙是甲的補(bǔ)角。 3. 注重聯(lián)系性 容易混淆的概念要加以新舊聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用比較和聯(lián)系的思維方法，尋求其間的聯(lián)系，揭示它們的本質(zhì)差異。 如：“互為余角”，相對(duì)于平角、周角、直角、銳角、鈍角而言，有兩個(gè)角與一個(gè)角之別；講三角形的角平分定義時(shí)強(qiáng)調(diào)它是線段，而角的平分線是射線；又如垂線和高，及直線、射線與線段等易混淆概念的教學(xué)也宜進(jìn)行比較分析掌握。二、畫圖識(shí)圖關(guān)幾何研究的對(duì)象

4、是圖形，畫圖、識(shí)圖是學(xué)習(xí)幾何的基本功。所謂識(shí)圖，是指觀察、分析、認(rèn)識(shí)幾何圖形。識(shí)圖的好壞，將會(huì)影響整個(gè)平幾的學(xué)習(xí)。首先應(yīng)畫最簡(jiǎn)單的圖形：點(diǎn)、直線、射線、線段、角。從畫圖中識(shí)圖，理解幾何概念。AB例畫出下列圖形：(1) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線AB；AB (2) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的射線AB；baAB (3) 線段AB；圖 要防止將(2)、(3)畫成(1)又如與是鄰補(bǔ)角，且>，要畫成圖，注意：“鄰”與“補(bǔ)”的含義。 其次，要學(xué)會(huì)正確的識(shí)圖方法 1. 抓住概念圖形 幾何概念是抽象出來(lái)的，認(rèn)識(shí)時(shí)要理解概念圖形的原型，利于分析解決問(wèn)題。ABCDEFO圖 例2. 如圖直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O ，指出圖中

5、共有哪幾對(duì)對(duì)頂角？ 有些學(xué)生常會(huì)被其中較多的角攪混了，以致講不清確切答案，我們要首先弄清對(duì)頂角的定義，得出兩條相交線構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角，于是直線AB、CD相交，直線AB、EF相交和直線CD、EF相交分別2對(duì)，共有6對(duì)對(duì)頂角。 2. 掌握識(shí)圖規(guī)律 正確全面地觀察圖形，有時(shí)可循一定的規(guī)律。CAODB圖 例3. 如圖，C、O、D是直線AB上的三點(diǎn)，圖中共有哪幾條線段？ABCODABCDEFHGI 我們可以以直線上每一個(gè)給定的點(diǎn)為端點(diǎn)，順次指出所有的線段，以A為端點(diǎn)的線段有：線段AC、AO、AD、AB，以C為端點(diǎn)的有：線段CO、CD、CB (與前不重復(fù))，以O(shè) 為端點(diǎn)的有：線段OD、OB，以D為端點(diǎn)的有：

6、線段DB，故共有4 + 3 + 2 + 1 = 10條。以此類推圖 圖 類似的問(wèn)題還有，如圖、分別可指出圖中共有哪些角、三角形？3.多角度地觀察 特別是看圖說(shuō)話，對(duì)同一圖形可有不同的敘述方式。 例4.如圖的含義有多種方式去理解并敘述：PBA圖 A、P、B三點(diǎn)共線(或A、P、B三點(diǎn)在同一直線上)； 點(diǎn)P在直線AB上(或直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)；APB是平角； 點(diǎn)B(或點(diǎn)A)在射線PA(或PB)的反向延長(zhǎng)線上； AB = AP + PB(或AP = AB BP)等等。三、幾何語(yǔ)言關(guān) 數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilber.D)說(shuō)：“符號(hào)是寫出來(lái)的圖形，而幾何圖形是畫出來(lái)的公式?！?幾何語(yǔ)言，按其敘述方式，可分為文

7、字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言三種。為了平幾入門，必須要求學(xué)生將文字語(yǔ)言與圖形緊密聯(lián)系在一起，符號(hào)語(yǔ)言恰好起到了這個(gè)作用。如表：文 字 說(shuō) 明 符 號(hào) 說(shuō) 明 圖 形 說(shuō) 明CCBA點(diǎn)C是線段AB上的中點(diǎn)AC = BC = 或 AB = 2AC = 2BC ODBA直線AB、CD互相垂直，垂足為OABCD，垂足為O或CDAB于O31212同角的余角相等若3 = 90°23 = 90° 則=2FEDCBA如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。AB / EF CD / EFAB / CD 由此可以看出：圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言在幾何中是并存而又相互滲透和轉(zhuǎn)化的。

8、因此，學(xué)好“文圖式”間的互譯，運(yùn)用聯(lián)系的思維方法，尋求它們之間的聯(lián)系和內(nèi)在的規(guī)律性，是學(xué)生步入“幾何王國(guó)”的重要一步。這種“翻譯過(guò)程的完成”就是對(duì)語(yǔ)言的真正理解，是提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和提高識(shí)圖技能的有效途徑，其形式主要有讀句畫圖或聽(tīng)畫、看圖說(shuō)話(文字、符號(hào))、術(shù)語(yǔ)辨析等。四、推理論證關(guān)幾何在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面有獨(dú)到的作用，這種作用是其他學(xué)科無(wú)法比擬和取代的，但推理論證畢竟是平幾入門教學(xué)中的重大難關(guān)，教材對(duì)推理證明的訓(xùn)練作了精心細(xì)致的編排，大體上是先通過(guò)滲透階段作準(zhǔn)備，然后集中一段時(shí)間正式訓(xùn)練，再通過(guò)鞏固提高階段，最后達(dá)到初步掌握并會(huì)運(yùn)用這樣一個(gè)過(guò)程，使得每一章都有訓(xùn)練的重點(diǎn)，有明確的訓(xùn)

9、練要求，通過(guò)訓(xùn)練使學(xué)生逐步掌握簡(jiǎn)單的推理論證方法與要求，從而促成學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。1. 滲透準(zhǔn)備階段 (1) 幾何語(yǔ)言滲透 在第一章中，結(jié)合線段、角這些幾何中最簡(jiǎn)單、最基本圖形的教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生的幾何語(yǔ)言，讓學(xué)生能用幾何術(shù)語(yǔ)描述圖形的形狀、性質(zhì)。如講完兩條直線相交，公共點(diǎn)叫交點(diǎn)后，結(jié)合圖形告訴學(xué)生應(yīng)說(shuō)成“直線a、b相交于點(diǎn)O”；又如在講完線段中點(diǎn)和角平分線的概念后，結(jié)合圖形訓(xùn)練學(xué)生表述和記法：點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，記為AC = 2AB = 2BC 或AB = BC = AC；OC是AOB的角平分線，記為AOB = 2AOC = 2COB或AOC =COB = AOB等 。 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，

10、要求學(xué)生熟悉常用的一些幾何術(shù)語(yǔ)，會(huì)用幾何語(yǔ)言描述圖形的形狀和性質(zhì)，能理解書中幾何語(yǔ)言和符號(hào)表示的圖形性質(zhì)的準(zhǔn)確含義，為推理論證的滲透作好準(zhǔn)備。 (2) 推理論證準(zhǔn)備 在第二章中，對(duì)推理證明的正式訓(xùn)練作好理論準(zhǔn)備，分步驟、緩坡度、循序漸進(jìn)地引入推理證明訓(xùn)練的滲透，且大體可分以下三個(gè)階段： 第一階段是在“相交線、垂線”一大節(jié)中，結(jié)合知識(shí)的教學(xué)，訓(xùn)練由因?qū)Ч囊徊酵评?，開(kāi)始先用文字語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)理，然后將文字?jǐn)⑹龅耐评磉^(guò)程，翻譯成“ ， ”形式的幾何符號(hào)推理，如先用語(yǔ)言敘述的方式證明了“對(duì)頂角相等”，然后指明其推導(dǎo)過(guò)程可以寫成“ (理由)， (理由)”的形式，讓學(xué)生初步見(jiàn)到推理及推理格式。 第二階段是在

11、“平行線”一大節(jié)中，在推證平行線的判定定理時(shí)，采用先探索分析的方法找到解決問(wèn)題的思路，然后將分析出來(lái)的推理過(guò)程改寫為規(guī)范的符號(hào)推理形式，幫助學(xué)生理解符號(hào)推理和將文字說(shuō)理改寫為符號(hào)推理，使到了平行線性質(zhì)的推理及以后的解答中，可不再先借助語(yǔ)言敘述引導(dǎo)，而直接采用符號(hào)推理的格式，使推理趨于規(guī)范化，但這一階段仍屬于滲透階段，對(duì)一般學(xué)生不宜要求其獨(dú)立完成推理的全過(guò)程，可以訓(xùn)練他們完成推理過(guò)程中的某些部分，如填寫理由或推理中的某一步。 第三階段是在“命題、證明定理”一大節(jié)中，這是為推理證明的正式訓(xùn)練作準(zhǔn)備，只須要求學(xué)生在了解有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)簡(jiǎn)單的命題能分清題設(shè)和結(jié)論，能根據(jù)簡(jiǎn)單的命題畫出它的圖形，寫出

12、已知、求證，能寫出較熟悉的一、二步推理，但對(duì)一般學(xué)生仍不宜要求獨(dú)立完成證明的全過(guò)程，而著重強(qiáng)調(diào)“步步有據(jù)”。 這一過(guò)程主要體現(xiàn)在第一冊(cè)的兩章中，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，逐步使學(xué)生熟悉并加以認(rèn)識(shí)，明確學(xué)習(xí)幾何離不開(kāi)推理，推理又要步步有據(jù)。  2. 正式訓(xùn)練過(guò)程 第二冊(cè)的第三章“三角形”是推理論證的正式集中訓(xùn)練階段。 (1) 懂步驟，明格式 從第一大節(jié)開(kāi)始，教學(xué)內(nèi)容涉及的證明題難度較大，證明步驟較多，書寫格式不容易做到規(guī)范，可暫不要求學(xué)生獨(dú)立證明，但須要求學(xué)生看懂證明的步驟，熟悉證明的格式，并讓學(xué)生知道，幾何的計(jì)算往往也要根據(jù)學(xué)過(guò)的定義、公理、定理來(lái)進(jìn)行，且步步有據(jù)。 (2) 嚴(yán)要求

13、，集中練 在“全等三角形”這一大節(jié)中，知識(shí)相對(duì)較簡(jiǎn)單，證明目標(biāo)明確，思路比較單一，變化范圍較小，一步推理相對(duì)集中，因而證明的書寫格式也較易做到規(guī)范。 初始訓(xùn)練可從一步推理開(kāi)始，如直接給出三個(gè)條件，讓學(xué)生仿照例題證明兩個(gè)三角形全等的模式，反復(fù)訓(xùn)練后，逐步增加證明的步驟并提高要求，例如，只直接給出判定三角形全等的部分條件，讓學(xué)生自行推出其余條件，再證明全等；或進(jìn)一步由兩三角形全等，證明線段、角相等。推理的過(guò)程由一步，二步、三步等漸增，進(jìn)而只給出題目和圖形，讓學(xué)生結(jié)合圖形寫出已知、求證、證明。 通過(guò)這一過(guò)程的集中訓(xùn)練，要使學(xué)生嚴(yán)格地按規(guī)范的格式書寫證明，步步要有理由，并能獨(dú)立完成簡(jiǎn)單命題證明的全過(guò)程

14、。 這樣，學(xué)生從熟悉術(shù)語(yǔ)理解步驟仿照證明獨(dú)立完成，體現(xiàn)步驟完整，體現(xiàn)邏輯關(guān)系的基本清楚，體現(xiàn)認(rèn)識(shí)過(guò)程的漸進(jìn)發(fā)展，就容易度過(guò)“證明”的入門關(guān)。 五、興趣方法關(guān) 對(duì)于初一學(xué)生，平幾入門不當(dāng)，必會(huì)失去學(xué)習(xí)興趣，增加畏難情愫，而興趣強(qiáng)烈，學(xué)法適宜，必會(huì)促進(jìn)學(xué)習(xí)的發(fā)展，因此，如何來(lái)提高學(xué)習(xí)興趣，指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，亦當(dāng)列入平幾入門教學(xué)的難關(guān)之一。 1. 排除心理障礙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 初學(xué)幾何，教師要告訴學(xué)生：幾何學(xué)科較少用到代數(shù)知識(shí)，人人有學(xué)好的機(jī)會(huì)，并點(diǎn)燃差生學(xué)好平幾的希望之火，排除學(xué)生的心理障礙，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。 同時(shí)，教師要深挖幾何學(xué)科的實(shí)踐性，廣泛聯(lián)系生活實(shí)際，注重教具演示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，增強(qiáng)學(xué)生內(nèi)在的需要和興趣。 2. 重視分析過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法 特別是在學(xué)習(xí)證明時(shí)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的思維、訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生掌握“分析 綜合”的思維方法，對(duì)于一道題，應(yīng)首先弄清題意，搞清已知條件是什么，要求的結(jié)論又是什么；其次是分析由已知條件可得到哪些新的條件，求解(證)結(jié)論需要哪些條件；然后將已知和未知進(jìn)行溝通分析，找出相關(guān)聯(lián)的紐帶；再綜合出“雙向?qū)凇钡臈l件，把握住解決問(wèn)題的關(guān)鍵，教學(xué)中要讓學(xué)生參與并學(xué)習(xí)“分析 綜合”的過(guò)程。 另外，因平幾知識(shí)一般可分為三大塊：基本概念、性質(zhì)、運(yùn)用，