材料力學(xué)附錄I截面的幾何性質(zhì) 習(xí)題解

1、 附錄I 截面的幾何性質(zhì) 習(xí)題解習(xí)題I-1 試求圖示各截面的陰影線面積對(duì)軸的靜積。（a）解：（b）解：（c）解：（d）解：習(xí)題I-2 試積分方法求圖示半圓形截面對(duì)軸的靜矩，并確定其形心的坐標(biāo)。解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如圖所示。；微分面積的縱坐標(biāo)：；微分面積對(duì)軸的靜矩為：半圓對(duì)軸的靜矩為：因?yàn)椋?習(xí)題I-3 試確定圖示各圖形的形心位置。（a）解：習(xí)題I-3(a): 求門形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc離頂邊上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.6 4

2、6.4 Ai=Li*BiYc=AiYci/Ai(b)解：習(xí)題I-3(b): 求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左901090055495005450025005750023 13250053Ai=Li*BiYc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai(c)解：習(xí)題I-3(c): 求槽形與L形組合截面的形心位置型鋼號(hào)Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽鋼2032.83710328.37-1.95-64.03等邊角鋼80*1015.1262

3、.3535.5462.3535.54647.963363.927.6 -28.49-0.6 Yc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai習(xí)題I-4 試求圖示四分之一圓形截面對(duì)于軸和軸的慣性矩、和慣性積。解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如圖所示。；微分面積的縱坐標(biāo)：；微分面積對(duì)軸的慣性矩為：四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為：由圓的對(duì)稱性可知，四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為：微分面積對(duì)軸、軸的慣性積為：習(xí)題I-5 圖示直徑為的圓形截面，在其上、下對(duì)稱地切去兩個(gè)高為的弓形，試用積分法求余下陰影部分對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。解：圓的方程為：如圖，作兩條平行軸的、相距為線段，截圓構(gòu)成微分面積，微分面積為：切去之后

4、，剩下部分對(duì)軸的慣性矩為：習(xí)題I-6 試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線的慣性矩。解：正方形四條邊的直線方程如圖所示（設(shè)水平坐標(biāo)軸為，豎坐標(biāo)軸為）。=故正方形對(duì)其的對(duì)角線的慣性矩為：。習(xí)題I-7 試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。 (a)解：(b)習(xí)題I-8 試求圖示三角形截面對(duì)通過頂點(diǎn)A并平行于底邊BC的 軸的慣性矩。解：已知三角形截面對(duì)以BC邊為軸的慣性矩是 ，利用平行軸定理，可求得截面對(duì)形心軸 的慣性矩所以              再次應(yīng)用平行軸定理，得習(xí)題I-9

5、試求圖示 的半圓形截面對(duì)于軸 的慣性矩，其中軸 與半圓形的底邊平行，相距1 m。 解：已知半圓形截面對(duì)其底邊的慣性矩是 ，用平行軸定理得截面對(duì)形心軸 的慣性矩    再用平行軸定理，得截面對(duì)軸 的慣性矩習(xí)題I-10 試求圖示組合截面對(duì)于形心軸的慣性矩。解：由于三圓直徑相等，并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為 的等邊三角形。該等邊三角形的形心就是組合截面的形心，因此下面兩個(gè)圓的圓心，到形心軸 的距離是上面一個(gè)圓的圓心到 軸的距離是。    利用平行軸定理，得組合截面對(duì) 軸的慣性矩如下：習(xí)題I-11 試求圖示各組合截面對(duì)其對(duì)稱

6、軸 的慣性矩。解：（a）22a號(hào)工字鋼對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩是 。利用平行軸定理得組合截面對(duì)軸 的慣性矩（b）等邊角鋼 的截面積是 ，其形心距外邊緣的距離是28.4 mm，求得組合截面對(duì)軸 的慣性矩如下：習(xí)題I-11（b）圖圖形bhIxcaAIx中間矩形1060018000000006000180000000 上矩形2501020833 3052500232583333 下矩形2501020833 3052500232583333 左上L形1795100271.61926143869495 右上L形1795100271.61926143869495 左下L形1795100271.619261438

7、69495 右下L形1795100271.61926143869495 1220644645 習(xí)題I-12 試求習(xí)題I-3a圖所示截面對(duì)其水平形心軸 的慣性矩。關(guān)于形心位置，可利用該題的結(jié)果。解：形心軸 位置及幾何尺寸如圖所示。慣性矩 計(jì)算如下：習(xí)題I-12 試求圖示各截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 習(xí)題I-13(a)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形10001001000006506500000022583333333 5145833333下矩形300600180000300540000001255400000000 8212500000全圖280000119000

8、000425習(xí)題I-13( b)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上圖(3)2515037502751031250148 7031250 89601489 中圖(2)2001503000012537500002 56250000 56328044 下圖(1)10050500025125000102 1041667 52667577 全圖387504906250127 198597110 習(xí)題I-13(c)圖形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形214011502461000 5751415075000 271222708333 15

9、9 333213698275 半圓790-980333 335-328692667 42750202791 399 全圖1480667 1086382333 734 半圓：半圓：習(xí)題I-13(d)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)從下往上220163520828160 374 75093 492438613 1801425202357960 359 41160 324821280 16674107843673957728 0 408242699 408242699 2201430807112189880 329 50307 333432587 44594005722

10、.52893613 341 27034 464367735 239099127341 382 2023302914 習(xí)題I-14 在直徑圓截面中，開了一個(gè)的矩形孔，如圖所示。試求截面對(duì)其水平形心軸和豎直軸形心的慣性矩和。解：先求形心主軸 的位置 截面圖形對(duì)形心軸的靜矩（面積矩）等于零：   （y軸向下為正）  （組合圖形對(duì)過圓心軸x1的慣性矩）               （組合圖形對(duì)形心軸x的慣性矩）習(xí)題I-14b(a)h(

11、a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.00 1-82.667 1.1893 14.0 圓450.27 00201.062 -0.1893 202.9 42.27 -8-0.1893 188.9 習(xí)題I-15 正方形截面中開了一個(gè)直徑為的半圓形孔，如圖所示。試確定截面的形心位置，并計(jì)算對(duì)水平形心軸和豎直形心軸的慣性矩。解：習(xí)題I-15圖形bi hirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形20020040000100 4000000 133333333 2 133546801 半圓50-3927 79 -309365 685977 24

12、 2860346 全圖36073 3690635 102 130686455 形心位置：X（0，102）。對(duì)水平形心軸的慣性矩：。對(duì)豎直形心軸的慣性矩：習(xí)題I-15圖形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圓502454367 全圖130878966 習(xí)題I-16 圖示由兩個(gè)號(hào)槽鋼組成的組合截面，若欲使截面對(duì)兩對(duì)稱軸的慣性矩和相等，則兩槽鋼的間距應(yīng)為多少？解：20a號(hào)槽鋼截面對(duì)其自身的形心軸 、 的慣性矩是 ， ；橫截面積為 ；槽鋼背到其形心軸 的距離是 。    根據(jù)慣性矩定義 和平行軸定理，組合截面對(duì) ， 軸的慣性矩分別是  

13、;            ； 若           即    等式兩邊同除以2，然后代入數(shù)據(jù)，得于是       所以，兩槽鋼相距 習(xí)題I-17 試求圖示截面的慣性積解：設(shè)矩形的寬為b高為h，形心主慣性軸為，則由平行移軸公式得：故，矩形截面對(duì)其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標(biāo)系的慣性積為： 習(xí)題I-17 圖

14、形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重復(fù)加的矩形10102500全圖上圖+下圖-重復(fù)圖=497500習(xí)題I-18 圖示截面由兩個(gè)的等邊角鋼及綴板（圖中虛線）組合而成。試求該截面的最大慣性矩和最小慣性矩。解：從圖中可知，該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過C點(diǎn)作水平線，向右為軸正向；過C點(diǎn)，垂直于軸的直線為軸向上為正。把坐標(biāo)繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后所得到的坐標(biāo)系是截面的的兩條對(duì)稱軸，也就是該截面的形心主慣性軸。主慣性矩，查型鋼表得：12.5號(hào)等邊角鋼的參數(shù)如下： ，角鋼形心主慣性軸與截面形心主慣性軸之間的距離：（注：綴板用虛線畫出，表示其面積可忽略不計(jì)）習(xí)題I-19

15、 試求圖示正方形截面的慣性積和慣性矩，并作出比較。解： （為形心主慣性軸）結(jié)論：1、過正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性積為零；2、過正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)之后，慣性矩、慣性積保持不變。習(xí)題I-20 確定圖示截面的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。（a）解： 截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187 575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146 (b)解：以20號(hào)槽鋼（圖I）的下邊緣為x軸，左邊

16、緣為y軸，建立坐標(biāo)系。8號(hào)槽鋼編號(hào)為圖II。則組合截面的形心計(jì)算如下：習(xí)題I-20(b) 長(zhǎng)度單位:cm圖形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全圖43.149.4492.11.1511.4習(xí)題I-20（b）圖形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全圖43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2 習(xí)題21 試用近似法求習(xí)題I-4所示截面的，并與該題得出的精確值相比較。已矩該截面的半徑。解：圓的方程為：把y軸的半徑10等分，即。過等分點(diǎn)，作x軸的平行線。從下往上，每個(gè)分塊 的中點(diǎn)的y坐標(biāo)與x坐標(biāo)如下表所示。習(xí)題I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67