課題：輔助線是怎樣想出來的

1、課題：輔助線是怎樣想TTA standaidization office TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C課題：輔助線是怎樣想出來的 ？一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能：通過探索輔助線的建構(gòu)過程，掌握一般輔助線的做法；數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷利用基本圖形探索輔助線的做法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、推理意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的形象思維和邏輯推理能力；解決問題：通過分解或構(gòu)造基本圖形，使學(xué)生掌握輔助線的做法，進(jìn)而解決幾何中的 有關(guān)證明問題；情感態(tài)度：在探索輔助線的過程中，獲得成功的體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)幾何的自信心。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：熟練的掌握基本圖形的性質(zhì)；難點(diǎn)：構(gòu)造條件或結(jié)論所在的基本圖形。三、教法、學(xué)法教法：教師著眼

2、于“引' 激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，自主歸納，幫助 學(xué)生提煉問題解決的策略模式。學(xué)法：學(xué)生著眼于“探: 讓學(xué)生在經(jīng)歷“觀察、操作-猜想、探索-歸納、提升”的過 程中掌握運(yùn)用策略解決問題意識(shí)。四、教學(xué)過程(-) 設(shè)疑導(dǎo)入師：對(duì)于輔助線我們并不陌生，在幾何證明或計(jì)算中經(jīng)常的用到，可有些同學(xué)經(jīng)常產(chǎn) 生這樣的疑問，“老師，你怎么就能想到連那幾條輔助線，而我為什么想不到呢？同 學(xué)們，你們也有這樣的困惑嗎？師：那么，到底輔助線是怎樣想出來的呢？今天我就幫助大家來解決這個(gè)問題。設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生切身存在的實(shí)際問題，提出疑問，確定活動(dòng)的主題，激發(fā)學(xué)生的 思考欲望（-）鞏固鋪墊 師：學(xué)習(xí)幾何最

3、重要的是了解和掌握一些基本圖形以及它們的性質(zhì)，從基本圖形入手 進(jìn)行解題。教師指導(dǎo)學(xué)生從邊、角等方面歸納圖形的基本性質(zhì)。）問題一：在ABC中，NA=30° （或45°） , ZC=90°,圖中存在著那些結(jié)論（圖1）（圖2）結(jié)論：BC:AC:AB=1：VI ：2 BC:AC:AB=1: 1：72設(shè)計(jì)意圖：從基本圖形入手，明確基本圖形的性質(zhì)，為后面構(gòu)造輔助線做好鋪墊。（三） 拓展延伸1、（分解或）構(gòu)造條件所在的基本圖形例 1 ：如圖在四邊形 ABCD 中，AD=2, BC=1, 4 A=60°,乙C=120。，ZB=ZD=90°,求線段AB和CD的長(zhǎng)

4、。師：根據(jù)數(shù)學(xué)題的解題方法或規(guī)律，我們必須把未知的結(jié)論劃歸到已知的條件上，用 已經(jīng)學(xué)習(xí)過的性質(zhì)或定理來解題。這道題是求四邊形的問題，我們常常要把它轉(zhuǎn)化為 三角形來解決，同學(xué)們想應(yīng)該怎樣連接輔助線呢？生：連接AC或者連接BD。師：好，那么根據(jù)給定的已知條件，能否把問題解決呢？（同學(xué)們思考，不得而知）師：當(dāng)我們連接AC或BD時(shí)，結(jié)合題中的已知條想一想，出現(xiàn)了什么情況生：題中的已知條件被破壞了。師：我們從已知條件出發(fā)解題，而現(xiàn)在已知條件被破壞，很顯然這種連接輔助線的方 法解決不了此題了，那么該怎么辦呢？（學(xué)生思考） 師：根據(jù)剛才我們復(fù)習(xí)的基本圖形，結(jié)合題中給出的已知條件，如何構(gòu)造出這個(gè)基本 圖形呢？

5、（學(xué)生恍然大悟，紛紛舉手回答，構(gòu)造出很多種30。所對(duì)應(yīng)的基本圖形。）AF尹生的表情B結(jié)合30。角所在的畫角三角形這一基笨囹形，構(gòu)造出了條海魁的基本回物下面同學(xué)們可以 選擇其中的任何一種輔助線的連法解決此題，求出結(jié)果。（學(xué)生獨(dú)立完成）2、（分解或）構(gòu)造結(jié)論所在的基本圖形至目前例2：已知如圖，四邊形ABCD, ADBC,以AD和AC為一組鄰邊做平行四邊形ACED,連接EB交DC的延長(zhǎng)線于Fo求證：EF=FB 分析: 師：這是一個(gè)證明兩條線段相等的題目，同學(xué)們思考一下, 為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些證明兩條線段相等的基本圖形呢？ 生1 :三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等。生2：等角對(duì)等邊，等腰梯形的兩腰相等，對(duì)角

6、線也相等 生3 ：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分。生4：如果這樣，那還有矩形、菱形，正方形呢/ 師：對(duì)，你補(bǔ)充的非常的好，那么除了這些，我們學(xué)過的還有哪些證明兩條段相等的 基本圖形呢？導(dǎo)生邕花入在區(qū)E生5 ：還有平行線等分線段定王工,“小拉的基去瀛呢。（教師充分肯定同學(xué)的回答， 并在黑板上畫出相對(duì)應(yīng)的一些基本圖形）師：老師再給你們介紹一種新的證明兩條線段相等的方法，叫“助面法' 就是利用面 積相等來證明兩條線段相等。（畫出圖形，并解釋此種方法）師：回過頭來，我們?cè)倏催@道題，題中要證明的是EF和FC這兩條線段相等，從直觀 上看，它們所在的兩個(gè)三角形根本不可能全等，而且他們也不是前面

7、所列的基本圖形 的哪兩條線段，那么我們能否添加一些輔助線，把要證明的這兩條線段放到所構(gòu)造的 基本圖形中呢？生：（高舉手）我知道，連接EA或者延長(zhǎng)EC。師：很好，如果對(duì)應(yīng)這個(gè)基本圖形，還可以怎樣做輔助線呢？生：延長(zhǎng)ED交BA的延長(zhǎng)線于M（教師根據(jù)學(xué)生的描述畫出相應(yīng)的輔助線，并指導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單的說明）師:我們剛才是對(duì)應(yīng)著平行線等分線段定理推論（一）中的一個(gè)基本圖形添加了這樣的 幾條輔助線，構(gòu)造了結(jié)論所在的基本圖形，那么我們對(duì)應(yīng)著推論（二）這個(gè)基本圖 形，又該如何添加輔助線呢？生：（學(xué)生略加思考）過E做BA的平行線交AD的延長(zhǎng)線于G就構(gòu)造了你說的那個(gè) 基本圖形了。（圖 11）（圖（圖 13）（圖 14）

8、師：你想的很好，通過剛才的幾種輔助線的連接同學(xué)們是否找到了什么技巧呢（停一 停）我們?cè)谝酝C明兩條線段相等時(shí)，最常用的就是利用三角形全等，現(xiàn)在我們就從 這里入手再來看一看輔助線怎么想出來的，好不好！生：（齊聲）好！師：剛才我們已經(jīng)了解到了，雖然這兩條線段分別在兩個(gè)三角形之中，但這兩個(gè)三角 形根本不可能全等，因此我們必須想辦法把這兩條線段放到兩個(gè)可以全等的三角形之 中,這就需要構(gòu)造全等形了。你們知道怎樣構(gòu)造全等形嗎？生：我似乎知道，可就是不知道怎么說??！師：其實(shí)我們現(xiàn)在確實(shí)有這種情況存在，之所以這樣心里明白，而說不出來，最主要 的原因是我們平時(shí)在做題時(shí)不善于總結(jié)歸納。構(gòu)造全等形不是隨意的，它需要

9、先把要 證明的兩條相等的線段其中的一條所在的一個(gè)三角形固定，然后對(duì)應(yīng)結(jié)論中的另一條 線段添加輔助線構(gòu)造出與之相對(duì)應(yīng)的三角形，再結(jié)合題中的已知條件，找到全等的條 件，進(jìn)而解決問題?，F(xiàn)在小組討論，看一看有多少種構(gòu)造全等形的做輔助線的方法。（學(xué)生小組合作，積極探討不同的連接方法）師：剛才同學(xué)們討論的很熱烈啊，相信你們肯定找到了很多中辦法，現(xiàn)在小組派代表 說說你們是怎樣連接的輔助線的。（學(xué)生展示自己的連接方法，教師做出相應(yīng)的圖形，讓其他同學(xué)直觀的認(rèn)識(shí)不同的連（學(xué)生充分感受到了成功的喜悅，此時(shí)教師接著再提出問題）師：記得剛才我曾經(jīng)給大家介紹了一種新的證明兩條線段相等的方法，同學(xué)們還記得 嗎？生：（紛紛的

10、說）助面法。師：很顯然EF和FC這兩條線段所在的圖形正好符合助面法的基本圖形，哪位同學(xué)能 用這種方法證明呢？（在利用全等證明的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易得出結(jié)論，學(xué)生口述證明過程）師：其實(shí)在我們?cè)谶B這些輔助線時(shí)，是從要證明的結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造出了結(jié)論所在的基 本圖形，進(jìn)而達(dá)到解題的目的。由于時(shí)間的關(guān)系，我們還可以構(gòu)造出平行四邊形來證 明結(jié)論的成立。課后請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明過程。四、小結(jié)師：剛才集中同學(xué)們的智慧，我們共同探討出了這么多種證明結(jié)論的方法，做了這么 多的輔助線，相信大家對(duì)做輔助線有了更深的了解了。那么，輔助線到底是怎么想出 來的呢？（給學(xué)生思考的空間，讓他們?cè)谏鲜隼}的學(xué)習(xí)中找到做輔助線的一些感

11、 覺，教師再歸納總結(jié)）。同學(xué)們，我們?cè)趲缀螌W(xué)習(xí)中，對(duì)于一些問題的解決經(jīng)常用到 基本圖形的性質(zhì)，但往往題目中缺少該基本圖形的某一部分，這時(shí)我們就要添加輔助 線，構(gòu)造出這個(gè)基本圖形，也就是“添線補(bǔ)圖”，然后利用它的性質(zhì)構(gòu)建條件和結(jié)論之 間的關(guān)系，以達(dá)到解題的目的。輔助線到底是怎樣想出來的呢？用一句話就可以概 括：對(duì)照基本圖形，缺什么補(bǔ)什么。五、布置作業(yè)請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合自己的實(shí)際，寫一篇數(shù)學(xué)曰記。六、課后反思“輔助線”顧名思義，是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要的工具。那么如何準(zhǔn)確的 添加輔助線就是學(xué)好平面幾何的一個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。因?yàn)橹挥徐`活、準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)奶砑?輔助線，才能更好的完成幾何中

12、的一些證明和計(jì)算。新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雖然淡化了幾 何的證明，但不是取消了幾何證明。培養(yǎng)學(xué)生的“推理能力”是新課標(biāo)“十大核心概念”之 一，因此幾何中的證明是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維重要的途徑，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足 輕重的地位。然而在實(shí)際教學(xué)中教師，往往教師很難準(zhǔn)確的把握教學(xué)要求，致使在初 中八年級(jí)三角形全等的學(xué)習(xí)后，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)明顯出現(xiàn)了兩極分化現(xiàn)象，。其原因就 是在這一階段要求學(xué)生能夠用符號(hào)表示推理，而教師受課標(biāo)淡化證明的影響缺少必要 的講解和訓(xùn)練。也由于受傳統(tǒng)教學(xué)的影響教師人為的增大難度。同時(shí)，根據(jù)近幾年中 考試卷分析，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在試卷中存在著很大的一個(gè)問題就是涉及到幾何證推理證明 的問題時(shí)，出現(xiàn)

13、的錯(cuò)誤較多，關(guān)于證明的思路、格式、步驟和技巧都存在著很大的問 題，特別是涉及到添加輔助線解決問題的問題更大，在我們平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于如 何添加輔助線解題的確存在著很大的困難，這是我確定本節(jié)內(nèi)容的原因之一。另一個(gè) 原因是，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)比較鮮明，在整個(gè)知識(shí)體系中可以把知識(shí)劃分為很多類別， 比如：概念類、方程類、函數(shù)類、圖形性質(zhì)類、圖形的判定類、圖形變換類等等。同 一類知識(shí)必然存在同一屬性，同一屬性的問題往往存在著相同的解決問題的方法和策 略，我們可以根據(jù)知識(shí)體例、課標(biāo)的要求，學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律等建構(gòu)各知識(shí)和方法之間 的聯(lián)系，形成解決一類問題的策略。這一策略就是我們?cè)诖蛟旄咝дn堂研究提煉得出 的“一

14、講三化策略教學(xué)模式，這一模式的核心即“策略教學(xué)"，數(shù)學(xué)教學(xué)如何教會(huì)學(xué)生會(huì) 學(xué)數(shù)學(xué)。因此本節(jié)課我要重點(diǎn)體現(xiàn)“策略這一主題。本節(jié)課將幫助學(xué)生提煉如何在幾 何證明或計(jì)算時(shí)連接輔助線。即：構(gòu)造條件所在的基本圖形和構(gòu)造結(jié)論所在的基本圖 形的輔助線的做法?；谶@樣的設(shè)計(jì)也是更好的落實(shí)本次活動(dòng)的目標(biāo)和任務(wù)“以學(xué)科課 堂教學(xué)遇到的困惑和問題為切入點(diǎn)，研究和探討有效課堂教學(xué)策略”同時(shí)，在備課的過 程中又要很好的對(duì)照2011版課程標(biāo)準(zhǔn)的變化之處，突出新課標(biāo)的基本理念等等。回歸課堂，為了更好的幫助學(xué)生理解和掌握做輔助線這一工具性的知識(shí)，我遵循 著課標(biāo)的原則，以學(xué)生為主體，用設(shè)問的形式創(chuàng)設(shè)問題情境，從學(xué)生耳

15、熟能詳?shù)幕?圖形出發(fā)，設(shè)計(jì)一系列的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、探究、交流、發(fā)現(xiàn)等，使 學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的形成過程，真正把學(xué)生放在主體位置。另外、學(xué)生通過初中三年的 平面幾何學(xué)習(xí)，熟練的掌握了一些基本圖形的特征以及他們的性質(zhì)，這為探索如何添 加輔助線做好了知識(shí)上的準(zhǔn)備,這也為學(xué)生積極參與本節(jié)課的操作、探究成為可能。 在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，盡量為學(xué)生提供思考的空間，不放過任何一個(gè)發(fā)展學(xué)生智力的契 機(jī)，讓學(xué)生在做的過程中，借助已有的知識(shí)和方法主動(dòng)探索新知識(shí)，擴(kuò)大認(rèn)知結(jié)構(gòu)， 從而使課堂教學(xué)真正落到學(xué)生的發(fā)展上。本即可的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為 主體，以知識(shí)為載體、以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。以探究任務(wù)引導(dǎo)學(xué) 生自學(xué)自悟的方式提供了學(xué)生自主合作探究的舞臺(tái)，營(yíng)造了思維馳騁的空間，在經(jīng)歷 知識(shí)的發(fā)展過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的分類、探究、合作、歸納的能力。新課標(biāo)理念下提出培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，在創(chuàng)新教育成為現(xiàn)代教育的主要目標(biāo)之 一的今天，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力，是數(shù)學(xué)教 學(xué)的一項(xiàng)重要的任務(wù)。本節(jié)課力爭(zhēng)在數(shù)學(xué)題解的過程中，突出一題多解，通過一題多 解來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。因?yàn)?/p>