橢圓綜合題總結(jié)附答案

1、一、直線與橢圓問題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n 的區(qū)別） 2.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”） 3.聯(lián)立方程組； 4.消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單） 5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在） “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； “等角、角平分、角互補(bǔ)問題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問題” （如： 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距

2、離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點(diǎn)共線直線OA與OB斜率相等）； “點(diǎn)、線對稱問題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長、面積問題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個(gè)面積公式 的 合理選擇）； 6.化簡與計(jì)算； 7.細(xì)節(jié)問題不忽略； 判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線、雙曲線問題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會出現(xiàn)0.二、基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會無解；3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無 關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程

3、中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求 出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明，5、 求最值問題時(shí)：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、 三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等 式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；橢圓中的定值、定點(diǎn)問題 一、常見基本題型： 在幾何問題中，有些幾何量和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題，解決這類問題常通過 取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三 角式，證明該式是恒定的。 （

4、1）直線恒過定點(diǎn)問題1、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，直線的方程為， 直線過P點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)M（-1，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為N，直線PN恒過一定點(diǎn)G，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。2、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢 圓于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值；3、已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值.4、 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不 過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（）求的最小值；（）若·，求證：直線過定

5、點(diǎn)；橢圓中的取值范圍問題一、常見基本題型： 對于求曲線方程中參數(shù)范圍問題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件及曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過解不等式求得參數(shù)的范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來解. （1）從直線和二次曲線的位置關(guān)系出發(fā)，利用判別式的符號，確定參數(shù)的取值范圍。 5、已知直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于相異兩點(diǎn)A、B, 且，求的取值范圍（2） 利用題中其他變量的范圍，借助于方程產(chǎn)生參變量的函數(shù)表達(dá)式,確定參數(shù)的取值范圍. 6、已知點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足 （）求動點(diǎn)的軌跡的方程； （）設(shè)過點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，若，求直線的斜率的取值范圍.(3)利用基本不等式求參數(shù)的取值范圍7、已知點(diǎn)為橢圓

6、：上的一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求 的取值范圍8.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距離為3.（1）求橢圓的方程.（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.9.如圖所示，已知圓為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)在上， 點(diǎn)在上，且滿足的軌跡為曲線.（I）求曲線的方程；（II）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線于不同的兩 點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)之間），且滿足， 求的取值范圍.10、.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一個(gè)頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對于軸上的點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍. 11.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長 為半徑的圓與直線相切（）求橢圓的方

7、程；（）若過點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿 足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍橢圓中的最值問題一、常見基本題型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交 橢圓于A、B兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值。（2）利用函數(shù)求最值，13.如圖，軸，點(diǎn)M在DP的延長線上，且當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)。 （I）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（）過點(diǎn)的切線交曲線 C于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積S的最大值和相應(yīng)的點(diǎn)T的坐標(biāo)。14、已知橢圓.過點(diǎn)作圓的切線交橢圓G于A,B兩點(diǎn). 將|A

8、B|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.選做1、已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，BC過橢圓m的中心，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y 軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且.求實(shí)數(shù)t的取值范圍2.已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在 上，點(diǎn)在上，且滿足2，·（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)， 使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由3、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)4.如