圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題

1、第1頁共 7 頁圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題教學(xué)目的：會(huì)運(yùn)用受力分析及向心力公式解決圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題教學(xué)重點(diǎn)：掌握解決圓周運(yùn)動(dòng)的兩種典型的臨界問題教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)分析判斷臨界時(shí)的速度或受力特征教學(xué)內(nèi)容一、有關(guān)概念1 向心加速度的概念2、向心力的意義（由一個(gè)力或幾個(gè)力提供的效果力）二、內(nèi)容1 在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題（1）如圖 42-2 和圖 42-3 所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)的情況:能過最高點(diǎn)的條件：V.Rg，當(dāng) v .Rg 時(shí)，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力;不能過最高點(diǎn)的條件：vvv臨界（實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）（2）如圖 424 的球過最高點(diǎn)時(shí)

2、，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況：1當(dāng) v=0 時(shí)，F(xiàn)N=mg （FN為支持力）；2當(dāng) Ovvv. Rg 時(shí)，F(xiàn)N隨 v 增大而減小，且 mgFN 0,FN為支持力;3當(dāng) v=.、Rg 時(shí)，F(xiàn)N=O；當(dāng) v . Rg 時(shí)，F(xiàn)N為拉力，F(xiàn)N隨 v 的增大而增大圖 424圖 425若是圖 425 的小球在軌道的最高點(diǎn)時(shí)，如果 v.Rg，此時(shí)將脫離軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍缹π∏虿荒墚a(chǎn)生拉力.例 1 長 L = 0.5m，質(zhì)量可以忽略的的桿，其下端固定于 0 點(diǎn)，上 2kg 的小球 A ,A 繞 0 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)（同圖 5）,在 A 通過最高點(diǎn)， 下桿的受力：當(dāng) A 的速率 vi= 1m/s 時(shí)當(dāng) A 的速

3、率 v2= 4m/s 時(shí)解析：Vo=JgL= 10X0.5 m/ s= . 5 m / s小球的速度大于,5 m/s 時(shí)受拉力，小于 5 m/s 時(shí)受壓力。 解法一：Vo臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用:圖 4-232V mg=mR向上的支持力 Nv臨界端連接著一個(gè)質(zhì)量試討論在下列兩種情況圖46第2頁共 7 頁當(dāng) vi= 1m/sv5 m/s 時(shí)，小球受向下的重力 mg 和第3頁共 7 頁m= 0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圓周運(yùn)動(dòng)，求：（1）小球如細(xì)繩受到 9.8N 的拉力就會(huì)斷裂，求小球通過最低點(diǎn)B2、在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度3變化時(shí)，

4、 物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的要根據(jù)物體的受力情況,繩的拉力等）。通過最高點(diǎn) A 時(shí)最小速度;時(shí)的最大速度（半徑有變化）趨勢。這時(shí)，判斷物體受某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（特別是一些接觸力， 如靜摩擦力、例 3 如圖 9 所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為B=30,條長度為 L 的繩（質(zhì)量不計(jì)），一端的位置固定在圓錐體的頂點(diǎn)0 處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m 的小物體（物體可看質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v 繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求繩對物體的拉力;求繩對物體的拉力。解析：設(shè)小球剛好對錐面沒有壓力時(shí)的速率為2mgtcm30 m0（2分）（1）當(dāng)

5、i1iglo時(shí),有 T sin 30N cos 30ml sin 30T cos30N sin 30（ ?）當(dāng)mg （2 分）解得 T13 3mg 1.03mg（2 分）球離開錐面，設(shè)繩與軸線夾角為，則32gl0時(shí)，小2v 由牛頓第二定律mg N = m 解法二：小球在最高點(diǎn)時(shí)既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以是拉力或者是壓力。我們可不去做具體的判斷而假設(shè)一個(gè)方向。如設(shè)桿豎直向下拉小球A，則小球的受力就是上面解法中的的情形。/v2由牛頓第二定律mg+ F = m 得 F = m（匚g）當(dāng) vi= 1m/s 時(shí)，F(xiàn)i= 16NFi為負(fù)值，說明它的實(shí)際方向與所設(shè)的方向相反，即小

6、球受力應(yīng)向上,為支持力。則桿應(yīng)受壓力。當(dāng) V2= 4m/s 時(shí)，F(xiàn)2= 44N。F2為正值，說明它的實(shí)際方向與所設(shè)的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。則桿也應(yīng)受拉力。N = mg mv2=16N即桿受小球的壓力 16N。當(dāng) V2= 4m/s 5 m/s 時(shí)，小球受向下的重力 mg 和向下的拉力 F,由牛頓第二定律v2mg + F = m匸mgoXf mg即桿受小球的拉力F= m L mg= 44N44N。例 2 如圖 4 所示，在傾角9=30的光滑斜面上，有一長I = 0.4m 的細(xì)繩，一端固定在 0 點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為時(shí),時(shí),0，則有圖 926第4頁共 7 頁第5頁共 7 頁最大靜摩

7、擦力 2N。再對 M 運(yùn)用牛頓第二定律有T + fm= M322r解得32= 6.5 rad/ s所以，題中所求3的范圍是：2.9 rad/s36.5 rad/s例 6 如圖 8 所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m 的物塊，當(dāng)物塊到物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間最大 倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度31= ,時(shí)，細(xì)繩的拉力 T1。T cos mg （2 分） T sin ml sin 30（2 分）解得 T 2mg（2 分）例 4 如圖 6 所示，兩繩系一質(zhì)量為m= 0.1kg 的小球，上面繩長 L = 2m,兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30與 45,問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張

8、緊，當(dāng)角速度為3 rad/s 時(shí)，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當(dāng)角速度3很小時(shí)，AC 和 BC 與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當(dāng)3逐漸增大到30時(shí)，BC 才被拉直（這是一個(gè)臨界狀態(tài)），但 BC 繩中的張力仍然為零。設(shè)這時(shí)的角速度為31，則有：TACCOS30= mgTACSin30=m312Lsin30將已知條件代入上式解得31= 2.4 rad / s當(dāng)角速度3繼續(xù)增大時(shí)TAC減小，TBC增大。設(shè)角速度達(dá)到32時(shí)，TAC= 0 （這又是一個(gè)臨界狀態(tài)），則有:TBCCOS45= mgTBcsin45 =m322Lsin30將已知條件代入上式解得32= 3.16 rad/s所以 當(dāng)3滿足

9、2.4 rad / s33.16rad/s 時(shí)，TAC= 0，BC 與軸的夾角大于 45。例 5 如圖 7 所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量 M = 0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg 的物體，M 的中與圓孔距離為 0.2m，并知 M 和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng),問角速度3在什么范圍 m 會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？ （ g= 10m/s2）先以 m= 0 為題引入，由淺入深解析：要使 m 靜止，M 也應(yīng)與平面相對靜止。而 M與平面靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài)：當(dāng)3為所求范圍最小值時(shí)，M 有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢，水平面對 M 的靜摩擦力的方向 背離圓心，

10、大小等于最大靜摩擦力2N。此時(shí)，對 M 運(yùn)用牛頓第二定律。有T fm= M312r且T = mg解得31= 2.9 rad/ s當(dāng)3為所求范圍最大值時(shí),M 有背離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢，水平面對M 的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于圖 6轉(zhuǎn)軸的距離為 r 時(shí)， 連接 靜摩擦力是其下壓力的第6頁共 7 頁塊。A 的質(zhì)量為，離軸心，B 的質(zhì)量為，離軸心T2。解析：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為(1 )因?yàn)?，所以物體所需向心力小于物體與盤間的最大摩擦力，則物與盤間還未到最大靜摩擦力，細(xì)繩的拉力仍為 0，即。(2)因?yàn)?，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細(xì)繩將對物體

11、施加拉力，由牛頓的第二定律得:3、連接體的臨界問題例 1、如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，放有質(zhì)量均為m 的小物體 A、B， A、B 間用細(xì)線沿半徑方向相連，它們到轉(zhuǎn)軸距離分別為 RA=20cm，RB=30cm。A、B 與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4 倍，試求:(1) 當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度30；(2) 當(dāng) A 開始滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度3；(3) 當(dāng)即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線， A、B 狀態(tài)如何？答案：(1)當(dāng)細(xì)線上開始岀現(xiàn)張力時(shí)，表明B 與盤間的靜摩擦力已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)圓盤角速度為3是 kmg=mB32解得：0kg/rB=3.7rad/s又: FfAm=FfBm=kmg解得

12、3=4rad/s。(3)燒斷細(xì)線，A 與盤間的靜摩擦力減小，繼續(xù)隨盤做半徑為 rA=20cm 的圓周運(yùn)動(dòng)，而 B 由于 FfBm不足以提供必要的向心力而做離心運(yùn)動(dòng)。答案：(1)3.7rad/s4rad/s (3)A做圓周運(yùn)動(dòng)，B 做離心運(yùn)動(dòng)分析：1、利用極限分析法的“放大”思想分析臨界狀態(tài)。認(rèn)清臨界情景和條件，建立臨界關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。2、圓周運(yùn)動(dòng)中的連接體加速度一般不同，所以，解決這類連接體的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)一般用隔離法。但也可用整體法來求解。三、鞏固練習(xí)1、汽車通過拱橋顆頂點(diǎn)的速度為310 m/s 時(shí)，車對橋的壓力為車重的 4。如果使汽車駛至橋頂時(shí)對橋恰無壓力，則汽車的速度為()A、1

13、5 m/ sB、20 m/ sC、25 m / sD、30m/ s2、如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，沿直徑方向上放置以細(xì)線相連的A、B 兩，則，解得，解得當(dāng) A 開始滑動(dòng)時(shí)，表明 A 與盤的靜摩擦力也已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為3,線上拉力為FT則，對 A： FfAm-FT=mrA3對B:FfBm+FT=mrB3當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度3時(shí)，細(xì)繩的拉力0第7頁共 7 頁,A、B 與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5 倍，試求（1） 當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少時(shí)，細(xì)線上開始出現(xiàn)張力？（2） 欲使 A、B 與盤面間不發(fā)生相對滑動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多大？（）解析：（1） 較小時(shí)，A、B 均由

14、靜摩擦力充當(dāng)向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以 A 受到的靜摩擦力先達(dá)到最大值。再增大，AB 間繩子開始受到拉力。由，得：（2） 達(dá)到 后，再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A 增大的向心力靠增加拉力來提供，由于 A 增大的向心力超過 B 增加的向心力， 再增加，B 所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加,B 所受的摩擦力就反向，直到達(dá)最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運(yùn)動(dòng)了， A、B 就在圓盤上滑動(dòng)起來。設(shè)此時(shí)角速度為 ，繩中張力為 ，對 A、B 受力分析：對 A 有對 B 有聯(lián)立解得:3、 一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R

15、 （比細(xì)管半徑大得多）。在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A 球的質(zhì)量 m!, B 球的質(zhì)量為 m2，它們沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為 vo,設(shè) A 球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，B 球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么 mi、m2、R 與v0 應(yīng)滿足的關(guān)系式是_ 。（97 年高考題）4、如圖 39-3 所示，物體 P 用兩根長度相等、不可伸長的細(xì)線系于豎直桿上，它們隨桿 轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為3,則 ABCA.3只有超過某一值時(shí)，繩子AP 才有拉力B .繩子 BP 的拉力隨3的增大而增大C .繩子 BP 的張力一定大于繩子 AP 的張力D .當(dāng)3增大到

16、一定程度時(shí)，繩AP 的張力大于 BP 的張力5、如圖 2 所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上， 沿半徑方向放著用細(xì)線連接的質(zhì)量相等的兩物體 A 和 B,它們與盤間的摩擦因數(shù)相同.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，則兩物體的運(yùn)動(dòng)情況將是【】A 兩物體均沿切線方向滑動(dòng)B. 兩物體均沿半徑方向滑動(dòng)，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)C. 兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生滑動(dòng)團(tuán) 39-3圖 2第8頁共 7 頁D. 物體 A 仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生滑動(dòng)； 物體 B 發(fā)生滑動(dòng)，沿一條曲線向外運(yùn)動(dòng)，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)6、半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示.頂部有一小物體甲，今給

17、它一個(gè)水平初速度 vo=.gR，物體甲將A .沿球面下滑至 M 點(diǎn)B .先沿球面下滑至某點(diǎn) N，然后便離開球面做斜下拋運(yùn)動(dòng)第9頁共 7 頁C.按半徑大于 R 的新的圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng)D .立即離開半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)7、長度為 0. 5m 的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A 端有一質(zhì)量為 3kg 的木球，以 0 點(diǎn)為圓心，在豎直面 內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球通過最高點(diǎn)的速度為2m/s，取 g = 10 m/s2，則此時(shí)球?qū)p桿的力大小是，方向向。8、如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩物體 和 B,它們與盤間的摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好沒有發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線,

18、則兩物體的運(yùn)動(dòng)情況將是A 兩物體均沿切線方向滑動(dòng)B 兩物體均沿半徑方向滑動(dòng)，遠(yuǎn)離圓心C.兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)滑動(dòng)D .物體 A 仍隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體B 沿曲線運(yùn)動(dòng)， 遠(yuǎn)離圓心9、如圖所示，木板 B 托著木塊 A 在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從與圓心相平的位置動(dòng)到最高點(diǎn) b 的過程中（）A、 B 對 A 的支持力越來越大B、 B 對 A 的支持力越來越小C、 B 對 A 的摩擦力越來越大D、 B 對 A 的摩擦力越來越小10、如圖所示，兩根長度相同的細(xì)繩，連接著相同的兩個(gè)小球讓它們在光滑的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中 O 為圓心，兩段繩子在同一直線上，此時(shí)，兩段繩子受到

19、的拉力之比T1: T2為（）A、1 : 1B、2 : 1C、3 : 2D、3 : 111、如圖所示，小球 M 與穿過光滑水平板中央的小孔 0 的輕繩相連，用手拉著繩的另一端使 作半徑為a ，角速度為3 1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 求：（1）此時(shí) M 的速率.（2）若將繩子突然放松一段, 間后又拉直，此后球繞 O 作半徑為 b 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求繩由放松到拉直的時(shí)間t .12、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為 與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），A 球的質(zhì)量為經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都是 v,設(shè) A 球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)， 合力為零，那么 m1, m2, R 與 v0應(yīng)滿足的關(guān)系。R （比細(xì)管的半徑大得多），在圓管中有兩個(gè)直徑m1, B 球的質(zhì)量為 m2,它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng), B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的AM 在水平板上第10頁共 7 頁圓周運(yùn)動(dòng)補(bǔ)充1.一探照燈照射在云層底面上，云層底面是與地面平行的平面，如圖所示，云層底面距地面高h(yuǎn),探照燈以角速度3在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)光束轉(zhuǎn)到與豎直方向夾角為B時(shí)，云