梁的位移及簡(jiǎn)單超靜定梁

1、第六章 梁的位移及簡(jiǎn)單超靜定梁內(nèi)容提要一、平面彎曲時(shí)梁的變形與位移、梁的變形1. 撓曲線 平面彎曲時(shí)，梁的軸線彎曲成位于形心主慣性平面內(nèi)的一條光滑連續(xù)的平面曲線，稱為撓曲線，如圖6-1中的。2. 彎曲變形 以撓曲線(中性層)的曲率表示梁彎曲變形程度，曲率與彎矩間的關(guān)系為 (61)式中，為彎矩，為梁的彎曲剛度，(6-1)式右端的負(fù)號(hào)，是因?yàn)樵趫D(6-1)所示坐標(biāo)系中，y向下為正，撓曲向上凸時(shí)曲率正，于是正彎矩產(chǎn)生負(fù)曲率，負(fù)彎矩產(chǎn)生正曲率。(6-1)是在小變形，線彈性的條件下導(dǎo)出的，純彎曲時(shí)，彎矩為常量，曲率為常量，撓曲線為一段圓弧線。橫力彎曲時(shí)，不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，曲率和彎矩均為x的函數(shù)，曲率

2、與彎矩成正比。、梁的位移 1. 撓度 橫截面在垂直于原軸線方向的位移，稱為撓度，用w表示。表示撓度隨橫截面位置x變化規(guī)律的方程為撓度(或撓曲線)方程在圖6-1所示坐標(biāo)系中，w向下為正，向上為負(fù)。2.轉(zhuǎn)角橫截面相對(duì)于其原方位的角位移，稱為轉(zhuǎn)角，用表示。在一般細(xì)長(zhǎng)梁中，不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，變形后的橫截面仍保持為平面，且垂直于梁的撓曲線，于是轉(zhuǎn)角也為x軸與撓曲線在該點(diǎn)的切線之間的夾角。(圖6-1)，在圖6-1所坐標(biāo)系中，以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。在小變形的情況下，轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該點(diǎn)處的斜率，即、變形與位移變形與位移是兩個(gè)不同的概念，但它們又互相聯(lián)系。梁的變形(曲率)僅取決于彎矩和梁的彎曲剛度的

3、大小，位移不僅取決于彎矩和梁的彎曲剛度，還與梁的約束條件有關(guān)。二、撓曲線的近似微分方程及其積分、撓曲線的近似微分方程平面曲線在直角坐標(biāo)系中曲率公式為在小變形時(shí)，于是將此式代入(6-1)式，得到線彈性范圍內(nèi)，小變形情況撓曲線的近似微分方程為 (62)、通過積分求梁的位移等直梁彎矩不需分段列出時(shí)，將(6-2)式積分一次得再積分一次得式中，和為積分常數(shù)，由梁的位移邊界條件確定。當(dāng)梁上的彎矩需要分段列出時(shí)，撓曲線的近似微分方程也應(yīng)分段建立，分別積分兩次后，每一段有兩個(gè)積分常數(shù)，確定積分常數(shù)除了應(yīng)用位移邊界條件外，還需應(yīng)用位移連續(xù)條件。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在運(yùn)算中需要采取一些技巧(見教材例7-2)。三、用疊加

4、法計(jì)算梁的位移、疊加原理 在線彈性范圍內(nèi)，小變形情況下，梁在若干個(gè)荷載共同作用下任一橫截面的位移，等于梁在各個(gè)荷載單獨(dú)作用下的位移之和。、要求 利用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的位移值(見教材表7-1)，確定梁在若干個(gè)荷載共同作用下的位移值。疊加法計(jì)算梁的位移是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，要求熟記表7-1的結(jié)果，并通過作練習(xí)題，掌握利用疊加法計(jì)算梁位移的技巧。四、梁的剛度條件 提高梁剛度的措施、剛度條件 梁的剛度條件為梁的最大撓度與跨長(zhǎng)的比值不得超過規(guī)定的許可值，梁指定截面的轉(zhuǎn)角不得超過規(guī)定的許可值，即， (63)、提高梁剛度的措施 1. 增大梁的彎曲剛度EI。選擇適當(dāng)?shù)慕孛嫘螤?，增加截面?duì)中性軸的慣性矩。2 .

5、 減小梁的跨度或增加支承。五、彎曲應(yīng)變能等直梁平面彎曲時(shí)，在彈性變形過程中梁內(nèi)所積蓄的能量，稱為彎曲應(yīng)變能，純彎曲和橫力彎曲時(shí)的應(yīng)變能分別為， (64)本章只需掌握彎曲應(yīng)變能的概念，其應(yīng)用將放在能量方法一章中。六、超靜定梁、超靜定的概念梁的約束反力數(shù)目超過了平衡方程式的數(shù)目，這種梁稱為超靜定梁。多于維持平衡所必要的約束，稱為多余約束，相應(yīng)的約束反力為多余未知力，多余約束數(shù)目或多余未知力數(shù)目為超靜定次數(shù)。、超靜定梁的解法 解除多余約束使梁成為靜定梁，此梁稱為原超靜定梁的基本系統(tǒng) (或稱為靜定基)?；鞠到y(tǒng)在荷載及多余未知力作用下，滿足多余約束所提供的位移條件。這樣的靜定梁稱為原超靜梁的相當(dāng)系統(tǒng)，

6、求出多余未知力后，利用相當(dāng)系統(tǒng)來完成對(duì)原超靜定梁的一切計(jì)算。例6-1 用積分法計(jì)算圖示各梁的位移時(shí)，各需分幾段列撓曲線的近似微分方程？各有幾個(gè)積分常數(shù)？并寫出其確定積分常數(shù)的位移邊界和連續(xù)條件。解：圖a 分AC、CB兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個(gè)積分常數(shù)。位移邊界條件為，位移連續(xù)條件為時(shí)，圖b 分AB、BC兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個(gè)積分常數(shù)。位移邊界條件為，位移連續(xù)條件為時(shí)，圖c 只需列AB段撓曲線的近似微分方程，共有兩個(gè)積分常數(shù)。位移邊界條件為，圖d 分AB、BC兩段列撓曲線的近似微分方程，共有四個(gè)積分常數(shù)。位移邊界條件為時(shí)，位移連續(xù)條件為時(shí)，圖e 分AB、BC和CD三段列撓

7、曲線的近似微分方程，共有六個(gè)積分常數(shù)。位移邊界條件為時(shí)，位移連續(xù)條件為，時(shí)，中間鉸B處，撓曲線連續(xù)但不光滑，即中間鉸兩側(cè)面的撓度相同，但轉(zhuǎn)角不等。例6-2 試?yán)L出圖示各梁撓曲線的大致形狀。解：繪制撓曲線大致形狀的步驟為：首先繪制彎矩圖，彎矩為正的區(qū)段，撓曲線為下凸曲線；彎矩為負(fù)的區(qū)段撓曲為上凸曲線，彎矩等于零的區(qū)段，撓曲線為直線段。彎矩等于零的點(diǎn)處，且其左右兩側(cè)的彎矩異號(hào)，或彎矩有突變的點(diǎn)處，且其左右兩側(cè)的彎矩異號(hào)，撓曲線上有拐點(diǎn)。彎矩值大的地方撓曲線的曲率就大些，彎矩值小的地方撓曲的曲率小些。再根據(jù)固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角均等于零；鉸支座處撓度等于零，轉(zhuǎn)角不等于零；中間鉸兩側(cè)面處撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不

8、連續(xù)，撓曲線上出現(xiàn)折角。以及位移連續(xù)條件可繪出撓曲的大致形狀。 各梁的彎矩圖及其撓曲線的大致形狀分別如各圖中所示。例6-3 簡(jiǎn)支梁的荷載如圖所示，彎曲剛度為EI。試用積分法求、和。解：方法1梁的撓曲線如圖a所示，由對(duì)稱性知，。梁的支反力?？扇C部分進(jìn)行分析。圖b (1) (2)由 ，得 ，得 轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為，方法2 取圖c為研究對(duì)象。分AC、CB兩段列撓曲線的近似微分方程，積分后共有4個(gè)積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的位移連續(xù)條件為，；位移邊界條件為 ，；，。讀者可自行完成其具體計(jì)算。例6-4 梁的彎曲剛度為EI，已知其撓曲線方程為試求：1. 梁的最大彎矩及最大剪力；2. 梁的荷載及支承

9、情況。解：1. 求、和。由，得 (1) (2) (3)2. 求?？赡馨l(fā)生在、處，以及處。由(2)式， 得 由(1)式，得,，故發(fā)生在處。3. 求?？赡馨l(fā)生、處，以及處。由(3)式可見 時(shí) ，該處有極值。由(2)式，得，故發(fā)生在的邊界處。4. 梁的荷載及支座情況。由，知荷載為沿梁的長(zhǎng)度線性分布，其方向向下。，；，。由 ，；，故 和 均為鉸支座。梁的荷載及支座情況如圖a所示，圖和M圖分別如圖(b)和圖(c)所示。例6-5 等截面懸臂梁下面有的曲面。欲使梁變形后與該曲面密合(曲面不受力)，試求梁上的荷載，梁的彎曲剛度為EI。解：在圖示坐標(biāo)系中，撓曲線的近似微分方程為 ，梁的彎矩方程為 (1)剪力方程

10、為 (2)當(dāng)在梁的自由端加向上的集中，滿足剪力方程(2)，要滿足彎矩方程(1)，梁上還應(yīng)加集中力偶作用，使得 即在梁的自由端加一順時(shí)針轉(zhuǎn)的力偶。 故梁的荷載有，在自由端有向上的集中力和順時(shí)轉(zhuǎn)的力偶，如圖b所示。例6-6 圖a所示懸臂梁，其彎曲剛度為EI。試用疊加法分別求B、C截面的轉(zhuǎn)角和撓度。解：1. 用圖b所示的分解圖式求B、C截面的位移。B截面的位移是由AB的變形產(chǎn)生的，與BC段的變形無關(guān)，將BC段的荷載向B截面簡(jiǎn)化如圖b所示，該梁AB段的受力情況和原梁相同，故有C截面的位移是由AB段B截面的位移和BC段的變形共同產(chǎn)生的，由AB段B截面的位移引起的C截面的位移為由于BC段的變形產(chǎn)生的C截面

11、的位移為； 故 2. 用圖c所示分解圖式求C截面的位移圖c中梁的受力情況和原梁相同，故有 討論：當(dāng)不能直接利用教材中表7-1的結(jié)果計(jì)算梁的位移時(shí)，首先對(duì)梁的位移進(jìn)行分段分析，利用相當(dāng)力系代替原力系，保持受力情況(包括約束反力)與原梁相同，把原梁分解成可利用表7-1進(jìn)行計(jì)算的幾種形式，再利用疊加法。例6-7 求圖a所示外伸梁C截面的撓度和D截面的轉(zhuǎn)角和撓度，梁的彎曲剛度為EI。 解：是由梁AB段的變形產(chǎn)生的，和是由梁的AB段和BD段的變形共同產(chǎn)生的。分解圖式如圖b、c所示。在圖b中，AB段的受力和約束和原梁AB段完全一致，故 由AB段的變形產(chǎn)生的D截面的位移為 由BD段的變形產(chǎn)生的D截面的位移為

12、； 故 ； 討論：本例是教材中的例題，又在這里重復(fù)，是因?yàn)樵摾怯?jì)算外伸梁位移的典型例子。例6-8 圖a所示簡(jiǎn)支梁的彎曲剛度為EI。試求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角及B截面的轉(zhuǎn)角。 解：圖a梁的荷載可視為圖b和圖c兩種荷載的疊加。 圖b 結(jié)構(gòu)和荷載均是關(guān)于C截面為對(duì)稱的，其撓度是關(guān)于C截面為對(duì)稱的，轉(zhuǎn)角是關(guān)于C截面反對(duì)稱的，C截面的轉(zhuǎn)角。將簡(jiǎn)支梁的CB(或AC)部分簡(jiǎn)化懸臂梁(圖d)，由圖可見， 由疊加法，得圖c 結(jié)構(gòu)關(guān)于C截面為對(duì)稱，荷載關(guān)于C截面為反對(duì)稱的，其撓曲線關(guān)于C截面為反對(duì)稱，C截面的撓度，轉(zhuǎn)角不等于零，彎矩，C截面可簡(jiǎn)化為鉸支座。梁的CB(AC)部分可簡(jiǎn)化簡(jiǎn)支梁(圖e)。將以上結(jié)果進(jìn)行疊加

13、，得 討論：1. 有時(shí)利用對(duì)稱性求梁的位移，是很方便的，要掌握其中的規(guī)律，對(duì)稱梁受對(duì)稱荷載時(shí)，其撓度是對(duì)稱的，轉(zhuǎn)角是反對(duì)稱的，對(duì)稱軸所在截面上的轉(zhuǎn)角等于零；對(duì)稱梁受反對(duì)稱荷載時(shí)，其撓度是反對(duì)稱的，對(duì)稱軸所在截面上的撓度等于零，轉(zhuǎn)角是對(duì)稱的。在分析時(shí)還要結(jié)合梁的內(nèi)力的對(duì)稱性(見第三章)。 2. 由教材例7-2的分析可知，該梁的跨中截面撓度值可代替其最大撓度值，即例6-9 圖a 所示結(jié)構(gòu)中，AB、BC桿的彎曲剛度為EI，AB、BD桿的拉(壓)剛度為EA。試用疊加法求C截面的鉛垂位移。解：求的分解圖式分別如圖b、c、d、e所示。圖a 由，得圖b，圖c圖d 圖e 故 例6-10 試用疊加法求圖a 所示

14、梁C截面撓度。梁的彎曲剛度為EI。解：圖a所示梁的荷載可視為圖b和圖c兩種荷載的疊加，圖b所示梁的荷載可視為圖d和圖e兩種荷載的疊加，圖c所示梁的荷載可視為圖f 和圖h兩種荷載的疊加，其中圖f簡(jiǎn)支梁的CB(或AC)段，簡(jiǎn)化為圖g所示懸梁。例6-11 位于xz平面內(nèi)的剛架ABC，在截面受沿y方向的集中F作用，各桿均為直徑為d的圓截面桿。其彈性模量為E，切變模量為G，且。試用疊加法求截面的鉛垂位移。解：由AB桿B截面撓度和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的C截面的鉛垂位移(圖b)為由BC桿的彎曲變形產(chǎn)生的截面的鉛垂位移(圖c)為將以上結(jié)果疊加，得例6-12 試用疊加法求圖a所示組合梁截面的撓度wD、轉(zhuǎn)角qD。梁的彎曲剛度

15、為EI。解：該組合梁的基本部分AB懸臂梁，附屬部分為BCD。在進(jìn)行受力分析時(shí)先分析附屬部分，再分析基本部分，如圖b所示。在進(jìn)行位移分析時(shí)，先分析基本部分(圖c)，再分析附屬部分圖d。圖c中， , 圖d中，, , 故例6-13求圖a所示超靜梁的支反力，梁的彎曲剛度為EI。解：圖a所示超靜定梁，可分別取圖b、c、d為其相當(dāng)系統(tǒng)。圖b 由 ， 得 圖c 由 ， 得 圖d ， 由 (和圖d所示的轉(zhuǎn)向相反) 不論取何種相當(dāng)系統(tǒng)，只要求出“多余”未知力后，不難利用平衡求出其它支反力，結(jié)果為 ， ， 例6-14 圖a所示結(jié)構(gòu)中，簡(jiǎn)支梁AB和懸臂梁CD的彎曲剛度均為EI，DE桿的拉壓剛度為EA，且。試求D點(diǎn)的

16、鉛垂位移。解：取相當(dāng)系統(tǒng)如圖b所示，變形協(xié)調(diào)條件為，即解得 D點(diǎn)的鉛垂位移為例6-15 水平直角折拐ABC，在其C端的上方有一直桿DE，C端和D端之間有一微小距離，如圖a所示。試求安裝后DE桿的軸力。已知，AB桿為直徑為d的圓桿，彈性模量為E，切變模量為G，且。BC桿為剛性桿。DE桿的橫截面面積為A，材料和AB桿相同。解：安裝后的受力圖如圖b所示，變形的相容條件為。即*例6-16 圖a所示結(jié)構(gòu)中，AB為圓截面桿，CD為剛性桿，AB桿和CD桿在B處剛性固結(jié)。CD桿由桿和桿懸吊。桿上端距固定面有微小距離。試求安裝后和桿中的軸力。已知，AB桿的彎曲剛度為EI，扭轉(zhuǎn)剛度為，和桿的拉壓剛度為EA。解：受

17、力圖如圖b所示，剛性桿CD上的、分別為和桿的軸力，和為AB桿對(duì)CD的約束反力及反力偶矩。該題為二次超靜定。平衡方程為 (1) (2)安裝后的變形圖如圖c所示，因?yàn)镃D桿為剛性桿，先設(shè)由于AB桿B端的撓度，使CD桿向上平移到位置，又由于AB桿B端的扭轉(zhuǎn)角，使桿繞點(diǎn)逆時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)到位置。 變形的協(xié)調(diào)方程為D端 (3)C端 將(3)式代入上式 (4)式中， ，, (5)將(1)、(2)、(5)式代入(3)式，得 (6)將(1)、(5)式代入(4)式，得 (7)聯(lián)解(6)和(7)式，得 , 例6-17 圖a所示梁中，AB、CD段的彎曲剛度為EI，BC段為剛性桿。試求B截面的撓度。 解：根據(jù)對(duì)稱性，畫出撓曲線

18、如圖a中虛線所示，E截面處撓度和彎矩均等于零，轉(zhuǎn)角不等于零，故E截面可簡(jiǎn)化鉸支座，AE簡(jiǎn)化成如圖b所示的梁，變形協(xié)調(diào)條件為B截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 (1) (2)E截面的撓度為 (3)把(1)、(2)式代入(3)式，即解得 (4)將(4)式代回(1)式，得例6-18 懸臂梁AB受鉛垂向下的均布荷載q作用，梁的長(zhǎng)度為l，彎曲剛度為EI，固定A高出剛性地面h(h<<l)，如圖a所示。試求懸臂梁僅B端著地時(shí)，荷載q滿足的條件。解：分析 設(shè)時(shí)，B端和地面剛剛接觸，即，地面對(duì)梁不產(chǎn)生約束反力，為B端著地的最小荷載。設(shè)時(shí)， ，地面對(duì)梁產(chǎn)生反力。要使梁僅B端著地，應(yīng)使， 為B端著地的最大荷載(圖

19、b)。 當(dāng)時(shí)，將使梁上B端左側(cè)某點(diǎn)與地面接觸(圖c)。 1. 求由 得 2. 求由 ，得 (1)由 ， 得 (2)聯(lián)解(1)和(2)式， 得 ， 故懸臂梁僅B點(diǎn)著地時(shí)的荷載q條件為例6-19 寬度為b，高度分別為和，彈性模量分別為和的兩根矩形梁疊合(無摩擦)在一起的簡(jiǎn)支梁受均布荷q作用，如圖a所示。試求該梁中點(diǎn)C的撓度。解：上、下兩梁疊合在一起，且兩梁之間無摩擦，受力后兩梁將沿其接觸面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)，兩梁將各自繞其自身的中性軸和轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖b所示。設(shè)兩梁的彎矩分別為和，則 (1)由兩梁在同一橫截面處的撓度相等，其二階導(dǎo)數(shù)也相等，故兩梁的曲率相等，即 (2)式中，聯(lián)解(1)和(2)式，得， (3)由撓曲

20、線的近似微分方程，得，即， (4)設(shè)，有 (5)可見，疊合梁的變形相當(dāng)于彎曲剛度為的單一梁的變形。點(diǎn)的撓度為當(dāng)時(shí)例6-20 一根足夠長(zhǎng)的鋼筋，放置在水平剛性平臺(tái)上，鋼筋單位單設(shè)的重量為q，彎曲剛度為EI。鋼筋一端伸出平臺(tái)邊緣的距離為a,如圖a所示。試在F=0和F=qa兩種情況下分別求鋼筋自由端的撓度wA。 解：1. 時(shí)，求。 由于BA段伸出平臺(tái)，在其自重作用，使CB段隆起，但CD部分仍和同性平臺(tái)接觸(圖b)。C截面為直線CD的端點(diǎn)，故C截面的曲率等于零，即，可知C截面的彎矩，且C截面的撓度和轉(zhuǎn)角均等于零。即，。從和的條件分析，C截面可簡(jiǎn)化為固定端，但反力偶矩；從和的條件分析，C截面又可簡(jiǎn)化為鉸

21、支端，但C端的轉(zhuǎn)；B點(diǎn)處均可簡(jiǎn)化為鉸支座，所以ABC部分可取圖c和圖d所示的兩種計(jì)算簡(jiǎn)圖?，F(xiàn)分別進(jìn)行討論圖c所示梁，變形協(xié)調(diào)條件為。由，得在q及F作用B點(diǎn)的撓度分別為由 ，即得 在q 及作用下A端的撓度分別為故A端的撓度為 圖d所示梁，由變形協(xié)調(diào)條件為，求出，利用疊加可求出。 2. 求時(shí)的。 當(dāng)時(shí)，在q和F作用下， B截面已脫離剛性平臺(tái)，設(shè)部分被抬起，部分仍與剛性平臺(tái)接觸(圖e)，則有、，截面簡(jiǎn)化為固定端，但。部分簡(jiǎn)化為如圖f所示的懸臂梁。由 得 A端的撓度為*例6-21簡(jiǎn)支梁受荷載如圖所示，荷載變化規(guī)律未知，梁的彎矩圖如圖b所示，其中為C截面的彎矩，CB段彎矩圖為直線，AC段彎矩圖的面積，其

22、形心坐標(biāo)為a。梁的彎曲剛度為EI。試求C、B兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：把撓曲的近似微分方程改寫成微分形式并在到區(qū)間(該曲間無集中力偶作用，為x的連續(xù)系數(shù))進(jìn)行積分式中為B和C兩截面之間彎矩圖的面積，其右端的負(fù)號(hào)表。 可見，梁上兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，等于該兩截面之間彎矩的面積除以梁的彎曲剛度再冠以負(fù)號(hào)。 以上計(jì)算中并無涉及到AC之間彎矩圖的面積及其坐標(biāo)a，這是命題者有意誤導(dǎo)，有意考察答題者的基本概念。*例6-22 圖a所示兩根懸臂梁，長(zhǎng)度為l，初始間距為，上梁的彎曲剛度為，下梁的彎曲剛度為，在離上梁的固定端處作用一集中力F。當(dāng)F從零開始增加后，開始兩梁只在一點(diǎn)接觸，隨后兩梁在一段區(qū)域內(nèi)接觸。設(shè)將F表示成無量綱形式，試求下列問題(以上d、k、t均為比例系數(shù))： (1)求及，當(dāng)，兩梁只在一點(diǎn)接觸； (2)當(dāng)后兩根將有一段長(zhǎng)度的接觸區(qū)，求出和的關(guān)系； (3)證明接觸區(qū)無分布反力，