機械優(yōu)化設計復習題答案

1、機械優(yōu)化設計復習題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最優(yōu)解時，設X（0）-0.5,0.5T，第一步迭代的搜索方向為 -47,-50T。2、機械優(yōu)化設計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。3、當優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成 高低高 趨勢。5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。6、函數(shù) 的梯度為B。7、設G為nn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d0，d1，滿足(d0)TG

2、d1=0，則d0、d1之間存在共軛關系。8、 設計變量 、 目標函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù)，若在點處取得極小值，其必要條件是 f(x10,x20)=0 ，充分條件是 2f(x10,x20)=0正定 。10、 K-T 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)的極小點，初始搜索區(qū)間，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 -2.36 10 。12、優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的基本要素有設計變量、 目標函數(shù) 、 約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk= ，其計算量大 ，且要求初始點在極小點 附近

3、位置。14、將函數(shù)f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成的形式 12x1x22-1-12x1x2+-10-4x1x2+60 。15、存在矩陣H，向量 d1，向量 d2，當滿足d1THd2=0，向量 d1和向量 d2是關于H共軛。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調遞增特點。17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求最優(yōu)步長。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對于約束問題根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為 ，為 。

4、DA內點；內點 B. 外點；外點 C. 內點；外點 D. 外點；內點3、內點懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。A 無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a，b，中間插入兩個點a1、b1，a1b1，計算出f(a1)f(b1)，則縮短后的搜索區(qū)間為D。A a1，b1 B b1，b C a1，b D a，b1 5、D不是優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的基本要素。A設計變量 B約束條件 C目標函數(shù) D 最佳步長6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C 。A. Hk之間

5、有簡單的迭代形式 B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交 D.對稱正定7、函數(shù)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的A。A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。A 梯度法 B 牛頓法 C 變尺度法 D 坐標輪換法9、設為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。A 正定 B 半正定 C 負定 D 半負定10、下列關于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯誤的是D，假設要求在區(qū)間a，b插入兩點1、2，且1, 因此繼續(xù)進行迭代。第一迭代步完成

6、。2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點x(0)=2,1T。解1：（注：題目出題不當，初始點已經(jīng)是最優(yōu)點，解2是修改題目后解法。）牛頓法的搜索方向為S(k)=-2f-1(f),因此首先求出當前迭代點x(0) 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 f（x(0)）=002f4-4-482f-1 = 142111 S(k)=-2f-1f=00 不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點x(0)=1

7、,2T作為初始點，重新采用牛頓法計算牛頓法的搜索方向為S(k)=-2f-1(f),因此首先求出當前迭代點x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 初始點梯度向量： f（x(0)）=-812 海色矩陣：2f4-4-48海色矩陣逆矩陣： 2f-1 = 142111 當前步的搜索方向為：S(k)=-2f-1(f)- 142111-812-11新的迭代點位于當前的搜索方向上 ：X（k+1）=X（k）+S（k）=X（0）+S（0） 12-111-2把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關于單變量的函數(shù)F() fXk+1=f1-2=

8、( + 1)2 + (3 + 3)2F() 令 dF()d=20+ 200，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長 -1 新的迭代點為 X(1)=X（0）+S（0） 12 -11 21 當前梯度向量的長度f=12x12+8x8=14.4222, 因此繼續(xù)進行迭代。第二迭代步：f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f（x(1)）=00f=002-2-248-440 因此2f正定, X*=x1x2=42是極小點，極值為f(X*)=-84、求目標函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。解法同上5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x

9、32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點1，1，-2T處具有極小值。解： 必要條件：f 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3 將點1，1，-2T帶入上式，可得f 000充分條件2f4020102222440 40010400402010222280-40-162402f正定。因此函數(shù)在點1，1，-2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=x12x2250 g2(X)=x12x240 g3(X)= x10 g4(X)=x20 驗證在點Kuhn-Tucker條件成立。解：

10、首先，找出在點起作用約束：g1(X) 0g2(X) 0g3(X) 2g4(X) 1因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。然后，計算目標函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。 f2*x1 - 6 2*x2 - 4-2-2 g1 -2*x1 -2*x2-4-2, g2-1 -2 求解線性組合系數(shù) f=1g1+2g2 -2-2=1-4-2+2-1 -2 得到 113, 2=23, 均大于0因此在點Kuhn-Tucker條件成立7、設非線性規(guī)劃問題用K-T條件驗證為其約束最優(yōu)點。解法同上8、已知目標函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：g1(X

11、)=-x12+x20g2(X)=x10寫出內點罰函數(shù)。解： 內點罰函數(shù)的一般公式為其中： r(1)r(2) r(3) r(k) 0 是一個遞減的正值數(shù)列r(k)Cr(k-1)， 0C1因此 罰函數(shù)為：X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1)9、已知目標函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20試寫出內點罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉，造一個無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化

12、問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為，見圖1。管道內液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關系（s只包括底邊和兩側邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型。并用matlab軟件的優(yōu)