畢業(yè)論文一致收斂判別方法的探討

1、一致收斂判別方法的探討摘要一致收斂理論是數(shù)學(xué)分析的一個重要的研究分支.一致收斂概念及判定的掌握是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重點和難點,而且一致收斂在泛函分析、偏微分方程等學(xué)科中也有廣泛而深入的應(yīng)用.本文首先簡單闡述函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分一致收斂的概念,然后從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分三方面著手,分別列出常用的判別一致收斂的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判別函數(shù)列一致收斂的方法探索中,由函數(shù)列的兩邊夾判別法推得一種比式判別法；并利用條件,給出函數(shù)列一致條件的定義,研究滿足一致條件的函數(shù)列的一致收斂性；研究在函數(shù)列可微條件下,它的導(dǎo)函數(shù)列在一致有界時,函數(shù)列的一致收斂性.在判別函

2、數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法探索中,給出函數(shù)項級數(shù)一致條件的定義,研究滿足一致條件的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.在文獻(xiàn)2中一些未給出證明的定理,在本文中也將給出簡單的證明.關(guān)鍵詞:函數(shù)列；函數(shù)項級數(shù)；含參量反常積分；一致收斂Investigate on the Criterion of Uniform ConvergenceMathematics and Applied Mathematics 2006-2 Jiang Su-pingSupervisor Liang Zhi-qingAbstract Uniform Convergence theory is an important research

3、branch of mathematical analysis. The understanding and judging of this conception are the key as well as difficult point of mathematical analysis. Further more, Uniform Convergence has been widely used in the subjects of Functional Analysis and Partial Differential Equations.This article will first

4、briefly explain the Function Column, Series of Functions and Parameter Improper concept of uniform convergence. Then, out from three aspects, namely the function, the function parameters of the Series and the infinite integration with parameter, it will list some methods commonly used in the identif

5、ication of Uniform Convergence from which some theorem will be deduced. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence, another kind of identifying method called Ratio method is deduced through between discriminant method. Besides, taking advantage of L condition, this paper will

6、define Uniform L condition and discusses Convergence under L condition. Besides, it will discusse the Uniform Convergence of function when its derived functions are uniformly bounded under micro-conditions. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence of Series, this paper will

7、give the definition of L condition of Uniform Convergence of Series and discusses Uniform Convergence of Series under L condition. Theorems that has not been proved in document 2 will also be briefly proved in this paper.Key words: function column; series of functions; infinite integration with para

8、meter; uniform convergence目錄0 前言11 預(yù)備知識22 一致收斂的判別方法62.1函數(shù)列一致收斂的判別方法6常用方法6兩邊夾判別法10單調(diào)判別法112.1.4 一致條件判別法13導(dǎo)數(shù)判別法14點列判別法152.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法16常用方法16兩邊夾判別法20比較判別法21單調(diào)判別法22一致條件判別法23導(dǎo)數(shù)判別法24點列判別法262.3含參量反常積分一致收斂的判別方法27常用方法27兩邊夾判別法29比較判別法29單調(diào)判別法312.3.5點列判別法31結(jié)束語31致謝31參考文獻(xiàn)32 0 前言一致收斂的理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分之一,也是學(xué)好后繼課程,如

9、泛函分析、偏微分方程等的必備基礎(chǔ).一致收斂是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的難點之一,尤其是涉及到函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)與含參量反常積分的一致收斂性問題.數(shù)學(xué)分析中的積分運(yùn)算與其它運(yùn)算的可交換性,我們就需要探討它們的一致收斂性來作為保證.目前,已有許多文獻(xiàn)對一致收斂進(jìn)行了研究.如在文獻(xiàn)中編者介紹了函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分一致收斂的概念,并介紹了判別函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分一致收斂的充要條件；文獻(xiàn)對一致收斂分別從定義、充要條件、一般性質(zhì)、運(yùn)算法則、判別方法等方面做了討論；文獻(xiàn)給出了判別函數(shù)列一致收斂性的一種方法,這種方法與Dini定理的區(qū)別在于:Dini定理是數(shù)列單調(diào),而作者所給的是函數(shù)單調(diào).文

10、獻(xiàn)介紹了函數(shù)項級數(shù)中的Dini定理.文獻(xiàn)則是對函數(shù)項級數(shù)的導(dǎo)數(shù)所需滿足怎樣的條件才能使級數(shù)一致收斂進(jìn)行探討,從而得到了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的導(dǎo)數(shù)判別法. 雖然已有諸多文獻(xiàn)對一致收斂進(jìn)行了研究,但多數(shù)只是就某單一方面進(jìn)行研究.本文試圖從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)以及含參量反常積分一致收斂的判別方法進(jìn)行探索.在文獻(xiàn)2中未給出證明的定理,本文也將給出簡單的證明.本文可分為兩大部分,第一部分簡單闡述函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分一致收斂的概念,同時給出函數(shù)列一致條件及函數(shù)項級數(shù)一致條件.第二部分是本文的主要內(nèi)容,從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)以及含參量反常積分三方面著手,分別列出常用的判別一致收斂的方法,并由常用的方

11、法推出一些定理.本文在判別函數(shù)列一致收斂的方法探索中,由函數(shù)列的兩邊夾判別法推得一種比式判別法；探討函數(shù)列分別在函數(shù)列單調(diào)及函數(shù)單調(diào)條件下的一致收斂性；利用條件,給出函數(shù)列一致條件的定義,研究滿足一致條件的函數(shù)列的一致收斂性；研究在函數(shù)列可微條件下,它的導(dǎo)函數(shù)列在一致有界時,函數(shù)列的一致收斂性；把函數(shù)列所在點集歸結(jié)為點列來探討函數(shù)列的一致收斂性.而在判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法探索中,先介紹兩邊夾判別法,然后介紹比較判別法,對魏爾斯特拉斯判別法的條件進(jìn)行改變得到一種新的比較判別法；探討在級數(shù)的和函數(shù)單調(diào)條件下,推出函數(shù)項級數(shù)的Dini；利用條件,給出函數(shù)項級數(shù)一致條件的定義,研究滿足一致條件的

12、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性；探討在函數(shù)列可微條件下,當(dāng)在上一致收斂時,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性；把函數(shù)項級數(shù)所在點集歸結(jié)為點列來探討函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.在判別含參量反常積分一致收斂的方法探索中,先介紹兩邊夾判別法及比較判別法,然后探討在積分單調(diào)的條件下,積分的一致收斂性，之后把含參量反常積分所在點集歸結(jié)到點列來探討含參量反常積分的一致收斂性.1 預(yù)備知識在這個部分我們將介紹本文所需要用到的概念及引理.首先我們介紹函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分一致收斂的概念,并給出函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的一致條件的定義.定義1 設(shè) , 是一列定義在同一數(shù)集上的函數(shù),稱為定義在上的函數(shù)列.也可以簡單地寫作: 或,

13、定義2 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上,若對任給的正數(shù),總存在某一正整數(shù),使得時,對一切,都有,則稱函數(shù)列在上一致收斂于.定義3 設(shè)是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列,表達(dá)式 稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù),簡記為或.稱=, ,為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.設(shè)函數(shù)項級數(shù)在上的和函數(shù)為,稱=為函數(shù)項級數(shù)的余項.定義4 設(shè)是函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.若在數(shù)集上一致收斂于函數(shù),則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于函數(shù),或稱在上一致收斂.定義5 設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上,若對每一個固定的,反常積分 都收斂,則它的值是在上取值的函數(shù),當(dāng)記這個函數(shù)為時,則有=,稱式為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡稱含參量反常積分.定義6

14、 若含參量反常積分與函數(shù)對任給的正數(shù),總存在某一實數(shù),使得當(dāng)時,對一切,都有即,則稱含參量反常積分在上一致收斂于,或簡單地說含參量積分在上一致收斂.定義7(函數(shù)列的一致條件) 若存在常數(shù),使得對于任意兩點,都有 .則稱函數(shù)在區(qū)間上滿足一致條件.定義8(函數(shù)項級數(shù)的一致條件) 若存在常數(shù),使得對于任意兩點,都有 .則稱函數(shù)在區(qū)間上滿足一致條件.1.2 引理為了本文的需要,在這部分將把文獻(xiàn)中的一些定理作為引理羅列出來. 引理1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是:對任給正數(shù),總存在正數(shù),使得當(dāng)時,對一切,都有引理2(函數(shù)列確界準(zhǔn)則) 函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是

15、:=0引理3(函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為:對任給的正數(shù),總存在某正整數(shù),使得當(dāng)時,對一切和一切正整數(shù),都有或引理4(函數(shù)項級數(shù)余項準(zhǔn)則) 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是=0.引理5(阿貝耳判別法) 設(shè)(1)在上一致收斂；(2)對于每一個,是單調(diào)的；(3)在上一致有界,即對一切和正整數(shù),存在正數(shù),使得,則級數(shù)在I上一致收斂.引理6(狄利克雷判別法) 設(shè) (1)的部分和函數(shù)列在I上一致有界； (2)對于每一個,是單調(diào)的；(3) 在I上一致收斂于0 (n),則級數(shù)在I上一致收斂. 引理7(含參量反常積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 含參量反常積分在上一致

16、收斂的充要條件是:對任給正數(shù),總存在某一實數(shù),使得當(dāng),時,對一切,都有.引理8 含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對任一趨于的遞增數(shù)列（其中=）,函數(shù)項級數(shù)=在上一致收斂.引理9(狄利克雷判別法) 設(shè)(1)對一切實數(shù),含參量正常積分對參量在上一致有界,即存在正數(shù),對一切及一切,都有；(2)對每一個,函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時,對參量,一致地收斂于0,則含參量反常積分在上一致收斂.定理10(阿貝耳判別法) 設(shè)(1)在上一致收斂；(2)對每一個,函數(shù)為的單調(diào)函數(shù),且對參量,在上一致有界,則含參量反常積分在上一致收斂.2 一致收斂的判別方法在這部分,將分別對判別函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分

17、一致收斂的方法進(jìn)行探討. 2.1函數(shù)列一致收斂的判別方法下面從常用方法、兩邊夾判別法、單調(diào)判別法、一致條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點列判別法這幾方面來介紹函數(shù)列一致收斂的判別方法.2引理1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是:對任給正數(shù),總存在正數(shù),使得當(dāng)時,對一切,都有引理2(函數(shù)列確界準(zhǔn)則) 函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是:=0引理3(函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為:對任給的正數(shù),總存在某正整數(shù),使得當(dāng)時,對一切和一切正整數(shù),都有或引理4(函數(shù)項級數(shù)余項準(zhǔn)則) 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是=0.引理5(阿貝耳

18、判別法) 設(shè)(1)在上一致收斂；(2)對于每一個,是單調(diào)的；(3)在上一致有界,即對一切和正整數(shù),存在正數(shù),使得,則級數(shù)在I上一致收斂.引理6(狄利克雷判別法) 設(shè) (1)的部分和函數(shù)列在I上一致有界； (2)對于每一個,是單調(diào)的；(3) 在I上一致收斂于0 (n),則級數(shù)在I上一致收斂. 點列判別法下面,把在點集X歸結(jié)到點列的情況下來確定函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.定理25在點集X上一致收斂于的充分必要條件是對任意點列 .都有證 必要性,若在點集X上一致收斂于,則.于是對任意點列 ,都有.充分性,用反證法,假設(shè)在點集X上不一致收斂于,則,及,使得.于是,取,與,使；取,與,使；取,與,使；.這樣

19、就得到一點列,使,與已知條件相矛盾.2.3含參量反常積分一致收斂的判別方法下面從常用方法、兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、點列判別法這幾方面來介紹含參量反常積分一致收斂的判別方法. 常用方法判別函數(shù)列一致收斂的常用方法有定義判別法,柯西準(zhǔn)則判別法,上確界法,阿貝耳判別法,狄利克雷判別法.下面舉例說明.例13 確定積分在區(qū)間（）的一致收斂性.解 因為,有 = =而,故,當(dāng)時,有,由定義知在上一致收斂.例14 確定積分當(dāng)時的一致收斂性.解 取= ,取,則,而,因此在時不一致收斂.例15 確定關(guān)于在（）上和內(nèi)的一致收斂性.解顯然關(guān)于在內(nèi)收斂于.0,.由上確界判別法知關(guān)于在（）上一致收斂于,在內(nèi)

20、的不一致收斂.例16 證明含參量反常積分關(guān)于一致收斂.證 由于收斂，又在對單調(diào)下降且一致有界，即，由阿貝耳判別法知，在時一致收斂.例17 證明含參變量反常積分在一致收斂.證 ,當(dāng)時,函數(shù)在時關(guān)于單調(diào)下降,且當(dāng)時關(guān)于一致趨于0，由狄利克雷判別法知在一致收斂.由以上常用方法,可推出一下定理：定理26 設(shè)與關(guān)于在點集Y上分別一致收斂于與,則關(guān)于在Y上一致收斂于.證 由題設(shè)知,當(dāng)時,有,同一,當(dāng)時,有.于是,關(guān)于,取,當(dāng)時,恒有=.所以,在上一致收斂于.類似可證,在X上一致收斂于.定理27 設(shè)關(guān)于在點集Y上一致收斂于,在Y上有界,則關(guān)于在Y上一致收斂于.2.3.2 兩邊夾判別法下面介紹兩邊夾判別法.定

21、理 28 設(shè)當(dāng)和時,恒有成立,且與均關(guān)于在點集Y上一致收斂于,則關(guān)于在Y上一致收斂于.2.3.3 比較判別法 下面介紹比較判別法.定理29(魏爾斯特拉斯判別法) 設(shè)有函數(shù),使得,.若收斂,則在上一致收斂.現(xiàn)對魏爾斯特拉斯判別法的條件改變,來討論含參量反常積分的一致收斂性.可推出定理30.定理30 關(guān)于在點集上一致收斂,又存在,使當(dāng)與時,恒有成立,且當(dāng)時,對任意,均關(guān)于在上可積,則關(guān)于在點集上一致收斂. 再對定理30條件進(jìn)行加強(qiáng),可推出定理31.定理31 若, 且對于是一致收斂的,則對于也是一致收斂的.證 對任給,由一致收斂,所以存在,使得只要時,對任意有于是,當(dāng)時,對任意有這就表示對于是一致收

22、斂的.證畢.單調(diào)判別法在單調(diào)的條件下,加上若干條件,可推出含參量反常積分的Dini定理.定理32(Dini定理) 設(shè)關(guān)于在上收斂于,在上連續(xù),又當(dāng)和時,恒有成立,且對任意,均關(guān)于在上連續(xù),則關(guān)于在上一致收斂于.點列判別法下面把在點集X歸結(jié)到點列的情況下來確定含參量反常積分的一致收斂性.定理33 關(guān)于在點集X上一致收斂于的充分必要條件是對任意：,：X （=1,2）,都有結(jié)束語一致收斂的概念及判定的掌握是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重點和難點,貫穿始終,而函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分的一致收斂性更是數(shù)學(xué)分析的重點、難點.本文從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分三方面著手,對它們的一致收斂進(jìn)行探討和研究,得到一些判別方法.可根據(jù)函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)及含參量反常積分的具體結(jié)構(gòu),而選擇恰當(dāng)?shù)呐袆e一致收斂的方法,以達(dá)到簡便、快速求解的目的.致謝值此論文完成之際,謹(jǐn)在此向多年來給予我關(guān)心和幫助的老師、同學(xué)和家人表示衷心地感謝.我能順利完成學(xué)業(yè),首先要感謝系領(lǐng)導(dǎo)及各科老師對我的關(guān)心和幫助.特別感謝梁教授給我的無私幫助,梁老師淵博的專業(yè)知識,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度,扎實的理論功底,精益求精的工作