函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應用(共7頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上學年論文題 目 凹凸函數(shù)及其在證明不等式中的應用 學 院 數(shù)學與計算機科學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 級 別 10級 姓 名 洪玉茹 學 號 摘要首先給出了凸函數(shù)的定義，接著給出了凸函數(shù)的一個判定定理以及Jesen不等式通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應用凸函數(shù)具有重要的理論研究價值和實際廣泛應用，利用凸函數(shù)的性質證明不等式；很容易證明不等式的正確性因此，正確理解凸函數(shù)的定義、性質及應用，更對有關學術問題進行推廣研究起著舉足輕重的作用關鍵詞凸函數(shù)，凸函數(shù)判定定理Jensen不等式。下面我們主要研究凸函數(shù)，凹函數(shù)由讀者自行探索。一、 凸函數(shù)的等價定義定義1 若函數(shù)

2、對于區(qū)間內的任意以及，恒有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點間的線總在曲線之上定義2 若函數(shù)在區(qū)間內連續(xù)，對于區(qū)間內的任意，恒有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點間割線的中點總在曲線上相應點(具有相同橫坐標)之上定義3若函數(shù)在區(qū)間內可微，且對于區(qū)間內的任意及，恒有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)定義4 設在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當且僅當：,有則稱該函數(shù)為凸函數(shù)。 二、判定定理用定義直接來判斷一個函數(shù)是不是凸函數(shù)，往往是很困難的但用該判定定理來判斷一個光滑函數(shù)是否為凸函數(shù)，則是相當簡便的下面我們介紹該判定定理。判定定理：設為區(qū)間上的二階可導函數(shù)，

3、則在上為凸函數(shù)的充要條件是，證明：對于區(qū)間內的任意（不妨設）以及，令，則有，由泰勒公式，得及，其中，于是再進一步由，所以即。所以我們能用判定定理判斷函數(shù)的凹凸性。定理：（不等式）若為上的凸函數(shù)，則 , ，有.證明 應用數(shù)學歸納法.當時，由定義1命題顯然成立.設時命題成立,則 與都有現(xiàn)設及（i=1,2,k+1）,.令i=1,2,k,則.由數(shù)學歸納法假設可推得= = 即對任何正整數(shù),上述不等式成立.推論：設在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I為是凸函數(shù)，則,有。三、凸函數(shù)在不等式證明中的應用由上述的Jensen不等式，在實際中我們可以應用Jensen不等式，常常先用導數(shù)來肯定函數(shù)的凹凸性，再反過來引出它必

4、定滿足凸性不等式在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凹凸函數(shù)的性質定理來證明可以非常簡潔、巧妙Jensen不等式是凸函數(shù)的一個重要性質，利用其證明一些重要不等式可以更簡捷，但是對于實際給出的題目，我們往往要先構造出凹凸函數(shù)，才能應用Jensen不等式證明我們所要證明的不等式。舉個我們熟悉的例子：在初等數(shù)學中，調和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算術平均值，算術平均值不大于平方平均值，而證明用到數(shù)學歸納法其實這些不等式可在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明例1 設 ，證明： 證明 設 ，有，從而，函數(shù)在是嚴格凸函數(shù)， 取 有 或 即 取 同樣方法，有 于是， ， 有 例2

5、 證明 有 上式稱為算術平均不大于 次平均，特別的，當 ，得到算術平均值不大于平方平均值。 證明 考察函數(shù) 由于有 所以為凸函數(shù)，從而 有 在上式中，令 即得.根據(jù)上述的我們常用的不等式的證明過程我們發(fā)現(xiàn)要運用凹凸函數(shù)證明不等式，首先要構造出凹凸函數(shù)，這是運用Jensen不等式的首要前提。下面我們再舉出一些凹凸函數(shù)在不等式證明當中的應用。例3 在中，求證證明 考慮函數(shù)，因為，所以在內是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質有，由于故例4 設，證明：證明 先將原不等式化為 因為 為上的凸函數(shù)，故當時，有 令則 而 所以 這道題目很難用初等知識證明，但通過構造凸函數(shù) 巧妙地令，便可很方便的證得.例5 設和 是兩組正數(shù)， .證明 . 證明 要證原不等式即要證明 . 令,則由于，所以為凹函數(shù)，由不等式 即得所證。結束語通過研究凸函數(shù)的幾種定義，凹凸函數(shù)的一個判定定理以及Jesen不等式通過例題展示了凹凸函數(shù)在不等式證明中的應用凹凸函數(shù)廣泛的應用在不等式的證明中，運用它解題顯得巧妙，簡練，通過對上述問題的證明，我們認識到利用凹凸函數(shù)證明不等式，關鍵是尋找合適的函數(shù)，若不能直接找出，則可以對不等式進行適當?shù)淖冃?，從而達到證明不等式的目的 參考文獻：1侯風波高等數(shù)學M科學出版社，2005，62華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析M高等教育出版社，