(完整版)2019汕頭一模理科數(shù)學(xué)(教師版)

1、2019年汕頭市普通高考第一次模擬考試試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12小題，每小題 要求的.5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目1.已知集合 A x |log 2 x 0, Bx|xw 2，貝U AI BA. x| x< 2B. x |0x< 2D.x|1 x< 21.答案：D解析：A x | log 2 x 0 log 21x|x 1, B x|x< 2, AIx|1x< 2.2.已知a R, i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)a 2iz 1 iA. 02.答案：AB.C.2D.解析:a 2i1 ia 2i一 a2 4 2, a2 44, a 0.3

2、.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P82749m127則X的數(shù)學(xué)期望E(X)2A.一33 .答案:B.D. 2解析：由B8 427 94 .已知向量27 r (3,1),br(1,3), c(k, 2),若E(X)0 A27 rr/ b ,則向重arb與向量1.27r的夾角為(A.一64.答案:B.一4解析:(3k,3),因?yàn)?3 k)3 3 1,解得k 2,當(dāng)k 2時(shí),r(4,4), b(2, 2),r- r , b與向重c的夾角為一.25. 一動(dòng)圓的圓心在拋物線8x上，且動(dòng)圓恒與直線 x2 0相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)(A. (4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,0)5

3、.答案：B解析：由拋物線的定義可知該圓必過拋物線的焦點(diǎn)(2,0).41520256.將函數(shù)6f (x) sin 2x 4的圖象向右平移一個(gè)單位長度，得到函數(shù)3y g(x)的圖象，則g(x)在8上的最小值為(3,8 8A.1B.J.2C.D. 06.答案：A解析：g(x)sinsin5 一.2x，因?yàn)閤122x 512，當(dāng)2x512時(shí)，g (x)min247.將含有甲、乙、丙的 6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng),宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為(A.亙20B.240C.220其中一組指揮交通，一組分發(fā))d. 407.答案：C解析：6人平均分成兩組參加“文

4、明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料的基本事件共有C320個(gè)，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件有:3c39個(gè)，所以所求概率為9208.在正方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)。是四邊形 ABCD的中心，關(guān)于直線 A1O ,下列說法正確的是A. AOD1cB. AO BCC. AO/平面 B1CD1D. AO 平面 AB1D18 .答案：C 解析：選項(xiàng) A,連接AB ,則A1B D1C ,因?yàn)锳B與A。相交，所以A錯(cuò);選項(xiàng)B,取AB中點(diǎn)E ,連接AE,OE ,則OE BC ,在AEO中，AEO 90 ,所以AO與OE不垂直，所以 AO與BC不垂直，B錯(cuò);

5、選項(xiàng)C,設(shè)AC1 I B1D1 O1,連接CO1 ,則COEAO1，所以四邊形 AO1co是平行四邊形,所以A1O/ CO1 ,又因?yàn)锳1O平面B1cD1 , CO1 平面B1CD1,所以AO/平面B1cD1, C正確;A1c 平面AB1D1 ,所以A1O與平面AB1D1不垂直，D錯(cuò).選項(xiàng)D,連接AC ,易證得,9 .若函數(shù)f(x) ex(cosx a)在區(qū)間- 上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（2 2A.（忘，）B. （1,）9.答案：CC. V2,)D. 1,)解析：由題意，xa n cosx sin xJ2cos x 一恒成立，當(dāng)x4g3一，一時(shí)，x 一一,2 244 4cos x 一

6、 42 一一 一,1 , J5cos x ( 1,72,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是J2,).2422x y 一10.過雙曲線f f 1(aa2b20, b 0）的右焦點(diǎn)且垂直于 x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于-3C,D兩點(diǎn)，若 AB > - CD ,則雙曲線離心率的取值范圍為（5A.1,B.,3410.答案：BC.D.1,5解析：漸近線方程為 ybbcbcx,將 x c 代入，得 C c, 一 , D c, 一 aaaCD2bca一,一，f (x) ex( sin x cosx a)w 0恒成立，即 2 2AB為雙曲線的通徑,.22AB一，因?yàn)?ab| > 3|

7、cd| ,所以 2 >c ,即 b > 3c ,a5a 5 a5則 b2> -9c225、92 口口 16 2、2 口加 2、25 口加 、5> c ,即c > a ，則 e > ,則 e ) .252516411.三棱錐PABC 中,PA 平面ABC, ABC 30 , APC的面積為2,則三棱錐ABC的外接球體積的最小值為(32A.311.答案：A)4B.3C. 64D.解析：因?yàn)镻A 平面ABC ,所以是圓柱模型，設(shè) AC m, PA h ,1hm 22,設(shè) ABC外接圓半徑為r, P ABC的外接球半徑為 R ,則 m-sin302r, r所以R2

8、r22> rh 4,即R的最小值為2,所以外接球的體積的最小值為32312.定義在 1,上的函數(shù)f(x),滿足f (x) f ,且當(dāng) x1一,1時(shí),f(x)lng(x) f(x)1，一ax在-,上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(A. JC.1 lnD. ln,012.答案：D解析：當(dāng)x 1,時(shí),11, ,1,1 ,此時(shí) f (x) f -ln1 xln x ,所以 f (x)1nx, x - ,1畫出函數(shù)f(x)的圖象,1 因?yàn)楹瘮?shù)g(x) f (x) ax在一,圖象有交點(diǎn)，由圖，當(dāng)直線 y ax過點(diǎn) ,ln 時(shí)，aInx, x 1,上有零點(diǎn)，所以y f(x)的圖象與y ax的ln ,由圖

9、象可得，實(shí)數(shù) a的取值范圍是ln ,02ABC,其中 A(4,2), B(1, 1),C(5, 1),X azc aB z 1 ZA1zcrC、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.y > 113 .設(shè)x, y滿足約束條件x y > 2 ，則z 4x y的最大值為 3x y 0 1414 .答案：19解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的1211分cos215 .已知tan2416 .答案：25cos2 sin 2sin2一2sin - cos442sin一 cos 一4442cossin242425215 .在(1 ax x)5的展開式中,

10、x3的系數(shù)為30,則實(shí)數(shù)a的值為17 .答案：1解析：展開式中含x3的項(xiàng)為C；1232、03 3 /1/3(ax) (x )C5C21(ax)1 (x2)1 ( 10a3 20a)x3,所以 10a3 20a330, a 2a-2_3 0 , (a a 3)(a16.在銳角三角形ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, a 1,且 (bc 2)cos A accos B 1 b tan,則 AABC面積的最大值為解析：由（bc222)cos A accos B 1 b ,得 c(bcosA a cos B) b 1 2cos A ,所以c2 b222c b1 2cos A ,故 co

11、sA 2221c b a-,又由余弦te理，cos A , a2bc故 bc 1 ,又 cos Ac2 b2 1 2bc 11、,3 ,>,所以 sin A w J ,故 S.'ABC1,一 bcsin A02僅當(dāng)b c 1即AABC為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，所以 4ABC面積的最大值為三、解答題：共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共 60分.17.（本小題滿分12分）1721題為必考題，每個(gè)試題考已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn nan2an（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;一 ，1（2）

12、若數(shù)列一2an的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn17.解析：（1）當(dāng)n 1 時(shí)，2S1 a1 2al即a11,當(dāng)n2時(shí)，2Snnan 2an 12Sm(n1)an1 2an1 1，得2annan (n 1注 1 2annan(n 1)an 1,所以烏_ ,且曳 1n 1 n 22,所以數(shù)列一a-(1)得 an1,所以 an所以Tn22324424(n 1)2n(n 1)（沒寫也不扣分）10分n 112分18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，PA 菱形ABCD所在的平面， ABC 60 , E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的點(diǎn).(1)(2)為15求證：平面AEF 平面 PAD ;若M是PD的中點(diǎn)

13、，當(dāng)AB AP時(shí)，是否存在點(diǎn)F ,使直線EM與平面AEF的所成角的正弦值?若存在，請(qǐng)求出PF 匚二的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.PC18.解析：(1)連接Q E是BC的中點(diǎn)，AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形， ABC 60 ,所以4ABC是正三角形,AEBC,又 ADBC, AEQ PA平面ABCD,AE平面 ABCD , PA AE ,又PAIAD A, AE 平面 PAD,又AE平面AEF ,所以平面 AEF 平面PAD .A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB AP 2,則AE J3 ,則 A(0,0,0), C(石1,0), D(0,2,0), P(0,0, 2), E(后0,0

14、), M (0,1,1),UUrLUr _LUlrUUU設(shè) PFPC(V3,1, 2),則 AFAPuuir PF(0,0, 2)(73,1, 2) (73 , ,2 2 ),uuu 又 AE(百,0,0),(x, y,z)是平面AEF的一個(gè)法向量，則r n r nuurAE 、, 3xUULrAF 3 xy (2 2 )z 0 'uuuu設(shè)直線EM與平面AEF所成角為，由EM ( J3,1,1),得:,ULLU rsincos(EM,n化簡彳導(dǎo):10 2 13uuuu r EM n uuuu-r- EM n3 25(22)22.八一1八440 ,斛付一或一，25所產(chǎn)的“南12分澳牡蠣

15、”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).根據(jù)養(yǎng)殖 規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布 N(32,16).（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買到質(zhì)量小于 20g的牡蠣的可能性有多大？（2） 2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x （人）與年U益增量 y （萬元）的數(shù)據(jù)如下：模型：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：? 4.1x 11.8；模型：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布,可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線:y bVx a的附近，對(duì)人工投入增量 x_7做變換，令 tJx ,則 y b

16、t a,且有 t 2.5, y 38.9, (ti T)( yiy)i 172-81.0,(tit )3.8 .i 1人工投入增量x （萬人）人工投入增量x （人）234681013年收益增量y （萬兀）13223142505658該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型:(i)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型中y關(guān)于x的回歸方程(精確到 0.1)；(ii)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè) 人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量.回歸模型模型模型回歸方程? 4.1x 11.8y bVx a7(yi?)2i 1182

17、.479.2附：若隨機(jī)變量 Z-N( , 2),則 P( 3 Z 3 ) 0.9974, 0.998710 0.9871;n(ti f)(yi y)樣本(ti，yj (i=1,2, ,n)的最小二乘估計(jì)公式為：I?,? y 府，(ti D2i 1n(yi y?)2另，刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2 1-(x y)2i 119.解析：(1)由已知，單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量 N(32,16),則 32,4,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，1P( 20) -1 P(20144) 21 P( 313 ) -(1 0.9974) 0.0013,3 分設(shè)購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于 20g的牡蠣為X只，故

18、XB(10,0,0013),4分 故 P(X>1) 1 P(X 0) 1 (1 0.0013)10 1 0.9871 0.0129,所以這10只“南澳牡蠣”中，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%. 5分77(i)由 f 2.5, y 38.9, (ti t)(yi y) 81.0, (ti F)2 3.8,有 i 1i 17(ti )(x y) i?2 (ti t)i 1且占 y bX 38.9 21.3 2.514.4, 7分所以，模型中y關(guān)于x的回歸方程為 ？ 213& 14.4 8分81.03.821.3,(ii)由表格中的數(shù)據(jù)，有 182.4 79.2,即7

19、 1824一(yi y)2i 179.27(yi y)2i 1模型的R2小于模型，說明回歸模型刻畫的擬合效果更好. 10分當(dāng)x 16時(shí)，模型的收益增量的預(yù)測(cè)值為? 21.3 而 14.4 21.3 4 14.4 70.8 (萬元)， 11分這個(gè)結(jié)果比模型的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠. 12分20.(本小題滿分12分)x2 y21已知橢圓C : -22r 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F2 ,離心率為一，點(diǎn)A在橢圓C上，AF12 ,ab2F1AF260 ,過F2與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若P,Q的中點(diǎn)為N ,在線段OF2上是否存在點(diǎn)M (m

20、,0)，使得MN PQ ?若存在，請(qǐng)求出 m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.,、， c 120. (1)由 e ，得 a 2c , 1分a 2AF12, AF2 2a 2, 2分一22在AF1F2 中，由余弦定理得：AF1AF22 AF1 AF2 cos A F1F2代入化簡得a2 4a 4 0 , 3分解得 a 2,從而 c 1 , b2 a2 c2 3, 4 分22所以橢圓C的方程為匕 1. 5分43(2)存在這樣的點(diǎn) M符合題意.設(shè)P(x11y1),Q(x21y2), N(x0,y0),由F2(1,0),設(shè)直線PQ的方程為y k(x 1), k 0, 6分22上匕1 由 43 ，得(4

21、k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0, 7分y k(x 1)2 222_2(8k )4(4k 3)(4 k 12) 144( k1) 0,8分 2,8kx. x2由x1 x2 ；，得x0 -24k2 32上4k2 34k24k2 39分4 k2 3又點(diǎn)N在直線PQ上，所以V。k(xo 1)匕23所“丑系若有MNPQ ,則 kM3k4k2 34k24k2 310分整理得mk24k2 34 k211分12分所以存在實(shí)數(shù) m,且m的取值范圍為(1)討論f (x)的單調(diào)性;0) .0,- -(2)若f(x)存在3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.解析：(1) f (x) ax aex (x 2)

22、ex (x 1)(ex a)因?yàn)閍 。，由f (x)。，得x11 或 x2In a .當(dāng)0 a e時(shí),在(,ln a)和(1,)上,f (x)0, f (x)單調(diào)遞增;在(In a,1)上，f (x)0, f(x)單調(diào)遞減,(ii)當(dāng) a e時(shí)，1 In a ,在()上，f (x) > 0, f(x)單調(diào)遞增,(iii)當(dāng) a e 時(shí)，In a 1,在(，1)和(In a,)上，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增;在(1,lna)上，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減， 5分12x1 x22所以f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x 2. 6分 f (x) ax ax (x 2)e (x 2) x e

23、,1 V要使得f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即萬程 一ax ex 0(x 2)有2個(gè)實(shí)數(shù)根， 21 x2ex2ex 又萬程一ax ex 0 (x 2) a (x 2,0),令 h(x)(x 2,0) , 7分2 xx即函數(shù)y a與y h(x)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令 h (x)2xex 2ex2x2ex(x 1)2x(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所作的第一題計(jì)分.22 .【選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(本小題滿分10分)h(x)的單調(diào)性如表:x(,0)(0,1)1(1,2)(2,)h (x)一一0十十h(x)極小值當(dāng)x 0時(shí)，h(x) 0,又h(2) e, h(

24、x)的大致圖像如圖， 11分所以，要使得f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2e,e2)U(e2,) 12分4. 一 x2cos在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)萬程為( 為參數(shù)，a 0).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),y a 2sinx軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為sin 242 .4(1)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn) P到直線l的距離的最大值為 2屈 2 ,求a的值； 若曲線C上任意一點(diǎn)(x, y)都滿足y >|x 2,求a的取值范圍.22 .解析：(1)依題意得曲線 C的普通方程為x2 (y a)2 4, 1分因?yàn)?sin -2 J2,所以 sin cos 4,因?yàn)?x cos , y sin ,4因?yàn)橹本€l的直角坐標(biāo)方程為 y x 4,即x y 4 0, 2分、a 4所以圓心C(0, a)到直線l的距離為J,2貝U依題意得 'l 22/22 , 4分-2因?yàn)閍 0 ,解得a 8. 5分(2)因?yàn)榍€C上任意一點(diǎn)