2018海淀區(qū)高三理科數(shù)學(xué)二模試題及答案

1、海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)2018.5(1)(2)第一部分(選擇題共40分)、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項.已知全集U=1,2,3, 4,5,6,集合A=1,2,4,B=1,3,5,則(euA)I B =(A) 1 (B) 3,5 (C) 1 ,6 (D) 1,3,5,6(3)(A) (C) 已知Z+1是實數(shù)(Z+i是實數(shù)(x >y >0,則B)D)Z+1是純虛數(shù) z+i是純虛數(shù)(4)(A)(C),x 1(2)(2)cosx:>cosy (D) ln(x+1)>ln(y+1)22右直線*+丫+2=。是圓乂

2、+y 2y = 0的一條對稱軸，則 a的值為(A) 1 (B) -1 (C) 2(D) -22(5)設(shè)曲線C是雙曲線，則“C的方程為x2-¥- = 1”是“C的漸近線方程為y = ±2x4(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(6)關(guān)于函數(shù)f (x) = sinx - xcosx,下列說法錯誤的是(A)f (x )是奇函數(shù)(B)0不是f(x)的極值點(C)f (x 肝(-,-) 上有且僅有3個零點2 2(D)f(x )的值域是R已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是(A)求首項為1,公比為2的等比數(shù)列的前2017項

3、的和(B)求首項為1,公比為2的等比數(shù)列的前2018項的和已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(1,-1),則(C)求首項為1,公比為4的等比數(shù)列的前1009項的和(D)求首項為1,公比為4的等比數(shù)列的前1010項的和 一 _ 一 _ * . . . . . 已知集合M=x乏N 11MxM15,集合A,AA滿足每個集合都恰有5個元素y DaUaUa=m.集合A中元素的最大值與最小值之和稱為集合A的特征O b cx數(shù)，記為X (i =1,2,3 ),則X1 +X2 + X3的值不可能為().(A) 37 (B) 39 (C) 48 (D) 57第二部分(非選擇題共110分)、填空題共6小題，每小題 5

4、分，共30分。(9)極坐標(biāo)系中，點(2,三)到直線Pcos9=1的距離為 .2(10)在(x十2)5的二項展開式中，x3的系數(shù)為. xTT(11)已知平面向量 a, b的夾角為 二，且滿足| a | = 2, | b | = 1,則a，b = , |a +2 b|=.3(12)在 AABC 中，a:b:c=4:5:6 ，則 tanA = .22(13)能夠使得命題“曲線 上-上=1儂#0)上存在四個點 P，Q, R, S滿足四邊 4 a形pqrs是正方形”為真命題的一個實數(shù) a的值為.(14)如圖，棱長為2的正方體ABCDABGD中，M是 棱AA的中點，點P在側(cè)面ABg內(nèi)，若D|P垂直于CM

5、, 則APBC的面積的最小值為 .三、解答題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算 步驟或證明過程.(15)(本小題13分)如圖，已知函數(shù)f(x)=Asin（ ，x+：'） （A 0, ' > 0,:<-)在一個周期內(nèi)的圖象經(jīng)過 2二_ 25二 一上B(一,0) , C(一/0) , D(，2)二點.6312(I )寫出A，8 ,中的值；(n)若 口 w (空，空)且 f(c()=1,求 cos2a 的值.12316 .（本小題共13分）某中學(xué)為了解高二年級中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級隨機抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作

6、為該名學(xué)生的考核成績.記錄的數(shù)據(jù)如下：1號2號3號4號15號6號7號8號9號10號第一輪測試成績96898888929087909290第二輪測 試成績90909088888796928992（I ）從該校高二年級隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率；（n ）從考核成績大于等于 90分的學(xué)生中再隨機抽取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分的概率；2（出）記抽取的10名學(xué)生第一輪測試成績的平均數(shù)和方差分別為x, s1 ,考核成績的平均數(shù)和方差分別為x2,s2,試比較x1與x2,S2與S2的大小.（只需寫出結(jié)論）17 .（本小題共14分）如圖，在三棱柱ABCA

7、BG中，AC= BC= AB=2, AB，平面ABC,AC -L AC , D，E分別是AC , BG的中點（i）證明：ACB1G（n）證明：DE平面 AAB1B；（出）求DE與平面BRC1C所成角的正弦值.18 .（本小題共 14 分）C-D-/L-f） A已知橢圓C ：工+y2 =1 , F為右焦點，圓 O :4BX2 +y2 =1, P為橢圓C上一點，且P位于第一象限，過點P作PT與圓O相切于點T , 使得點F , T在OP兩側(cè).（I）求橢圓C的焦距及離心率；（n）求四邊形 OFPT面積的最大值.19.（本小題共13分）已知函數(shù) f （x） = eaX ax 3（ a =0）(I)求f

8、(x)的極值；11 2(n)當(dāng)a>0時，設(shè)g(x)= e ax 3x .求證：曲線y = g(x)存在兩條斜率為 _1且 a2不重合白切線.20.(本小題共13分)如果數(shù)列4滿足 對任意正整數(shù)i, j , i#j,都存在正整數(shù)k,使得ak=aaj,則稱數(shù)列4具有性質(zhì)P”已知數(shù)列4是無窮項的等差數(shù)列，公差為 d .(i)若a=2,公差d =3,判斷數(shù)列&是否具有 性質(zhì)P”，并說明理由；(n)若數(shù)列 格具有 性質(zhì)P”，求證：a之0且d >0；(出)若數(shù)列&具有性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)k,使得a =2018這樣的數(shù)列4共有多少個？并說明理由海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期末練習(xí)參考

9、答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2018.5第一部分(選擇題共40分)、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項.12345678BCDBACCA第二部分（非選擇題共110分）、填空題共6小題，每小題 5分，共30分.(9) 1 (10) 10(11) 1； 2串(12)7L3（13）答案不唯一，a <0或a>4的任意實數(shù)（14） 255三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（15）（本小題13分）解：（I） A = 2,缶=2，平=27 分3（n）由（I）得，f（x）=2sin（2x-3）.1因為 f （W =1,所以

10、 sin（2a ） = . 8 分一 ，5二 2二、 一 ,、因為g匚（,）,所以2口 一一匚（一，兀）. 9分12 3325 所以2口 一一=一九， 11分3 6所以2口 =7兀，12分67.3一八所以 cos2a =cos一n=13 分6216 .（本小題共13分）解：（I ）這10名學(xué)生的考核成績（單位：分）分別為：93, 89.5, 89, 88, 90, 88.5, 91.5, 91 , 90.5, 91.其中大于等于90分的有1號、5號、7號、8號、9號、10號，共6人.1分所以樣本中學(xué)生考核成績大于等于90分的頻率為：6 0.63 分10從該校高二年級隨機選取一名學(xué)生，估計這名學(xué)

11、生考核成績大于等于90分的概率為0.6. 4 分（n）設(shè)事件 A：從上述考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機抽取兩名同學(xué)，這兩名同學(xué)兩輪測試 成績均大于等于 90分. 5分由（I）知，上述考核成績大于等于 90分的學(xué)生共6人，其中兩輪測試成績均大于等于90分的學(xué)生有1號，8號，10號，共3人.6分H 3 1所以， P（ A） = -2 = . 9 分C615 5/E22一 八（出）為=乂2，S >S2 . 13 分17 .（本小題共14分）解：（I）因為 ABi,平面ABC , ACu平面ABC , 所以 ABi _L AC .1 分因為 ACi _L AC , ABi 門 ACi =

12、A , ABi , ACi u 平面 ABC , 所以AC _L平面ABiCi .3分因為BiCi u平面ABC , 所以 AC_LBCi. 4分（n）法一：取ABi的中點M ,連接MA、ME .因為E、M分別是BQ、ABi的中點，5分C1Ai,：E-M B/J/ i / /一 一一 i - 所以 ME / AG ,且 ME = _ A1cl.2 I ii 在二菱柱 ABC AiBiCi 中，AD 二'ACi ,且 AD = AC1，2所以 ME/AD,且 ME=AD,所以四邊形ADEM是平行四邊形， 6分所以DE/AM. 7分CLD/Z又 AM U 平面 AAiBB , DE 0平面

13、 AAB,C 7L m A所以DE /平面AAiBB . 9分注：與此法類似，還可取 AB的中點M,連接MD、MBi.法二：取AB的中點M ,連接MD、MB1 . 因為D、M分別是AC、AB的中點，所以MD/ BC,且MD=BC. 5分2在三菱柱 ABC A1B1C1 中，BiE j BC ,且 B1E =1 BC , 2所以 MD/ BiE,且 MD=BiE, 所以四邊形BiE DM是平行四邊形， 6分所以 DE/MBi. 7 分又MB1心平面AABB , DE平面AAB, 所以DE/平面AAiBB. 9分法三：取BC的中點M ,連接MD、ME .因為D、M分別是CA、CB的中點，所以，DM

14、 /AB .5分在三柱 ABC -AiBiCi 中，BC/B1C1, BC = B1C1,因為E、M分別是Ci Bi和CB的中點,所以，MB /EB1 , MB =EB1 ,所以，四邊形 MBBiE是平行四邊形， 6分所以，ME/BBi. 7分又因為 MERMD=M, BBriAB = B,乂£,乂口二平面“口£, BBi, ABu 平面 AAiBiB ,Ci所以，平面MDE /平面AAiBB . 8分因為，DE u平面MDE ,所以，DE/平面AAiBB. 9分（出）在三棱柱 ABC -AiBiCi 中，BC /BiCi ,因為 AC _L BiCi，所以 AC _L B

15、C .在平面ACBi內(nèi)，過點C作Cz/ABi,因為，ABi_L平面ABC, 所以，Cz_L平面ABC.i0分建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz,如圖.則C(0,0,0) , B(2,0,0) , B(0,2, 2),Ci( -2,2,2),D (0,i,0) ,E( -i,2,2).DE=(i,i2), CB =(2,0,0) , CBi =(0,2,2).設(shè)平面BBiCiC的法向量為n = （x,y,z）,則n CB -0n CBi =02x = 0,即2y 2z=0得x=0,令 y = i,得 z = i,故 n = (0,i,-i).設(shè)直線DE與平面BBiCiC所成的角為 以TIdE n73

16、則 sin 0= coscDE,n > = -"4=,|DE|1n |6所以直線DE與平面BBiCiC所成角的正弦值為 昱.6ii分i2分i4分i8.（本小題共i4分）2解：（I）在橢圓 C ： + y2=i 中，a=2, b = i,4所以 c = Va2 -b2 = 33，2 分故橢圓C的焦距為2c =2石， 3分離心率e=c=2/3.5分a 2(n)法一：設(shè) P(Xo,yo) (Xo>0, yo>0), 22則 xL + y2=1,故 y2=1包.6分44所以 |TP 2=|OP |2 |OT |2 = x2 + y2 1 =3x2 ,4所以 |TP|=Xo,

17、8 分21.3-Stp = 'I°T I |TP|=-j-X0. 9 分因此S四邊形OFPT11分/X0、(-y0)2222 由”當(dāng)且僅當(dāng) =y2 = 1 ,即 x0 = J2 , y0 =時等號成立 42213分14分(n)法二：設(shè) P(2cos6,sine)(0<曰<二)，2則 |TP|2=|OP |2 -| OT |2 = 4cos2e +sin2e-1 =3cos2 6 , 所以 |TP | = cos日,c 1 .3S/Otp = | OT | TP | = cos6 . 22又 O(0,0), F (后0),故 S&fp =2OF，y。 =。2

18、3in2因此1 S四邊形 OFPT = S OFPS.OTP=9 (cos>sinu)二逅sin(8+3w魚，2422當(dāng)且僅當(dāng)日=一時，即=2, y0=Y2時等號成立.426分8分9分10分11分13分14分又 O(0,0), F("0),故 Sfp =1OF| ,y。=y° .10 分19 .(本小題共13分)解：(I)法一：f'(x)=a eaxa = a (eax-1) (a=0,x三 R),1 分令 f'(x) =0,得 x=0. 2分當(dāng)a >0時，f'(x)與eax_i符號相同,當(dāng)x變化時，f '(x), f (x)的變

19、化情況如下表:x(-°0,0)0(0,y)f'(x)0+f(x)極小/4分當(dāng)a <0時，f '(x)與eax -1符號相反, 當(dāng)x變化時，f '(x), f (x)的變化情況如下表：x(-°°,0)0(01)f'(x)0+f(x)極小/6分6分 綜上，f(x)在x = 0處取得極小值f(0) = 2. 7分法二：f '(x) =a eax a = a (eax -1) (a #0,xw R),1 分令 f '(x) = 0 ,得 x = 0 . 2 分令 h(x) =a (eax -1),則 h'(x)

20、 =a2 eax,3 分易知h'(x)>0,故h(x)是(叱)上的增函數(shù)，即f'(x)是(，)上的增函數(shù). 4分所以，當(dāng)x變化時，f'(x), f(x)的變化情況如下表：x(-°0,0)0(0尸)f '(x)0+f(x)極小/6分6分 因此，f(x)在x = 0處取得極小值f(0) = 2. 7分(n ) g '(x) =eaxax -3 = f (x) (a a 0, x三 R),8 分故 g '(x) = -1 U f (x) = -1 .9 分注意到 f(0)=2<1, f (-) =e2-5>-1, f(2)=

21、e -1>-1, aa_ _22、所以，二u( ,0), 乂2匚(0,),使得 f(xj = f(x2)=-1. aa因此，曲線y=g(x)在點P(K, f(x1) , P2(x2, f (x2)處的切線斜率均為 1.11分下面，只需證明曲線 y=g(x)在點P(Xi, f(x1) , P2(x2, f (x2)處的切線不重合.法一：曲線y = g(x)在點P(xi,f(x) Oi=1,2)處的切線方程為 y g3 )= - X- % ,)即 y = x +g(為)+ x .假設(shè)曲線 y = g(x)在點 P( Xi, f ( x ) (i =1,2)處的切線重合，則 g(x2) +x2

22、 =g(xj +xi . 12 分法二：假設(shè)曲線 y = g(x)在點P(Xi, f(x)(i =1,2, Xi #X2)處的切線重合，則g(x2) -g(x1)=-1,整理得： g(X2)+X2 =g(Xi)+X1 . 12 分X2 - Xi法一：由 g'(Xi) =eaXi _ax -3 = _1,得 eaXi =ax +2,則，、112c122g(Xi)+x = (ax+2)二 ax 34+為=-1aX X+.a22a2因為 X #X2 ,故由 g(X2) +X2 =g(X1)十 X1 可得 X1 +x2 =. a.2222而 X1 W (-一 ,0),X2 W (0, )，于是

23、有X1+ x2 A- + 0 = -一,矛盾！aaaa法二：令 G(x)=g(x)+x,則 G(x) =G(X2),且 G'(x) = g'(x)+1 = f(x)+ 1.由(I)知，當(dāng) X W (X1, X2)時，f (x) < -1 ,故 G'(x) <0 .所以，G(x)在區(qū)間X1,%上單調(diào)遞減，于是有 G(xJ >G(X2),矛盾！因此，曲線y = g(x)在點P(Xi，f(xj)(i =1,2)處的切線不重合. 13分20 .(本小題13分)解：(I)若切=2,公差d =3,則數(shù)列an不具有性質(zhì)P . 1分理由如下：由題知an=3n 1 ,對

24、于a1和a2，假設(shè)存在正整數(shù)k,使得ak=a1a2,則有113k 1 =2父5 = 10,解得k =一，矛盾！所以對任意的 kw N , 2卜#322.3分3(n)若數(shù)列。口具有 性質(zhì)P”，則假設(shè) q<0, d M0,則對任意的 nw N*，an =a1+(n-1) d <0.設(shè)ak = a1父a2,貝U ak > 0 ,矛盾！ 4分假設(shè)q <0, d >0,則存在正整數(shù)t,使得a1：二 a2 :二 a3 : at - 0 :二 at .1 ：二 at：；2 :二*設(shè) a1 at + = ak1, a1at 由=ak2,a1at 書=ak3,a1'a2t

25、書=akt+,ki匚 N ,i =1,2,|,t +1,則 0>ak1 >ak2 >ak3 > >akt+，但數(shù)列an中僅有 t項小于等于 0,矛盾! 6分假設(shè)&之0, d <0,則存在正整數(shù)t,使得a1 a2 a3同 一0 at 1 at 2* 設(shè) at 書a 出=ak1, at *a 書=ak2,at書 a書=ak3,at+'a2t書=akt +，ki 匚 N ,i =1,2,川,t +1,則0 <ak1 <ak2 ca% <勺十，但數(shù)列an中僅有t項大于等于 0, 矛盾！ 8分綜上，q之0 , d >0.(出)設(shè)

26、公差為d的等差數(shù)列 Qn具有 性質(zhì)P”，且存在正整數(shù)k ,使得ak =2018 .若d = 0,則an為常數(shù)數(shù)列，此時 an =2018恒成立，故對任意的正整數(shù) k,2ak =2018 =2018 = a1 a2, 這與數(shù)列an具有性質(zhì)P”矛盾，故d=0.設(shè)x是數(shù)列an中的任意一項，則 x + d, x + 2d均是數(shù)列an中的項，設(shè)ak1 =x(x +d), ak2 =x(x+2d)則 ak2 -ak1 =xd =*2 k1)d ,因為d 00 ,所以x =k2 ki w Z ,即數(shù)列4的每一項均是整數(shù).由(n)知，ai >0 , d >0 ,故數(shù)列an的每一項均是自然數(shù)，且 d是正整數(shù). 由題意知，2018十d是數(shù)列an中的項，故2018 (2018 +d)是數(shù)列中的項，設(shè) am