同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-3-3節(jié)泰勒公式ppt課件

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第三節(jié)第三節(jié) 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 二、二、Pn和和Rn的確定的確定 三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 四、簡(jiǎn)單應(yīng)用四、簡(jiǎn)單應(yīng)用 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、問(wèn)題的提出1 1. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有例例如如, , 當(dāng)當(dāng)x很很小小時(shí)時(shí), , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf

2、 （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回缺乏缺乏:問(wèn)題問(wèn)題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計(jì)計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)、誤差不能估計(jì).設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()

3、()(0202010 誤誤差差 )()()(xPxfxRnn 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二二、nP和和nR的的確確定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回假假設(shè)設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)

4、()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x與與x之之間間) ). .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回證明證明: : 由由假假設(shè)設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)

5、具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及x為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得)()(1()(0011之之間間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò))1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn

6、 ( (之間之間與與在在nx 0, ,也也在在0 x與與x之之間間) )()(1()(1021022之之間間與與在在 xxnnRnn 兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰

7、泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回拉格朗日形式的余項(xiàng)拉格朗日形式的余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下

8、頁(yè)下頁(yè)返回返回注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰泰勒勒公公式式變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之之間間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公

9、式公式上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回四、簡(jiǎn)單的應(yīng)用例例 1 1 求求xexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnex

10、R上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xy xysin 播放播放五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返

11、回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回

12、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一一、當(dāng)當(dāng)10 x時(shí)時(shí)，求求函函數(shù)數(shù)xxf1)( 的的n階階泰泰勒勒公公式式 . . 二二、求求函函數(shù)數(shù)xxexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式 . . 三三、驗(yàn)驗(yàn)證證210 x時(shí)時(shí)，按按公公式式62132xxxex 計(jì)計(jì)算算xe的的近近似似值值，可可產(chǎn)產(chǎn)生生的的誤誤差差小小于于 0 0. .0 01 1，并并求求e的的近近似似值值，使使誤誤差差小小于于 0 0. .0 01 1 . . 四四、應(yīng)應(yīng)用用三三階階泰泰勒勒公公式式求求330的的近近似似值值，并并估估計(jì)計(jì)誤誤差差. . 五、五、 利用泰勒公式求極限：利用泰勒公式求極限：1 1、xexxx420sin

13、coslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .練練 習(xí)習(xí) 題題上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or

14、 r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xx

15、xxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想

16、-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)

17、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)