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文檔簡介
1、 .wd.等腰直角三角形中的常用模型【知識精析】1、等腰直角三角形的特征:邊、角方面的特征:兩直角邊相等,兩銳角相等都是45邊之間的關(guān)系:任意一邊長,可得到其它兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形:以等腰直角三角形為背景的幾何問題中,常常包含全等三角形,發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口。熟悉以下根本模型,對解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一:一條直線不與三角形的邊重合過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)1以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)斜邊,必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形:1-1:如圖:RtABC中,BAC=90,AB=AC,點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn),過B作BEAD于點(diǎn)E,過C作C
2、FAD于點(diǎn)F。1求證:BE-CF=EF;2假設(shè)D在BC的延長線上如圖2,1中的結(jié)論還成立嗎?假設(shè)不成立,請寫出新的結(jié)論并證明。變式1:等腰RtABC中,AB=CB,ABC=90,點(diǎn)P在線段BC上不與B、C重合,以AP為腰長作等腰直角PAQ,QEAB于,連CQ交AB于M。1求證:M為BE的中點(diǎn)2假設(shè)PC=2PB,求的值2以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)直角邊,必定可以構(gòu)造一對全等的直角三角形:1-2:如圖:RtABC中,BAC=90,AB=AC,點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn),過B作BEAD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G,過C作CFAC交AD的延長線與于點(diǎn)F。1求證:BG=AF;2假設(shè)D在BC的延長線上如圖2,1
3、中的結(jié)論還成立嗎?假設(shè)不成立,請寫出新的結(jié)論并證明。變式1:如圖,在RABC中,ACB=45,BAC=90,AB=AC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),AFCD于H交BC于F,BEAC交AF的延長線于E,求證:BC垂直且平分DE. 變式2:等腰RtABC中,AC=AB,BAC90,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AFBD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接DF,求證:1=2。變式3:等腰RtABC中,AC=AB,BAC90,點(diǎn)D、E是AC上兩點(diǎn)且AD=CE,AFBD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F連接DF,求證:1=2。模型二:等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形共斜邊等腰直角三角形與另一個(gè)直角三角形有公共斜邊,一定可以以兩腰為對應(yīng)邊構(gòu)造全等三角
4、形2-1:連接AD,求證:ADB45。變式1:等腰RtABC中,AC=AB,BAC90,E是AC上一點(diǎn),點(diǎn)D為BE延長線上一點(diǎn),且ADC135求證:BDDC。變式2:等腰RtABC中,AC=AB,BAC90,BE平分ABC交AC于E,過C作CDBE于D,DMAB交BA的延長線于點(diǎn)M,1求的值;2求的值。模型三:兩個(gè)等腰直角三角形共一個(gè)頂點(diǎn)1兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn),必定含一對全等三角形:3-1:如圖1,ABC、BEF都是等腰直角三角形,ABC=BEF=90,連接AF、CF,M是AF的中點(diǎn),連ME,將BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)。猜測CF與EM的數(shù)量關(guān)系并證明;2兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方
5、向一樣,必定含一對相似三角形:3兩個(gè)等腰直角三角形共銳角頂點(diǎn)且直角開口方向相反,必定可利用平移構(gòu)造含一對全等三角形:如圖,ABC和EBD都是等腰直角三角形,BAC=BED=90。把DE平移到CF,使E與C重合,連接AE、AF,那么AEB與AFC全等關(guān)鍵是利用平行證明ABE=ACF3-2:如圖:兩個(gè)直角三角形ABC、ADE的頂點(diǎn)A重合,P是線段BD的中點(diǎn),連PC、PE。1如圖1,假設(shè)BAC=DAE=45,當(dāng)A、C、D在同一直線上時(shí),線段PC、PE的關(guān)系是;2如圖2、3,將BAC繞A旋轉(zhuǎn)度,1中的結(jié)論是否仍然成立?任意選擇一個(gè)證明你的結(jié)論。【經(jīng)典模型】在BAC中,AB=AC,且BAC=90有一點(diǎn)D
6、滿足BDC=90:(1) 當(dāng)點(diǎn)D在邊BC下面時(shí),試探究DB、DA和DC的大小關(guān)系?(2) 當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上面時(shí),試探究DB、DA和DC的大小關(guān)系?推廣:(1) ABC為等邊三角形,D為BC下面一點(diǎn)且BDC=120,此時(shí)呢?(2) ABC為等腰三角形,D為BC下面一點(diǎn)且BDC=60,此時(shí)又如何?【猜測】在運(yùn)算中是否發(fā)現(xiàn),有某種數(shù)量上的對應(yīng)關(guān)系?【穩(wěn)固練習(xí)】1如圖,在中,,、為上兩點(diǎn),為外一點(diǎn),且,那么以下結(jié)論:;,其中正確的選項(xiàng)是AFBDECA、B、C、D、2:RtABC中,AB=AC,BAC=90,假設(shè)O是BC的中點(diǎn),以O(shè)為頂點(diǎn)作MON,交AB、AC于點(diǎn)M、N。1假設(shè)MON=90如圖1,求證:
7、OM=ON;BM2+CN2=MN2;2假設(shè)MON=45如圖2,求證:AM+MN=CN;3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AOB為等腰直角三角形,A4,4。(1) 假設(shè)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以AC為直角邊作等腰直角ACD,ACD=90,連OD,求AOD的度數(shù);(2) 過A作y軸的垂線交y軸于E,F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),G在EF的延長線上,以EG為直角邊作等腰RtEGH,過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M,連FM,等式是否成立?假設(shè)成立,請證明;假設(shè)不成立,說明理由。4.在ABC和DCE中,AB=AC,DC=DE,BAC=EDC=90,點(diǎn)E在AB上,連AD,DFAC于點(diǎn)F。試探索AE、AF、AC的數(shù)量關(guān)系;并
8、求出DAC的度數(shù)。5如圖:等腰RtABC和等腰RtEDB,AC=BC,DE=BD,ACBEDB90,E為AB是一點(diǎn),P為AE的中點(diǎn)。連接PC,PD;那么PC,PD的位置關(guān)系是;數(shù)量關(guān)系是;并證明你的結(jié)論。當(dāng)E在線段AB上變化時(shí),其它條件不變,作EFBC于F,連接PF,試判斷PCF的形狀;在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中,PCF是否可為等邊三角形?假設(shè)可以,試求ACB與EDB的兩直角邊之比。6.兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtABC,RtCEF,ABC=CEF=90,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME1如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí),求證:MBCF;2如圖1,假設(shè)CB=a,CE=2a,求BM,ME的長;3如圖2,當(dāng)BCE=45時(shí),求證:BM=ME7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A (4,0),B (0,4)。點(diǎn)N為OA上一點(diǎn),OMBN于M,且ONB=45+MON。(1) 求證:BN平分OBA;(2) 求的值;(3) 假設(shè)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且APO=135,問
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