雙曲線點(diǎn)差法

1、點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題中的妙用尺、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題是高考常見(jiàn)的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它 的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、 中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式 作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法 為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗 淺的探討，以饗讀者。定理在雙曲線2x2a2爲(wèi) 1 （ a > 0, b > 0）中，

2、若直線I與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)b2b2 .a證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x-yj（X2, y2），則有2Xi 2" a2X22a2yi2y21,1.(1)(1) (2),2得X1-X2222y12y2.20.aby2 y1y2y1b22.X2X1X2X1a又kMNy2y1y1y22 yoy-X2X1X1X22x0X0kMN y-b22X-a22同理可證，在雙曲線y2X21 (a >0,ab2b >0）中，若直線I與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn),P（Xo,yo）是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線I的斜率為k|MN，則k|MN-Xob2點(diǎn)P（X-, y-）是弦MN的中點(diǎn)

3、，弦MN所在的直線I的斜率為k|MN，則kMN0X-典題妙解例1已知雙曲線C : y2X21，過(guò)點(diǎn)P（2,1）作直線I交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).(1) 求弦AB的中點(diǎn)(2) 若P恰為弦ABM的軌跡；的中點(diǎn)，求直線I的方程.解：(1) a21,b23,焦點(diǎn)在y軸上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，由kAB 整理得：x2 3y2 2x3y0.2所求的軌跡方程為 x3y22x3y0.(2)P恰為弦AB的中點(diǎn),由 kAB x2b2 得:kAB丄,即 k3AB直線I的方程為y 13(x2)，即2x 3y0.已知雙曲線C：2x22 與點(diǎn) P(1,2).(1)(2)l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求P?斜率為k且過(guò)點(diǎn)P的直線是

4、否存在過(guò)點(diǎn) P的弦AB，使得AB的中點(diǎn)為k的取值范圍;(3)試判斷以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)直線I的方程為y 2 k(x 1)，即ykx2 k.y kx 2 k, 222由 y 22 得(k22)x22(k22k)x2x2 y22.k24k6 0.直線l與C有兩個(gè)公共點(diǎn),k2得2 0,2 2 2 24( k 2k)4(k2)( k 4k 6)0.解之得:k的取值范圍是(2)(2自(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2J 1,21,b22.設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB，使得AB的中點(diǎn)為P,則由kAByX0b2-7 得：k 22, k 1.a由(1)可知，k 1時(shí)，直線I與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，存在這樣的

5、弦這時(shí)直線l的方程為y x 1.(3)設(shè)以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦存在，則由 kAB蟲(chóng) b2得：k 1 2, k 2.Xoa由(1)可知，k 2時(shí)，直線l與C沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦不存在.2 2例3過(guò)點(diǎn)M( 2,0)作直線I交雙曲線C : x y 1于A、B兩點(diǎn)，已知OP OA OB( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線解：在雙曲線C：x2 y2 1中，a2 b2 1，焦點(diǎn)在x軸上設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q.OP OA OB,由平行四邊形法則知：OP 2OQ，即Q是線段OP的中點(diǎn)._y設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x2yy由kAB2b2 得2y yyx

6、ax 2x x 4x22整理得:2 x2y4x 0.配方得:(x2)22y 144點(diǎn)P的軌跡方程是(x 2)22y4421，1，它是中心為 (2,0)，對(duì)稱軸分別為x軸和直線x 20的雙曲線例4.設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，以拋物線y22 3x 4的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線.(I)試求雙曲線 C的方程;(n)設(shè)直線l : y 2x 1與雙曲線C交于A, B兩點(diǎn)，求AB(川)對(duì)于直線l : y kx 1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使直線l與雙曲線C的交點(diǎn)A, B關(guān)于直線 l': yax 4 (a為常數(shù))對(duì)稱，若存在，求出 k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(I)由y2 2

7、. 3x 4 得 y22、.3(x2 ),在雙曲線C中,a212“3jb21.321232、3p ,3，拋物線的頂點(diǎn)是（2 ,0），準(zhǔn)線是xJ32 2雙曲線C的方程為3x y 1 .(n)由 y 2 2X 21,得：x2 4x 20.3x2 y21.設(shè) A(x1，yj, BXy)，則 X x?4,也 2. (1 22)( 4)24 22 10.2 2| AB| . (1 k )(人 X2)4x1X2（川）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù) k,使直線l與雙曲線C的交點(diǎn)代B關(guān)于直線l'對(duì)稱，則是線段AB的垂直平分線.因而a1 k,從而1'： y1X 4 .設(shè)線段AB的中點(diǎn)為 kP(xo,yo).

8、由kAEyob22得: kyo3,kyo 3xo.xaXo由yo1 kXo4 得:kyoXo4k.由、得：Xok, yo3.由yokxo1得:3k2 1,k2.又由3x22 y1'得：(k23)x22kx 2 o.y kx 1.直線l與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，4k28（k23） >0，即 k2 v6,且 k23.符合題意的k的值存在，k 2.金指點(diǎn)睛1. （03全國(guó)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（-、7,0），直線y x 1與其相交于M、N兩點(diǎn),2xA.32xB.4C.x22xD.222. ( 02江蘇)設(shè)A、B是雙曲線x2 21上兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn).D

9、四點(diǎn)是否共圓,(1)求直線AB的方程;(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C為什么？22 y3.已知雙曲線x1，過(guò)點(diǎn)P(3(1)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；丄，3)作直線I交雙曲線于A、B兩點(diǎn).2 2(2)若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn)，求直線I的方程和弦AB的長(zhǎng).4、雙曲線C的中心在原點(diǎn),2x并以橢圓252y1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線y2132 3x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.(1) 求雙曲線C的方程；(2) 設(shè)直線I : y kx 3(k 0)與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l : y mx 6( m 0)對(duì)稱，求k的值.參考答案1解：在直線yx 1 中，k 1 ,

10、 x2評(píng)3時(shí)，y由kMNyoXo2 2b - a5 - 25 一3一 2 一 3b25又由 a32得 a22,b2 5.a2 b2 c27故答案選D.22Vo2.解：(1)a 1,b2，焦點(diǎn)在 x 上.由 kAB -Xob22得:akAB 2所求的直線AB方程為y21 (x 1)，即 x y 10.(2)設(shè)直線CD的方程為xym 0,點(diǎn)N(1,2)在直線CD上,1 2 m 0， m 3.直線CD的方程為x y30.又設(shè)弦CD的中點(diǎn)為M (x, y)，由kCD -x-2，即 y 2x. xy 30,得 x2x.3, y 6.的坐標(biāo)為(3,6).x y 1又由2 y2x20,得A(1.1,0),B

11、(3,4).由兩點(diǎn)間的距離公式可知:|MA| |MB |MC | |MD |2.10 .故A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，即 A、B、C、D四點(diǎn)共圓293.解：(1)a 1,b3，焦點(diǎn)在X上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).若直線i的的斜率不存在，則 率存在.I x軸,這時(shí)直線I與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，不合題意，故直線l的的斜由kABxb2 得:a3y 21x2整理，得:6x22y2 3x3y 02點(diǎn)M的軌跡方程為6x2y23x 3y0.(2)由 kAByc_xb22a得:322kAB 1 .所求的直線I方程為(x-)，即 y x 1.22y_3x 1.解之得:X12x|AB|、1 k2 | x2x1 |3 2.2 24.解：(1)在橢圓-1 中，a 5,b 13,c2513a2 b22 3，焦點(diǎn)為 Fi( 2 3,0), F2(2,3,0).2在拋物線y2 3x 中，p . 3 ,準(zhǔn)線為x2在雙曲線中，c從而 a 3,b3.2 2所求雙曲線C的方程為-y 1 .3 9' 1 '-x 6.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為 k(2)直線1是弦ab的垂直平分線，m，從而丨:ykP(xo, yo).由kAByob22得：k yo3 ,kyo 3xo.Xo