中考數(shù)學(xué)《圖形變換》講座

1、全方位課外輔導(dǎo)體系 Comprehensive tutoring Operation system 中考數(shù)學(xué)圖形變換講座 王友新 中考體驗(yàn)1、（2007年廣東中考）22如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3a，兩動(dòng)點(diǎn)E、F分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開(kāi)始以相同速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng)，與BCF相應(yīng)的EGH在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持EGHBCF，對(duì)應(yīng)邊EGBC，B、E、C、G在一直線上。(1)若BEa，求DH的長(zhǎng)；(2)當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)，DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值。D(第22題圖)BCAEFGH3a3a 2、（2008年廣東中考）22.（本題滿分9分）將兩塊大小一樣含30°角的

2、直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)CD(1)填空：如圖9，AC= ，BD= ；四邊形ABCD是 梯形.(2)請(qǐng)寫(xiě)出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標(biāo)系，保持ABD不動(dòng)，將ABC向軸的正方向平移到FGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，F(xiàn)BP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值值范圍.EDCHFGBAPyx圖1010DCBAE圖93、（2009年廣東中考）20（本題滿分9分）（1）如圖1，圓內(nèi)接

3、中，、為的半徑，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：陰影部分四邊形的面積是的面積的第20題圖CEDBOFGA圖1DBOCEA圖2（2）如圖2，若保持角度不變，求證：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是的面積的4、（2010年廣東中考）20已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖（1）放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G.CEFB90°，EABC30°，ABDE4（1）求證：是等腰三角形；（2）若紙片DEF不動(dòng)，問(wèn)繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小_度時(shí)，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2）求此梯形的高5、（2010年廣東中考）21如圖（

4、1），ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90º，固定ABC，將DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2)題21圖(1)BHFA（D）GCEC（E）BFA（D）題21圖(2)（1）問(wèn)：始終與AGC相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說(shuō)明理由）（3）問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，AGH是等腰三角形.知識(shí)回顧1. 一個(gè)圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)一定的距離，這樣的

5、圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，它是由移動(dòng)的方向和距離所決定2. 平移的特征是：經(jīng)過(guò)平移后的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的大小 與形狀都沒(méi)有發(fā)生變化，即平移前后的兩個(gè)圖形全等；且對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行3. 如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，對(duì)折后的兩部分能互相重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸 .4. 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形 重合 ，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn) .5. 如果兩個(gè)圖形關(guān)于軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線. 6. 圖形旋轉(zhuǎn)的定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換

6、叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角 7、旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等8、把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn) 9、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)：1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分 2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形10、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)： 兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)

7、P（-x，-y） 典例精析 一、平移問(wèn)題例1 、兩個(gè)直角邊為6的全等的等腰直角三角形AOB和CED按圖6所示的位置放置，與重合，與重合（1）求圖6中，三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）固定不動(dòng)，沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后和重疊部分面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當(dāng)以（2）中的速度和方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒時(shí)運(yùn)動(dòng)到如圖7所示的位置，求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式例2、如圖15，矩形ABCD中，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)停止移動(dòng)平移中EF與BC交于點(diǎn)N，GH與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EH

8、與DC交于點(diǎn)P，F(xiàn)G與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q設(shè)S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積（1） 與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）設(shè)，寫(xiě)出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？（3）如圖16，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時(shí)，是等腰三角形 二、軸對(duì)稱問(wèn)題例1. 把一個(gè)矩形紙片如圖折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為EF。 問(wèn)題：（1）找出圖中全等的三角形，并證明。（2）重合部分是什么圖形？證明你的結(jié)論。（3）連結(jié)BE，判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關(guān)系？并證明。 說(shuō)明：折疊問(wèn)題通常是軸對(duì)稱變換，其中折痕是對(duì)稱軸，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后哪些量（邊、角）變

9、了，哪些量（邊、角）不變，折疊后又有哪些條件可利用。通過(guò)“軸對(duì)稱變換”將條件集中，從而打開(kāi)解題思路，折疊問(wèn)題既可以訓(xùn)練學(xué)生的空間想象力，又可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力。 變式提高1、如圖，矩形紙片ABCD中，AB3 cm，BC4 cm現(xiàn)將A，C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，試求AF的長(zhǎng)和重疊部分AEF的面積2. 如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，(1)求證：BE=BF；(2)設(shè)AE=a，AB=b, BF=c,試猜想a、b、c之間有何等量關(guān)系，并給予證明. 參考答案：由題意得，在矩形ABCD中，（2）答：三者關(guān)系不唯一，有兩種可能情況：（）三者存在

10、的關(guān)系是證：連結(jié)BE，則 由（1）知，在中，（）三者存在的關(guān)系是證：連結(jié)BE，則由（1）知，在中，例2、如圖，已知正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，把BC邊向上翻折，使點(diǎn)C恰好落在MN上的P處，BQ為折痕，求PBQ的度數(shù)。 變式提高 1有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是： 第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）.(（圖1） （圖2） 請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）如圖2，若延長(zhǎng)MN交線段BC于P，BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論（2）在圖2中

11、，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？ 例3、在一平直河岸同側(cè)有兩個(gè)村莊，到的距離分別是3km和2km，現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個(gè)村莊供水方案設(shè)計(jì)某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：圖8-1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中于點(diǎn)）；圖8-2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為，且（其中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，與交于點(diǎn)）ABPllABPC圖8-1圖8-2lABPC圖8-3K觀察計(jì)算（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算的長(zhǎng)，作了如圖8-3所示的輔助線，請(qǐng)你按小

12、宇同學(xué)的思路計(jì)算， km（用含的式子表示）探索歸納（1）當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“”、“”或“”）；當(dāng)時(shí)，比較大小：（填“”、“”或“”）；方法指導(dǎo)當(dāng)不易直接比較兩個(gè)正數(shù)與的大小時(shí)，可以對(duì)它們的平方進(jìn)行比較：，與的符號(hào)相同當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；（2）請(qǐng)你參考右邊方框中的方法指導(dǎo)，就（當(dāng)時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？ 參考答案（1）；（2）探索歸納（1）；（2）當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，綜上可知：當(dāng)時(shí)，選方案二；當(dāng)時(shí)，選方案一或方案二；當(dāng)（缺不扣分）時(shí)，選方案一 三、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題基礎(chǔ)題型：1如圖 ，在RtABC中，ACB=90°，A

13、=40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，其中A、B分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊AB上，直角邊CA交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（ ）A70° B80° C60° D50° 2. 如圖 ,邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30 °后得到正方形EFCG,EF交AD于點(diǎn)H,那么DH的長(zhǎng)為_(kāi). 例1 已知：如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，AF平分DAE交CD于F，求證：AE=BE+DF 例2、如圖，自正方形ABCD的頂點(diǎn)A引兩條射線分別交BC、CD于E、F，EAF=45°，在保持EAF=45

14、°的前提下，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上移動(dòng)時(shí)，試確定BE+DF與EF的關(guān)系。 變式提高1如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng)，但A到EF的距離AH始終保持與AB長(zhǎng)相等，問(wèn)在E、F移動(dòng)過(guò)程中：（1）EAF的大小是否有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）ECF的周長(zhǎng)是否有變化？請(qǐng)說(shuō)明理由 2如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CBECDF（1）圖1中的CBE可以通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到CDF；（2）在圖1中，若G在AD上，且GCE45°，則GEBEGD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形

15、ABCD中，ADBC（BCAD），B90°，ABBC12，E是AB上一點(diǎn)，且DCE45°，BE4，求DE的長(zhǎng)圖2B C CA D DDCCDDDDD D E B C CA G D FE 圖13如圖，等腰ABC的是直角三角形，E,F分別是斜邊BC上兩點(diǎn)，且EAF=45試確定線段BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系 （非旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)題型）如圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且EBC是等邊三角形，求EAD與ECD的度數(shù) 變式提高例3、如圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且 EAD=EDA=15 求證：EBC是等邊三角形 拓展應(yīng)用 1、如圖，四邊形和都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為（），且點(diǎn)在上（以下問(wèn)

16、題的結(jié)果均可用的代數(shù)式表示）（1）求；（2）把正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得圖，求圖中的；（3）把正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫(xiě)出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由DCBAEFGGFEABCD. 參考答案（1）點(diǎn)在上，.（2）連結(jié)， 由題意易知，.（3）正方形AEFG在繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓.第一種情況：當(dāng)b>2a時(shí)，存在最大值及最小值；因?yàn)榈倪?，故?dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，取得最大、最小值.如圖所示時(shí)， 的最大值=的最小值=第二種情況：當(dāng)b=2a時(shí)，存在最大值，不存在最小值；的最大值=.（如果答案為4a2或b2也可）F1ODCABGFEF22. 如圖1，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90°,EDF30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（1） 如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.（2） 如圖3，當(dāng)時(shí)