上海交通大學(xué)大學(xué)物理A類第四章機械振動

1、振動有各種不同的形式振動有各種不同的形式機械振動機械振動 電磁振動電磁振動 廣義振動：任一物理量廣義振動：任一物理量(如位移、電如位移、電 流等流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 第第 4 章章 機機 械械 振振 動動 振動分類振動分類受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動( (簡諧振動簡諧振動) )無阻尼自由無阻尼自由諧振動諧振動一個周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動一個周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動4.1 4.1 簡諧振動簡諧振動一、一、簡諧振動簡諧振動 表達式表達式

2、x(t)=Acos( t+ ) 特點特點 (1)等幅振動等幅振動 (2)周期振動周期振動 x(t)=x(t+T )( (運動學(xué)部分運動學(xué)部分) )二、描述二、描述簡諧振動簡諧振動的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和頻率和頻率 v = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 時刻的相位時刻的相位 (2) 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相xoT2= 振動的圓頻率或角頻率振動的圓頻率或角頻率三、三、 簡諧振動簡諧振動的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x=Acos( t+ )已知表達式已知表達式 A、T、 已知已知A、T、 表達式表達式

3、2. 曲線法曲線法oxmx0 = 0oA-Atx = /2T 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線3. 3. 振幅矢量法振幅矢量法 t+ oxxt = tt = 0 x = A cos( t + ) 四、相位差四、相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)對兩對兩同頻率同頻率的諧振動的諧振動 = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相當當 = 2k , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同, ,稱稱同相同相AA當當 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反 , 稱稱反相反相 。x2TxoA1-A1A2- A

4、2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相 超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 則則 x2比比x1較早達到正最大較早達到正最大, 稱稱x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。領(lǐng)先、落后以領(lǐng)先、落后以 的相位角來判斷的相位角來判斷x2TxoA1-A1A2- A2x1t242TtT 五、五、簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的速度、加速度1.1.速度速度)sin( tAtddx)2cos( tA 速度也是簡諧振動速度也是簡諧振動 比比x領(lǐng)先領(lǐng)先 /2)cos()(maxtt x=Acos( t+ )2. 加速度加速度)cos(222 tAtdxda)cos()(

5、maxatata也是簡諧振動也是簡諧振動0222 xtdxd xtdxda222 x=Acos( t+ )4.2 簡諧振動簡諧振動( (動力學(xué)部分動力學(xué)部分) )一、一、 簡諧振動的動力學(xué)方程簡諧振動的動力學(xué)方程2. 受力特點受力特點: : 線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力 (F= -kx)1. 動力學(xué)方程動力學(xué)方程 (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)有有及及由由kxFtdxdmmaF 220222 xtdxd kxmxFo取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點mk 3. 固有固有( (圓圓) )頻率頻率彈簧振子彈簧振子:mk 0222 xtdxd 固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在

6、性質(zhì)lg 單單 擺擺 :4. 由初始條件求振幅和相位由初始條件求振幅和相位 22020 xA)(tg001x 二、簡諧振動的能量二、簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)1.1.簡諧振動系統(tǒng)的能量特點簡諧振動系統(tǒng)的能量特點(1) 動能動能221 mEk )(sin2122 tkA已知已知txx vv000,xAvA00 cossin x=Acos( t+ )sin( tAtddxmk 0,21min2max kkEkAE2411kAdtETETttkk (2) 勢能勢能221kxEp )(cos2122 tkA情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax(3) 機械能機械

7、能221kAEEEpk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒)(sin2122 tkAEk2. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 xtTEEk(1/2)kA2okpEE Ep常數(shù)常數(shù) Ekxmv222121:t求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對0 dtdxkxdtdvmv022 xmkdtxd三、簡諧振動的動力學(xué)解法三、簡諧振動的動力學(xué)解法1.1.由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)(由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程)2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)(將將能量能量守恒式對守恒式對t求導(dǎo)求導(dǎo))【例例】 如圖所示，證明比重計的運動為簡諧振動。如圖所示，證明比重計的運動為簡諧振動。AmAmyyO

8、解：解：設(shè)：比重計截面設(shè)：比重計截面S 質(zhì)量質(zhì)量m 液體比重液體比重 不考慮粘滯力不考慮粘滯力mggySVF)(0gySmggV)(0gySgyStym22dd0dd22ymgStymgS例題例題 三根長度均為三根長度均為 L = 2 米，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一米，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架正三角形框架 ABC，C 點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿 AB 是一導(dǎo)軌，一電動玩具松鼠可是一導(dǎo)軌，一電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運動。現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運動，而框架卻在導(dǎo)軌上運動。現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運動，而框架卻靜止不動，試論

9、證松鼠的運動應(yīng)是一種什么樣的運動。靜止不動，試論證松鼠的運動應(yīng)是一種什么樣的運動。ocos30mgxf L =xLmgf32框架：框架： maxLmgff32諧振動！諧振動！gLT232例題例題 質(zhì)量為質(zhì)量為M的圓盤懸掛在勁度系數(shù)為的圓盤懸掛在勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端，一套的輕彈簧下端，一套在彈簧上質(zhì)量為在彈簧上質(zhì)量為m的圓環(huán)從離盤高的圓環(huán)從離盤高h處自由下落，落在盤上后隨盤處自由下落，落在盤上后隨盤一起作簡諧振動，一起作簡諧振動，問：環(huán)碰到盤后多久到達最低點問：環(huán)碰到盤后多久到達最低點？ Ox x0 212mghmv0()mmMvv0mgxk 02mghmMv初始條件初始條件 0sinA v

10、0cosxA00tanx v10tankmg vkmMtx0 xorcc22cddsintJmgr式中負號表示重力矩方向恰與式中負號表示重力矩方向恰與角角 的正方向相反的正方向相反(注明注明)。令：令：Jmgrc2得：得：0sindd222t4.3 微振動的簡諧近似微振動的簡諧近似如圖所示，一剛體繞過如圖所示，一剛體繞過o的垂直于紙的垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動，滿足轉(zhuǎn)動定理：面的軸轉(zhuǎn)動，滿足轉(zhuǎn)動定理：! 5! 3sin 53由：由于由于 很小很小，略去，略去 3以上各項，則以上各項，則sin 0sindd222t0dd222t解為：解為：)cos(0t相應(yīng)的相應(yīng)的角頻率：角頻率：Jmgrc或從機械能守

11、恒：或從機械能守恒：)cos1 ()dd(21c2mgrtJE解為：解為：)cos(0txorcc0sinddddddc22tmgrttJ0ddc22Jmgrt兩邊對時間兩邊對時間 t 求一階導(dǎo)數(shù)：求一階導(dǎo)數(shù)：阻力阻力振動機械能振動機械能振幅振幅產(chǎn)生阻尼的原因：產(chǎn)生阻尼的原因：摩擦、空氣阻力、輻射摩擦、空氣阻力、輻射一、阻尼振動的微分方程一、阻尼振動的微分方程txvFddxkf4.4 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動Fxxo22ddtxmvkx2202dd20ddxxxttbw+=運動方程：運動方程：物體大致的運動情況：物體大致的運動情況：只有彈性力只有彈性力簡諧振動簡諧振動加粘滯阻力后加粘

12、滯阻力后振幅逐漸變小，即有振幅逐漸變小，即有衰減衰減如何衰減？如何衰減？考慮以考慮以 v0 運動的物體在只有粘滯阻力作用時的運動情況運動的物體在只有粘滯阻力作用時的運動情況20,2kmmgwb=令：令：稱為阻尼系數(shù)稱為阻尼系數(shù)bxxm 即即20 xxb+=d2dvvtb= -d2 dvtvb= -積分得：積分得：200lnln2tvvtvv ebb-= -=動能與時間關(guān)系：動能與時間關(guān)系：224k01122tEmvmv eb-=隨時間指數(shù)減少隨時間指數(shù)減少()22000costxAetbwbj-=-+2202Tpwb=-方程的解：方程的解：周期：周期：()00costxA etdwj-=+22

13、0wwb=-可以設(shè)想：可以設(shè)想：阻尼不太大時，物體一方面在彈性力作用阻尼不太大時，物體一方面在彈性力作用下振動，另一方面在粘滯力作用下振幅隨時間指數(shù)地下振動，另一方面在粘滯力作用下振幅隨時間指數(shù)地衰減。衰減。, d w待定常量待定常量討論：()22000costxA etbwbj-=-+ 當（當（ ）時，為）時，為“臨界阻尼臨界阻尼”情況。是質(zhì)點不作情況。是質(zhì)點不作 往復(fù)運動的一個極限往復(fù)運動的一個極限0bw= 阻尼較小時（阻尼較小時（ ），振動為減幅振動，振幅），振動為減幅振動，振幅 隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大， 減幅越迅速。振動周期大于自由振動周

14、期。減幅越迅速。振動周期大于自由振動周期。0tA eb-0bwtxoA00tA eb-Ttxo臨界阻尼過阻尼欠阻尼0bw0bw=22022 T準周期：準周期：品質(zhì)因素品質(zhì)因素Q 品質(zhì)因素反映了在存在阻尼情況下每經(jīng)過一個周期，振動系統(tǒng)品質(zhì)因素反映了在存在阻尼情況下每經(jīng)過一個周期，振動系統(tǒng)能量損失的大小。能量損失的大小。)()()(2TtEtEtEQ定義：定義：20222200/222/2e/21eTTkAQkAkAbb-=-在弱阻尼情況下在弱阻尼情況下 TQ系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。發(fā)生的振動。受迫振動：受迫振動：策動力：策動力：周期性的外力周期性的

15、外力設(shè)：設(shè)：tFFcos01、受迫振動受迫振動二、二、 受迫振動受迫振動 共振共振rFxkfFxxotFtxkxtxmcosdddd022令：202kmmgwb=22002dd2cosddxxFxtttmbww+=22000cos()cos()txAetAtbwbjwj-=-+)cos(tAx穩(wěn)定振動狀態(tài)：220kmFAkmtan在穩(wěn)定振動狀態(tài)下，受迫振動的頻率等于在穩(wěn)定振動狀態(tài)下，受迫振動的頻率等于策動力的頻率。策動力的頻率。結(jié)論：結(jié)論：從靜止開始的受迫振動4 . 01001. 110黑線代表強迫力，藍線代表從靜止開始的受迫振動在穩(wěn)態(tài)時，振動物體的速度在穩(wěn)態(tài)時，振動物體的速度)2cos(dd

16、maxtvtxv其中：其中：0max22()FvAkmwgww=+-202kmmgwb=2、共振共振（1） 速度共振由：由：220max)(kmFv當：當：0km得：得：,0max0Fvmk此時此時2)cos(maxtvv速度與外力同相位，外力始終做正功。速度與外力同相位，外力始終做正功。vmaxo0（2） 位移共振位移共振共振：共振：當策動力的頻率接近于固有頻率時，受迫振動當策動力的頻率接近于固有頻率時，受迫振動 的振幅達到最大值的現(xiàn)象。的振幅達到最大值的現(xiàn)象。220kmFA由：由：0max2202FAmbwb=-令：令：220rd0,2dAwwbww=-=得得：202kmmgwb=22r0

17、2wwb=-0max2202FAmbwb=-oA0r阻尼=0阻尼較小阻尼較大 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 越小，越小，共振角頻率共振角頻率 r越接近于越接近于系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率 0 ，同同時共振振幅也越大。時共振振幅也越大。結(jié)論：結(jié)論：b4.5振動的合成與分解振動的合成與分解一、同頻率平行簡諧振動的合成一、同頻率平行簡諧振動的合成)cos(111 tAx)cos(222 tAxox1A2A12A21xxx )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg )cos(21 tAxxx21AAA), 2 , 1 , 0(2)1(12 nn 21AAA

18、), 2 , 1 , 0()12()2(12 nn 21AAA 二、不同頻率平行簡諧振動的合成拍二、不同頻率平行簡諧振動的合成拍討論：討論：)cos(212212221 AAAAA同相同相反相反相21 )()(1122 tt夾角夾角, 1A2A 2. 合振動合振動ttA)2cos()2cos(21212但當?shù)?2 1時，時，| 2- 1| 2+ 1x = x1+ x2ttAxcos)( 1. 分振動分振動 x1=Acos 1 t x2=Acos 2 t其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 隨隨 t 緩變緩變隨隨 t 快變快變合振動可看作振幅緩變的合振動可看作振幅

19、緩變的“簡諧振動簡諧振動”合振動不是簡諧振動。合振動不是簡諧振動。二、不同頻率平行簡諧振動的合成拍二、不同頻率平行簡諧振動的合成拍40 xtx2tx1t41tAtA)cos()(2212 3. 拍拍拍頻拍頻 : 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù).合振動的強弱合振動的強弱|A(t)|隨隨 t 變化的現(xiàn)象稱為拍變化的現(xiàn)象稱為拍(beat) ttAx)cos()cos(2221212 設(shè)拍周期為設(shè)拍周期為TbtATtA2cos2)(2cos212b122b12T12b2T2/ 112bT12 實例：實例：雙簧口琴、雙簧管雙簧口琴、雙簧管(oboe)、鋼琴、鋼琴(piano)調(diào)音調(diào)音(

20、鋼琴與標準音叉聲鋼琴與標準音叉聲波形成拍波形成拍拍頻越小，說明鋼琴的音越準拍頻越小，說明鋼琴的音越準)。解：解：126cos212122AAAAA6cos3102023102022A1A2A6cm10例例 題題 兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為幅為20cm，與第一個振動的位相差為，與第一個振動的位相差為 。若第。若第一個振動的振幅為一個振動的振幅為 。則（。則（1）第二個振動的振幅）第二個振動的振幅為多少？（為多少？（2）兩簡諧振動的相位差為多少？）兩簡諧振動的相位差為多少？61cm310cm20A212A1A2A6cm102A)2cos

21、(205. 0tx443205. 0A2Hz4422212三、同頻率垂直簡諧振動的合成三、同頻率垂直簡諧振動的合成)cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx y xo 結(jié)論：兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成其振動軌結(jié)論：兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成其振動軌 跡一般情況下為一橢圓跡一般情況下為一橢圓(又稱又稱“橢圓振動橢圓振動”)。 橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。討論：討論：0221222212AAxyAyAx0221Ay

22、Ax(1)01212AAxAAy斜率斜率:k212y xoA1A2)cos(222122 tAAyxS)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1212k0221222212AAxyAyAx0221AyAx 結(jié)論：質(zhì)點作線振動結(jié)論：質(zhì)點作線振動(2)xyo0,1212AAxAAy斜率：斜率：2)3(12 1222212 AyAx 左左旋旋yoxA1A2Py方向振動超前方向振動超前x方向方向2右旋右旋2)4(12 y方向振動落后方向振動落后x方向方向21222212 AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx四、不同頻率垂直簡諧振動的合成四、不

23、同頻率垂直簡諧振動的合成2. 當兩振動頻率恰成整數(shù)比，得封閉穩(wěn)定軌道當兩振動頻率恰成整數(shù)比，得封閉穩(wěn)定軌道稱為稱為Lissajou圖形圖形21 . 121 看成看成 ，但相位差緩慢變化但相位差緩慢變化01242（李薩如圖）（李薩如圖）yxxynn)cos()cos(yyyxxxtAytAxx、y兩垂直方向的簡諧振動時，對應(yīng)不同初相位差的李薩如圖形2:1:yxxyO相鄰的李薩如圖形初相位差為123:2:yx4:3:yx相鄰的李薩如圖形初相位差為125:3:yx8:5:yx相鄰的李薩如圖形初相位差為12例：例：)22cos(1tAxtAycos2xy1A2A1. 一個周期性振動可分解為一系列一個周

24、期性振動可分解為一系列 頻率分立的簡諧振動頻率分立的簡諧振動五、振動的頻譜分析五、振動的頻譜分析數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ))Tt (f)t (f 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfT 2 式式中中傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) TttdttfTa)(20TttndttntfTa)cos()(2TttndttntfTb)sin()(2若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波A 03 05 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖【例例】方波xtO1T0)(200TdttxTa0cos)(20TntdtntxTa為正整數(shù)mmnmtdtntxTbTn, 12 ,) 12(4sin)(20TntTnTTnTtnTtx) 1(2/ , 12/ , 1)(ttttx5sin513sin31sin