蘇教版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)[中考沖刺：幾何綜合問(wèn)題--知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理](提高)

1、精品文檔用心整理蘇教版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)中考沖刺：幾何綜合問(wèn)題一知識(shí)講解（提高）【中考展望】幾何綜合題是中考試卷中常見(jiàn)的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要 考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力.這類題型在近幾年全國(guó)各地中考試卷中占有相當(dāng)?shù)姆至?，不僅有選擇題、填空題、幾何推理計(jì)算題以及代數(shù)與幾何的綜合計(jì)算題，還有更注重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的探究性的問(wèn)題、方案設(shè)計(jì)的問(wèn)題等等.主要特點(diǎn)是圖形較復(fù)雜，覆蓋面廣、涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來(lái)解答幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開(kāi)放型、運(yùn)動(dòng)型、

2、情景型等，背景鮮活，具有 實(shí)用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查考生分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能 力.以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：1、證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和、差、倍、分及比例關(guān)系等）；2、證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等）；3、幾何計(jì)算問(wèn)題；4、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題等.【方法點(diǎn)撥】一、幾何計(jì)算型綜合問(wèn)題，常常涉及到以下各部分的知識(shí)：1、與三角形有關(guān)的知識(shí)；2、等腰三角形，等腰梯形的性質(zhì)；3、直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)；4、平行四邊形的性質(zhì)；5、全等三角形，相似三角形的性質(zhì)；6、垂徑定理，切線的性質(zhì)，與

3、正多邊形有關(guān)的計(jì)算；7、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式 .二、幾何論證型綜合題的解答過(guò)程，要注意以下幾個(gè)方面：1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過(guò) 添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形；2、注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)，要由已知聯(lián)想經(jīng) 驗(yàn)，由未知聯(lián)想需要，不斷轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論來(lái)探求思路，找到解決問(wèn)題的突破點(diǎn)；3、要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問(wèn)題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問(wèn)題，還要靈活運(yùn)用 數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等思想來(lái)解決問(wèn)題【典型例題】類型一、動(dòng)態(tài)幾何型問(wèn)題1 . （2016次原校級(jí)自主招生） 如圖1 ,在正方

4、形ABCM,點(diǎn)E、F分別是邊BC AB上的點(diǎn)，且CE=BF 連接DE過(guò)點(diǎn)E作EGL DEL,使EG=DE連接FG, FC.（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（不要求證明）(2)如圖2,若點(diǎn)E、F分別是CB BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變,判斷判斷予以證明;(3)如圖3,若點(diǎn)E F分別是BC AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)出(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.【思路點(diǎn)撥】(1)結(jié)論：FG=CE FG/ CE如圖1中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M,首先證明 CBF DCE推 出DEL CF,再證明四邊形 EGFB平行四邊形即可.(2)結(jié)論仍然成立.如圖

5、2中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M首先證明 CBH DCE推出DE! CF,再證明四邊形EGF比平行四邊形即可.(3)結(jié)論仍然成立.如圖 3中，設(shè)DE與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M證明方法類似. 【答案與解析】解：(1)結(jié)論：FG=CE FG/ CE理由：如圖1中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M. 四邊形ABC虛正方形，BC=CD / ABC=/ DCE=90 ,在4CBF和4DCE中，rBF=CE, ZCBF=ZECD, .CB陣 DCE/ BCF=Z CDE CF=DE / BCF-+Z DCM=90 , / CDE吆 DCM=90 ,/ CMD=90 ,.-.CF DE,. GEL DE,EG/ CF, . E

6、G=DE CF=DE.EG=CF 四邊形EGF%平行四邊形.GF=EC.GF=EC GF/ EC.(2)結(jié)論仍然成立.理由：如圖2中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M 四邊形ABC皿正方形，BC=CD / ABC=/ DCE=90 ,在 CBFA DCE中，BFXE，NCBF=/ECD， lBC=CD .CB障 DCEBCF土 CDE CF=DE / BCF吆 DCM=90 , / CDE吆 DCM=90 ,/ CMD=90 , CF DE, GE! DE, EG/ CF, EG=DE CF=DE EG=CF 四邊形EGFH平行四邊形.GF=ECGF=EC GF/ EC（3）結(jié)論仍然成立.理由：如圖3中，

7、設(shè)DE與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M 四邊形ABC皿正方形，BC=CD / ABC4 DCE=90 , .Z CBF=/ DCE=90在 4CBF 和 4DCE 中，戶fxer V，ncbf=/dce,1bc=dcZk . CB障 DCE ./ BCF=/ CDE CF=DEm- / BCF吆 DCM=90 , / CDE吆 DCM=90 ,/ CMD=90 , CF DE, GE! DE, EG/ CF, EG=DE CF=DE EG=CF 四邊形EGFH平行四邊形.GF=ECGF=EC GF/ EC.【總結(jié)升華】 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和 性

8、質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，注意這類題目的解題規(guī)律，圖形變了，條件不變，證 明的方法思路完全一樣，屬于中考?？碱}型.舉一反三：BN【變式】已知：如圖（1）,射線AM 射線BN , AB是它們的公垂線，點(diǎn) D、C分別在AM、 上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合、點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合），E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) E與A、B不重合）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 DE _L EC ,且AD + DE = AB = a .(1)求證：AADEsbec；(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求證： AD +BC =CD ；(3)設(shè)AE = m ,請(qǐng)?zhí)骄浚篈BEC的周長(zhǎng)是否與 m值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有 m的代數(shù)

9、式表示BEC的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.B C NE C N資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò) 僅供免費(fèi)交流使用【答案】(1)證明：DE _L EC , /DEC =90口.ZAED +ZBEC =90，又. /A = /B=90,/AED+/EDA = 90，/BEC =/EDA .AADE s iBEC .(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn) E作EF BC ,交CD于點(diǎn)F ,A D M _1 ,、 E是AB的中點(diǎn)，容易證明 EF = (AD +BC).21 _ 在 RtADEC 中，DF =CF , EF = CD .21 , _ 1 _AD +BC) =，CD .2 2AD +BC =CD .(3)解： MED 的周長(zhǎng)

10、=AE+AD+DE =a + m, BE = am.設(shè) AD =x,則 DE =a x./A=90 . DE2 = AE2 +AD2.即 a2 -2ax + x2 =m2 + x2 .a -m2a由（1）知 AADEs ABEC,AADE的周長(zhǎng) ADABEC的周長(zhǎng)BE2-m2aa m2a2aABEC的周長(zhǎng)=2a a mAADE的周長(zhǎng)=2a.ABEC的周長(zhǎng)與m值無(wú)關(guān).在 ABC中，/ACB=45o點(diǎn) D (與點(diǎn)B、C不重合)為射線 BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AD,以AD為 邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF(1)如果AB=AC如圖，且點(diǎn) D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試判斷線段 CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明

11、你 的結(jié)論.(2)如果ABAC,如圖，且點(diǎn) D在線段BC上運(yùn)動(dòng).(1)中結(jié)論是否成立，為什么？(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段 CF所在直線相交于點(diǎn) 巳設(shè)AC= 4 J2 , BC = 3 , CD=X ,B求線段CP的長(zhǎng).(用含x的式子表示)圖【思路點(diǎn)撥】(1)由題干可以發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn) 行傳遞，就可以得解.(2)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法，那么思路很簡(jiǎn)單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問(wèn)的條件，然后一樣求解(3)D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長(zhǎng)度

12、就需要分情況去CP.考慮到底是4+X還是4-X.分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出【答案與解析】(1)結(jié)論：CF BD;證明如下： AB=AC , / ACB=45o,/ ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF , / DAF玄 BAC =900/ DAB=/ FAC DAB FAC ,/ ACF=/ ABD/ BCF=/ ACB吆 ACF= 900.即 CF BD.(2) CF BD. (1)中結(jié)論仍成立.理由是：過(guò)點(diǎn) A作AGL AC交BC于點(diǎn)G AC=AG可證： GA國(guó) CAF ，/ACF=/ AGD=45o/ BCF=Z ACB吆 ACF= 900.即 CFL BD(

13、3)過(guò)點(diǎn)A作AQL BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q 點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ BCA=45o 可求出 AQ= CQ=4，DQ=4-x,易證 AQD DCP空=CDCPDQ -AQ2 x點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),BCA=45 ,AQ=CQ=4DQ=4+x過(guò) A 作 AQL BC,Q：出/ Q=Z FQC=90 , / ADQW AFQ則 AQD ACF.CF BD . AQD ADCP CP CD, 二 ,DQ AQ2x，CP = +x .4CP =x4+x 4【總結(jié)升華】 此題綜合性強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用全等、相似、正方形等知識(shí)點(diǎn)，屬能力拔高性的題目.3. (2015?河南模擬)如圖，正方形 AB

14、CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 并延長(zhǎng)，交射線 DC于點(diǎn)F,將4ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B坐在點(diǎn)B處. 自主探究： 一，一 一 ，、 一，(1)當(dāng)=1時(shí)，如圖1 ,延長(zhǎng)AB 交CD于點(diǎn)M .CEAECF的長(zhǎng)為判斷AM與FM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線 AC上時(shí)，如圖2,此時(shí)CF的長(zhǎng)為EE，CE拓展運(yùn)用:(3)當(dāng) 些=2時(shí)，求sin/DAB的值.CE圖1圖2N【思路點(diǎn)撥】(1)利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FC=AB即可得出答案； 利用翻折變換的性質(zhì)得出/ BAF= Z MAF ,進(jìn)而得出AM=FM ;(2)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出/ BAE= / MA

15、F,進(jìn)而得出AM=MF ,利用ABE s fce得出答案即可；(3)根據(jù) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交DC邊于點(diǎn)M,如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng) AD交BE于點(diǎn)N,分別利用勾股定理求出即可.【答案與解析】解：(1)當(dāng)里=1時(shí)，CE AB / FC, .ABE sFCE,. .典例=1 , EC FC FC=AB=6 ,AM=FM ,理由如下： 四邊形ABCD是正方形，AB / DC ,/ BAF= / AFC ,ABE沿直線AE翻折得到AB E,/ BAF= / MAF ,/ MAF= / AFC , AM=FM ;(2)如圖2, 當(dāng)點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線 AC上時(shí)，1

16、 = /2, AB / FC,1 = Z F, ./ 2=Z F,AC=FC , AB=BC=6 , AC=FC=6 7，. AB / FC, .ABE sFCE,EC FC 672 2（3）如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB 交DC邊于點(diǎn). AB / CF,ABE s* FCE,: E=占2,CE CF AB=6 , .CF=3,DF=CD+CF=9 ,由（1）知：AM=FM ,AM=FM=9 -DM,在RtAADM 中，由勾股定理得：DM 2=（9-DM） 2-62,解得：DM=,則 MA= ,22sin Z DAB /=,AM 13 如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng) AD

17、交BE于點(diǎn)N,郅由(1)知：AN=EN ,又 BE=B E=12, .NA=NE=12 - BN,在 RtABN 中，由勾股定理得：BN2= (12- BN) 2-62,解得：BN=J!,2AN若,Eisin / DAB =-5-=. AN 5故答案為：6; 6日，返. 2【總結(jié)升華】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練利 用相關(guān)性質(zhì)和進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵.類型二、幾何計(jì)算型問(wèn)題C上曰A 4.已知如圖，在梯形ABCD中，AD / BC, AD=2, BC = 4,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，zMBC是 等邊三角形.(1)求證：梯形 ABCD是等腰梯形；(2)

18、動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且/ MPQ =60保持不變.設(shè)PC = x, MQ = y, 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)中，當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷 APQC的形狀，并說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)屬于純靜態(tài)問(wèn)題，只要證兩邊的三角形全等就可以了(2)是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的 .題目給定/ MPQ=60 ,其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來(lái).因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系，所以很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系.(3)條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題，由第二問(wèn)所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)x取對(duì)稱軸的值日y有最小值，接下來(lái)就變成了

19、“給定PC=2求 PQC狀”的問(wèn)題了，由已知的 BC=4自然看出P是中點(diǎn)，于是 問(wèn)題輕松求解 .【答案與解析】(1)證明：ZXMBC是等邊三角形MB=MC, / MBC =/MCB =60， M是AD中點(diǎn)AM =MDAD / BC/ AMB =/MBC =60, / DMC =/MCB =603 AAMBADMCAB - DC.梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等邊 zXMBC 中，MB = MC =BC =4,/MBC =/MCB =60，/MPQ=60* / BMP +Z BPM =/ BPM +Z QPC =120/ BMP =Z QPC ABMP szCQP.PC CQ bM 一而P

20、C=x, MQ=y .BP=4x, QC=4 y,x 4-y.=4 4 -xyx2 -x 44(3)解：APQC為直角三角形,12y =4 x-23，當(dāng)y取最小值時(shí)，x = PC =2P是BC的中點(diǎn)，MP _LBC,而/MPQ =601ZCPQ =30 ;/ PQC =90. PQC為直角三角形.【總結(jié)升華】 以上題目是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，這一類問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相 等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解.如果沒(méi)有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的.舉一反三：【幾何綜合問(wèn)題 例3】【變式】已知：如圖，M M是以。為圓心，1為半徑的圓上的兩點(diǎn)，

21、B是MN上一動(dòng)點(diǎn)(B不與點(diǎn)MN 重合)，/ MON=90 , BL OM于點(diǎn) A, Bd ON于點(diǎn) C,點(diǎn) D E、F、G 分別是線段 OA AR BC CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P, DE與AG相交于點(diǎn)Q(1)四邊形EPGQ(填“是”(2)若四邊形EPG德矩形，求 OA的彳1 .NlX A-V :金0DAMO圖1 【答案】或者“不是”)平行四邊形;M備用圖(1)是.證明：連接OB如圖,3CD 圖(2)解：如圖,0 D A X 圖 口 EPGQ矩形. / AED吆 CEB=90 .又. / DAE=/ EBC=90 , / AED4 BCE.AE3 BCEAD AE BE BC 設(shè) OA=

22、x AB=y,則:=:x2 2 2得 y2=2x2, 又 OA+ABOB, 即 x2+y2=12.x2+2x2=1,、3解得：x=.3.a即當(dāng)四邊形EPGQ1矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)度為、3.3C5.在|_ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE!CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF(如圖1)(1)在圖1中畫(huà)圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)(Pi不與C重合)時(shí)，連結(jié)EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC.判斷直線FCi與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EB,將線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC2.判斷直線CQ與直線CD的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出

23、你的結(jié)論.(2)若AD=6,tanB= 4,AE=1,在的條件下，設(shè) CP=x , sLp1FC1 = y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式， 3并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.圖1備用圖【思路點(diǎn)撥】（1）本題在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90。的條件.旋轉(zhuǎn)90。自然就是垂直關(guān)系，于是出現(xiàn)了一系列直角三角形，于是證角、證線就手到擒來(lái)了（2）是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是不要忘記分類討論【答案與解析】（1）直線FG1與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.證明：如圖1,設(shè)直線FGi與直線CD的交點(diǎn)為H .二線段EC、EP1分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。依次得到線段 EF、EG1，PEG1 =/CEF =90, EG1 = EP1,

24、 EF = EC .一/GEF =90-/REF , /REC =90-2REF ,/GEF =/REC . AG1EF 9A REC ./G1FE =2RCE .EC，CD , /RCE =90,/G1FE =90 ./EFH =90 ./FHC =90 .按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖 1,直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.（2） 四邊形 ABCD是平行四邊形，/B=/ADC .4AD =6, AE =1,tan B = 1 , 4DE =5,tan/EBC = tanB =-.可得CE =4.由（1）可得四邊形 EFCH為正方形.CH =CE =4.如圖2,當(dāng)P1點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)，圖2.FG1 =CR =x, PH =x4 ,1 .=FG1 PH2x(x - 4)212y =3 x -2x(x 4).如圖3,當(dāng)P1點(diǎn)在線段CH上（不與C、H兩點(diǎn)重合）時(shí),FG1 =CR =x, PH =x4 ,1 -= 2FG1 例x(4 - x)一 21 2y = -x +2x(0 x4)或1 2y = -x +2x(0 x4).【總結(jié)升華】 本題著重考查了二次函數(shù)的解析式、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況