材料力學(xué) 扭轉(zhuǎn) 習(xí)題解

1、 第三章 扭轉(zhuǎn) 習(xí)題解習(xí)題3-1 一傳動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速，軸上裝有五個(gè)輪子，主動(dòng)輪II輸入的功率為60，從動(dòng)輪，I，III，IV，V依次輸出18，12，22和8。試作軸的扭圖。解：（1）計(jì)算各輪的力偶矩（外力偶矩） 外力偶矩計(jì)算(kW換算成kN.m)題目編號(hào)輪子編號(hào)輪子作用功率(kW)轉(zhuǎn)速r/minTe（kN.m）習(xí)題3-1I從動(dòng)輪182000.859 II主動(dòng)輪602002.865 III從動(dòng)輪122000.573 IV從動(dòng)輪222001.051 V從動(dòng)輪82000.382 (2) 作扭矩圖T圖(kN.m)習(xí)題3-2 一鉆探機(jī)的功率為10kW，轉(zhuǎn)速。鉆桿鉆入土層的深度。如土壤對(duì)鉆桿的阻力可

2、看作是均勻分布的力偶，試求分布力偶的集度，并作鉆桿的扭矩圖。解：（1）求分布力偶的集度設(shè)鉆桿軸為軸，則：（2）作鉆桿的扭矩圖 。 ； 扭矩圖如圖所示。習(xí)題3-3 圓軸的直徑，轉(zhuǎn)速為120r/min。若該軸橫截面上的最大切應(yīng)力等于60，試問所傳遞的功率為多大？解：（1）計(jì)算圓形截面的抗扭截面模量： （2）計(jì)算扭矩（3）計(jì)算所傳遞的功率習(xí)題3-4 空心鋼軸的外徑，內(nèi)徑。已知間距為的兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，材料的切變模量。試求： （1）軸內(nèi)的最大切應(yīng)力；（2）當(dāng)軸以的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸所傳遞的功率。解；（1）計(jì)算軸內(nèi)的最大切應(yīng)力。式中，。，（2）當(dāng)軸以的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸所傳遞的功率習(xí)題3-5 實(shí)心圓軸的直徑

3、，長(zhǎng)，其兩端所受外力偶矩，材料的切變模量。試求： （1）最大切應(yīng)力及兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角；（2）圖示截面上A、B、C三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向；（3）C點(diǎn)處的切應(yīng)變。解：（1）計(jì)算最大切應(yīng)力及兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角 。式中，。故：式中，。故： （2）求圖示截面上A、B、C三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向 由橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律可知：A、B、C三點(diǎn)的切應(yīng)力方向如圖所示。（3）計(jì)算C點(diǎn)處的切應(yīng)變習(xí)題3-6 圖示一等直圓桿，已知，。試求： （1）最大切應(yīng)力； （2）截面A相對(duì)于截面C的扭轉(zhuǎn)角。解：（1）計(jì)算最大切應(yīng)力 從AD軸的外力偶分布情況可知：，。 式中，。故：式中，。故：（2）計(jì)算截面A相對(duì)于截面C的扭轉(zhuǎn)角

4、習(xí)題3-7 某小型水電站的水輪機(jī)容量為50，轉(zhuǎn)速為300r/min，鋼軸直徑為75mm，若在正常運(yùn)轉(zhuǎn)下且只考慮扭矩作用，其許用切應(yīng)力。試校核軸的強(qiáng)度。解：（1）計(jì)算最大工作切應(yīng)力式中，； 。 故：（2）強(qiáng)度校核 因?yàn)?，即，所以軸的強(qiáng)度足夠，不會(huì)發(fā)生破壞。習(xí)題3-8 已知鉆探機(jī)鉆桿（參看題3-2圖）的外徑，內(nèi)徑，功率，轉(zhuǎn)速，鉆桿入土深度，鉆桿材料的，許用切應(yīng)力。假設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長(zhǎng)度均勻分布的，試求： （1）單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩集度；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；（3）兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：（1）求單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩集度設(shè)鉆桿軸為軸，則：（2）作鉆桿的扭矩圖，

5、并進(jìn)行強(qiáng)度校核 作鉆桿扭矩圖。 ； 扭矩圖如圖所示。強(qiáng)度校核式中，因?yàn)?，即，所以軸的強(qiáng)度足夠，不會(huì)發(fā)生破壞。（3）計(jì)算兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角式中，習(xí)題3-9 圖示絞車由兩人同時(shí)操作，若每人在手柄上沿著旋轉(zhuǎn)的切向作用力F均為0.2kN，已知軸材料的許用切應(yīng)力，試求： （1）AB軸的直徑；（2）絞車所能吊起的最大重量。解：（1）計(jì)算AB軸的直徑AB軸上帶一個(gè)主動(dòng)輪。兩個(gè)手柄所施加的外力偶矩相等： 扭矩圖如圖所示。 由AB軸的強(qiáng)度條件得：（2）計(jì)算絞車所能吊起的最大重量 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間的嚙合力相等： 由卷揚(yáng)機(jī)轉(zhuǎn)筒的平衡條件得：習(xí)題3-10 直徑的等直圓桿，在自由端截面上承受外力偶，而在圓桿表面上的

6、A點(diǎn)將移動(dòng)到A1點(diǎn)，如圖所示。已知，圓桿材料的彈性模量，試求泊松比（提示：各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E、G、間存在如下關(guān)系：。解：整根軸的扭矩均等于外力偶矩：。設(shè)兩截面之間的相對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)角為，則，式中，由得：習(xí)題3-11 直徑的鋼圓桿，受軸向拉60kN作用時(shí)，在標(biāo)距為200mm的長(zhǎng)度內(nèi)伸長(zhǎng)了0.113mm。當(dāng)其承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)外力偶矩時(shí)，在標(biāo)距為200mm的長(zhǎng)度內(nèi)相對(duì)扭轉(zhuǎn)了0.732的角度。試求鋼材的彈性常數(shù)G、G和。解：（1）求彈性模量E （2）求剪切彈性模量G由得：（3）泊松比由得：習(xí)題3-12 長(zhǎng)度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實(shí)心圓軸，兩者的材料相同，受力情況也一樣。實(shí)心軸直徑為d；空

7、心軸的外徑為D，內(nèi)徑為d0，且。試求當(dāng)空心軸與實(shí)心軸的最大切應(yīng)力均達(dá)到材料的許用切應(yīng)力（），扭矩T相等時(shí)的重量比和剛度比。解：（1）求空心圓軸的最大切應(yīng)力，并求D。式中，故： （1）求實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力 式中， ，故：（3）求空心圓軸與實(shí)心圓軸的重量比（4）求空心圓軸與實(shí)心圓軸的剛度比習(xí)題3-13 全長(zhǎng)為，兩端面直徑分別為的圓臺(tái)形桿，在兩端各承受一外力偶矩，如圖所示。試求桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：如圖所示，取微元體，則其兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角為：式中， 故：=習(xí)題3-14 已知實(shí)心圓軸的轉(zhuǎn)速，傳遞的功率，軸材料的許用切應(yīng)力，切變模量。若要求在2m長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角不超過，試求該軸的直徑。解：式中

8、，；。故：取。習(xí)題3-15 圖示等直圓桿，已知外力偶，許用切應(yīng)力，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，切變模量。試確定該軸的直徑。解：（1）判斷危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn) 作AC軸的扭矩圖如圖所示。因最大扭矩出出在BC 段，所以危險(xiǎn)截面出現(xiàn)在BC段，危險(xiǎn)點(diǎn)出現(xiàn)在圓周上。 （2）計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力（最大工作切應(yīng)力），并代入剪 切強(qiáng)度條件求。 （3）計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(出現(xiàn)在BC段)，并代入扭轉(zhuǎn)剛度條件求。（4）確定值習(xí)題3-16 階梯形圓桿，AE段為空心，外徑，內(nèi)徑；BC段為實(shí)心，直徑。外力偶矩，許用切應(yīng)力，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，切變模。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。 解：（1）AB段的強(qiáng)度與剛度校核 式中， 符合度條件。式中

9、， 符合剛度條件。（2） BC段的強(qiáng)度與剛度校核 式中， 符合度條件。式中， 符合剛度條件。 綜合（1）、（2）可知，該軸符合強(qiáng)度與剛度條件。習(xí)題3-17 習(xí)題3-1中所示的軸，材料為鋼，其許用切應(yīng)力，切變模，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試按強(qiáng)度條件及剛度條件選擇圓軸的直徑。解：（1）由強(qiáng)度條件選擇直徑 軸的扭矩圖如圖所示。因?yàn)樽畲笈ぞ爻霈F(xiàn)在II、III輪之間，所以危險(xiǎn)截面出現(xiàn)在此段內(nèi)，危險(xiǎn)點(diǎn)在此段的圓周上。 （2）由剛度條件選擇直徑故選用 。習(xí)題3-18 一直徑為d的實(shí)心圓桿如圖所示，在承受扭轉(zhuǎn)力偶后，測(cè)得圓桿表面與縱向線成的方向上的線應(yīng)變?yōu)?。試?dǎo)出以，d和表示的切變模量G的表達(dá)式。解：圓桿表面貼應(yīng)

10、變片處的切應(yīng)力為 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)處于純剪切狀態(tài)，圖（a）。切應(yīng)變 （1）對(duì)角線方向線應(yīng)變：圖（a） （2）式（2）代入（1）： 習(xí)題3-19 有一薄壁厚為、內(nèi)徑為的空心薄壁圓管，其長(zhǎng)度為，作用在軸兩端面內(nèi)的外力偶矩為。試確定管中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。已知材料的切變模量。解：（1）求管中的最大切應(yīng)力 ： 習(xí)題3-20 一端固定的圓截面桿AB，承受集度為的均布外力偶作用，如圖所示。試求桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能。已矩材料的切變模量為G。解： 習(xí)題3-21 簧桿直徑的圓柱形密圈螺旋彈簧，受拉力作用，彈簧的平均直徑為，材料的切變模量。試求：（1）簧桿內(nèi)的最大切應(yīng)力；（2）為使其伸長(zhǎng)量等于所需的彈簧有效圈數(shù)

11、。解： ， 故 因?yàn)?故 圈習(xí)題3-22 一圓錐形密圈螺旋彈簧承受軸向拉力F如圖，簧絲直徑，材料的許用切應(yīng)力，切變模量為G，彈簧的有效圈數(shù)為。試求： （1）彈簧的許可切應(yīng)力；（2）證明彈簧的伸長(zhǎng)。解：（1）求彈簧的許可應(yīng)力 用截面法，以以簧桿的任意截面取出上面部分為截離體。由平衡條件可知，在簧桿橫截面上：剪力扭矩最大扭矩：，因?yàn)?，所以上式中小括?hào)里的第二項(xiàng)，即由Q所產(chǎn)生的剪應(yīng)力可以忽略不計(jì)。此時(shí)（2）證明彈簧的伸長(zhǎng) 外力功： ， 習(xí)題3-23 圖示矩形截面鋼桿承受一對(duì)外力偶。已知材料的切變模量，試求：（1） 桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向；（2） 橫截面短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力；（3） 桿的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。 解：（1）求桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向 ， ， 由表得長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力，在上面，由外指向里（2）計(jì)算橫截面短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力，在前面由上往上（3）求單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)角 單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)角習(xí)題3-24 圖示T形薄壁截面桿的長(zhǎng)度，在兩端受扭轉(zhuǎn)力矩作用，材料的切變模量，桿的橫截面上和扭矩為。試求桿在純扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力及單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。 解：（1）求最大切應(yīng)力（2）求單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)角習(xí)題3-25 圖示為一閉口薄壁截面桿的橫截面，桿在兩端承受一外力偶。材料的許用切應(yīng)力。試求：（1） 按強(qiáng)度條件確定其許可扭轉(zhuǎn)力偶矩（2） 若在桿上沿母線切開一條纖