上海交大-天線教程-第二章 EM回顧——EM理論

1、CEM12022-2-10耿軍平耿軍平電子信息與電氣工程學(xué)院，電子工程系電子信息與電氣工程學(xué)院，電子工程系電院樓群電院樓群1 1522522Email:Email:Tel:34204663Tel:342046632014.092014.0912122022-2-102麥?zhǔn)戏匠蹋簣?chǎng)與源之間的關(guān)系場(chǎng)量之間的相關(guān)變化關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：邊界條件：約束條件三類邊界條件：電磁問(wèn)題的歸結(jié)波動(dòng)方程：麥?zhǔn)戏匠痰耐蒲菪问轿缓瘮?shù)的引入：方便求解場(chǎng)的表示：場(chǎng)入射場(chǎng)散射場(chǎng)場(chǎng)入射場(chǎng)散射場(chǎng)2022-2-103電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律2022-2-104電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)

2、的電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律基本規(guī)律坡印亭定理和坡印亭矢量波動(dòng)方程和電磁位函數(shù)對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程 時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 2022-2-105電磁場(chǎng)的基本方程電磁場(chǎng)的基本方程電磁場(chǎng)的源電磁場(chǎng)的源電荷和電流電荷和電流靜態(tài)場(chǎng)的基本方程電磁感應(yīng)定律與全電流定律麥克斯韋方程組與邊界條件2022-2-106電磁場(chǎng)的源電磁場(chǎng)的源電荷和電流電荷和電流 電荷密度dldQlQll0limdVdQVQV0limdSdQSQSS0limllSVdlQdSQdVQS，或，或2022-2-107l電流和電流密度dtdQI 0limSIJS JSIdJSdQdVdSdl2022-2-108l電流和電流密

3、度體電流密度體電流密度J是一個(gè)矢量，方向?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)某點(diǎn)正電荷的運(yùn)動(dòng)方向大小為垂直于它的單位面積上的電流傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流：電子定向運(yùn)動(dòng)，服從歐姆定律電子定向運(yùn)動(dòng)，服從歐姆定律運(yùn)流電流運(yùn)流電流：自由空間或氣體中帶電粒子的自由空間或氣體中帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)，不服從歐姆定律定向運(yùn)動(dòng)，不服從歐姆定律2022-2-109l電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）條件：體電荷密度 帶電體內(nèi)任一封閉曲面S 瞬間流出S的電流i為SidJSJ2022-2-1010l電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）SVdQddidVdtdt JSVVdVdVt JtJ積分形式：微分形式：V靜止,散度定理2022-2-1011l電荷守恒定律（電流

4、連續(xù)性方程）SVdQddidVdtdt JSt J積分形式：微分形式：流過(guò)恒定電流：0Sd JS0J或2022-2-1012電磁場(chǎng)的基本方程電磁場(chǎng)的基本方程電磁場(chǎng)的源電荷和電流靜態(tài)場(chǎng)的基本方程靜態(tài)場(chǎng)的基本方程電磁感應(yīng)定律與全電流定律麥克斯韋方程組與邊界條件2022-2-1013靜態(tài)場(chǎng)的基本方程靜態(tài)場(chǎng)的基本方程 庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度1212320044RQQQQRRRFa31014niiiiQRERQFE304QRRE0QFER, Ri:從源點(diǎn)從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)滿足線性規(guī)則和疊加原理2022-2-1014靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)） 庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度真空中有限區(qū)域V 內(nèi)連續(xù)分

5、布的體電荷，V 外外 p點(diǎn)點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度 E33001( )1( )()44|VVrdVdVRRrrrErr2022-2-1015靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)） 靜態(tài)場(chǎng)，E的通量不包含電荷的區(qū)域：0nSSEdE dSES的通量包含電荷q的區(qū)域：EnSSqdE dSES的通量2022-2-1016靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場(chǎng)的基本方程（續(xù)） 靜態(tài)場(chǎng)，E的散度EVVQnSSdE dSdVdVEESE內(nèi)曲面內(nèi)總電荷1的通量2022-2-1017 高斯定理與電通量密度電通量密度，電位移矢量，電通量密度，電位移矢量，D： 只與發(fā)出電通量的電荷有關(guān)， 而與空間中所填充的媒質(zhì)無(wú)關(guān)0DE2022-2

6、-1018 穿過(guò)真空或自由空間中任意封閉面的電通量等于此封閉面所包圍的自由電荷總量 高斯定理0SQdES或SVddVDSSdQDS若體電荷位于封閉面內(nèi)VVdVdVD2022-2-1019表明：表明：1）研究區(qū)域適于源區(qū)域）研究區(qū)域適于源區(qū)域2）源區(qū)域）源區(qū)域3）該空間任一點(diǎn)處電通量密度的散度等于空間任一點(diǎn)處電通量密度的散度等于該點(diǎn)處的電荷密度該點(diǎn)處的電荷密度4）積分方程不一定要完全滿足以上條件）積分方程不一定要完全滿足以上條件1）和和2）（充分而非必要）（充分而非必要）D2022-2-1020 靜電場(chǎng)的無(wú)旋性0E000bbaalWQddE lE l閉合路徑或0bbaaWQd El0dWQd E

7、l0QFE外力克服電場(chǎng)力做功，與路徑無(wú)關(guān)外力克服電場(chǎng)力做功靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)或保守場(chǎng)斯托克斯定理2022-2-1021 畢奧薩伐爾定律與磁通量密度2102211212l(l)4RllI dI dFR a真空中磁場(chǎng)力2112FF221122211022214lllRdI)RdI(dIBlallF各微小電流單元間的作用力并不一定等值反向；線圈間的總的作用力等值反響。2022-2-1022 畢奧薩伐爾定律與磁通量密度1211014lRRdIalB1211014lRsinldI|B 磁通量密度 （磁感應(yīng)強(qiáng)度）相當(dāng)于回路相當(dāng)于回路l1作用于作用于回路回路l2的單位電流元的單位電流元上的磁場(chǎng)力上的磁場(chǎng)力單位：

8、單位：T1T1Wb/m22022-2-1023SSdSR304RJBVdVR304RJB體電流J面電流JS2022-2-1024載流導(dǎo)體在外磁場(chǎng)B中所受磁場(chǎng)力dVJSdIdJlllIdBlFBF dQVdVBJF運(yùn)動(dòng)速度(旋度的散度為0A)(H1ABAB0)(0矢量矢量磁位磁位A簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單媒質(zhì)媒質(zhì)2022-2-1088思路2： 標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒等于零ttAEAE或00)(）（ttttAEAABE標(biāo)量電位標(biāo)量電位 說(shuō)明：說(shuō)明： 前面的負(fù)號(hào)是由 E 引出的2022-2-1089)()(2AAEtt高 斯高 斯定理定理 D2()At （282）2022-2-1090)(tttAJEJABAAA2)

9、()(222ttAJAA（279）全電流定律全電流定律2022-2-1091A唯一確定散度、旋度、界矢量唯一性定理BA A？A的散度可任意選取,不同場(chǎng)合用不同規(guī)范條件2022-2-1092A的散度確定的規(guī)范條件的散度確定的規(guī)范條件 洛侖茲規(guī)范（條件）t AA和和的的非齊次非齊次矢量波矢量波動(dòng)方程動(dòng)方程JAAt222222t （279）說(shuō)明：這樣的方程使A和分離，便于求解，多數(shù)情況下采用（282）（281）2022-2-1093A的散度確定的規(guī)范條件（續(xù)）的散度確定的規(guī)范條件（續(xù)） 庫(kù)侖規(guī)范（條件）0 AA和和的的非齊次矢非齊次矢量波動(dòng)方量波動(dòng)方程程ttJAA2222（279）2022-2-10

10、94無(wú)源無(wú)源tAE)0(02特解說(shuō)明：庫(kù)侖規(guī)范下，A和滿足互聯(lián)方程組，2022-2-1095恒定場(chǎng)恒定場(chǎng)0 A024laRrIdBR21( )()aRRR01()()4llBIdR2022-2-1096恒定場(chǎng)恒定場(chǎng)111()()()IdIdIdIdRRRRll +l =-l0l =Id 源點(diǎn)函數(shù)對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的旋度00()()44llBllIdIdRR04lAlIdR2022-2-1097電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律電磁場(chǎng)的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波動(dòng)方程和電磁位函數(shù)對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程 時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 2022-

11、2-1098對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程電型源（電流、電荷）電磁場(chǎng)磁型源（磁流、磁荷）電磁場(chǎng)teeDJHtBeeEe D0eBtMMDHtBJMMME0MDMM BHMEMJMEe-HeJ 磁流、磁荷是人為等效來(lái)的磁流、磁荷是人為等效來(lái)的2022-2-1099電型源加磁型源t DJHMtBJE DM B2022-2-10100矢量磁位A標(biāo)量電位矢量電位AM標(biāo)量磁位MMMADtMMMAH0tMMAMMMtJAA222tMMM222對(duì)偶2022-2-10101電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本電磁場(chǎng)基本方程和電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律規(guī)律電磁場(chǎng)的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波動(dòng)方程和電磁位函

12、數(shù)對(duì)偶形式的電磁場(chǎng)方程 時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 2022-2-10102時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧（正弦）電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式的邊界條件E和H矢量的亥姆霍茲方程復(fù)坡印亭矢量和復(fù)坡印亭定理2022-2-10103復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式)cos()cos()cos()()()()(zzzyyyxxxzzyyxxtEtEtEtEtEtEtEaaaaaazyxieEeeEtEtjitjjiii,ReRe)(分量分量復(fù)振幅復(fù)振幅2022-2-10104復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式ReRe)(tjtjzzyyxxeeEEEtEEaaa電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量

13、電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量222EReE,ERe()Ej tj tjetet偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)2022-2-10105復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組DJHjBEj D0 B微分、瞬時(shí)形式非微分、瞬時(shí)形式非限定性麥?zhǔn)戏匠滔薅ㄐ喳準(zhǔn)戏匠蘪 JHBEDEJHjHEj/ E0 H微分、瞬時(shí)形式非微分、瞬時(shí)形式非限定性麥?zhǔn)戏匠滔薅ㄐ喳準(zhǔn)戏匠陶f(shuō)明：為書寫方便，略去小圓點(diǎn)說(shuō)明：為書寫方便，略去小圓點(diǎn)2022-2-10106復(fù)數(shù)形式邊界條件復(fù)數(shù)形式邊界條件0)(21EEan0)(21BBanSn()21DDaSnJHHa)(21說(shuō)明：為書寫方便，略去小圓點(diǎn)說(shuō)明：為書寫方便，略去小圓點(diǎn)2022-2-10107E

14、和和H非齊次矢量的亥姆霍茲方程非齊次矢量的亥姆霍茲方程2kj EEJ2Hk HJHJEj EHj 2022-2-10108E和和H非齊次矢量的亥姆霍茲方程非齊次矢量的亥姆霍茲方程(續(xù)續(xù))/k 波數(shù)2222xyzkkkk直角坐標(biāo)：2kj EEJ2Hk HJ22kj EEJ22k HJ2G()GG 2022-2-10109空間頻率空間頻率k/k 波數(shù)/2/k 每每2空間距離中的波長(zhǎng)數(shù)空間距離中的波長(zhǎng)數(shù)2k2022-2-10110復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭矢量cos()cos()EHmEmHttSEH1() cos()cos(2)2mmEHEHtEH011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSE

15、H2022-2-10111復(fù)坡印亭矢量復(fù)坡印亭矢量()()EHEHjjjmmmmeeeE HEHEH()cos()2emmEHaVREHEHS( , )cos() EjmEmtte ErEE EHjmeH H同理011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSEH2022-2-10112復(fù)坡印亭矢量（續(xù)）復(fù)坡印亭矢量（續(xù)）12SEH坡印亭矢量的復(fù)數(shù)形式，其實(shí)部為平均功率流密度，虛部為無(wú)功功率流密度定義Re( )SavS2022-2-10113復(fù)坡印亭矢量（續(xù)）復(fù)坡印亭矢量（續(xù)）2022-2-10114復(fù)數(shù)形式的能量密度復(fù)數(shù)形式的能量密度204121Re21Re21)(1)(EDEwdtt

16、wTweTeave簡(jiǎn)單媒質(zhì)4121)()(21)(tjtjtjtjeeeeetttwEEDDED204121Re21Re21)(1)(HBHwdttwTwmTmavm簡(jiǎn)單媒質(zhì)2022-2-10115)(21)(21)21(HEEHHE復(fù)坡印復(fù)坡印亭定理亭定理若右端第二項(xiàng)為實(shí)數(shù)，則表明：若右端第二項(xiàng)為實(shí)數(shù)，則表明：從封閉面從封閉面S輸入的有功功率等于體積輸入的有功功率等于體積V內(nèi)的平均熱損耗功率；內(nèi)的平均熱損耗功率；從封閉面從封閉面S輸入的無(wú)功功率等于體積輸入的無(wú)功功率等于體積V內(nèi)電磁場(chǎng)儲(chǔ)能的最大時(shí)間變化率內(nèi)電磁場(chǎng)儲(chǔ)能的最大時(shí)間變化率dVEdVwwjdVVaveavmS221)()(2)21(S

17、HEJEHE21)4141(2)21(22EHjEJHjHEj2022-2-10116三類邊值問(wèn)題三類邊值問(wèn)題2022-2-10117惟一性定理惟一性定理 當(dāng)物理狀態(tài)給定時(shí)總能導(dǎo)出一個(gè)，且只有一個(gè)物理解； 但數(shù)學(xué)上處理不當(dāng)，可能導(dǎo)出多個(gè)解； 惟一性定理：指明正確建模，實(shí)現(xiàn)惟一解。 電磁場(chǎng)問(wèn)題電磁場(chǎng)問(wèn)題：當(dāng)給定區(qū)域中的源和整個(gè)邊界面上的切向電場(chǎng)或磁場(chǎng)都已確定時(shí)，此區(qū)域內(nèi)的解就將惟一。2022-2-10118亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 若矢量場(chǎng)F(r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)F(r)可以表示為 F rrA r 1

18、4VdVF rrrr其中： 14VA rdV F rrr上述關(guān)系稱為亥姆霍茲定理。 2022-2-10119亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理(續(xù)）續(xù)） 該定理再次表明，無(wú)限空間中矢量場(chǎng)被其散度及旋度惟一地確定； 而且它給出了場(chǎng)與其散度及旋度之間的定量關(guān)系； 或者說(shuō)，給出了場(chǎng)與源之間的定量關(guān)系。2022-2-10120靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法第一類邊值（Dirichlet）問(wèn)題：已知全部邊界上電位分布，如導(dǎo)體表面上的電位分布；第二類邊值問(wèn)題（Neumann）問(wèn)題：已知邊界上電位的法向分布，如導(dǎo)體表面上的電荷分布；第三類邊值問(wèn)題，又稱混合邊值（Robbin）問(wèn)題：已知部分邊界上的電位分布及

19、另一部分邊界上電位的法向?qū)?shù)。說(shuō)明說(shuō)明：對(duì)上述任一邊值問(wèn)題，滿足邊界條件的電位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的2022-2-10121靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法（續(xù)）靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法（續(xù)）分離變量法直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系鏡像法接地平面附近的點(diǎn)電荷線電荷導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷復(fù)變函數(shù)法有限差分法2022-2-10122電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題第一類邊值（Dirichlet）問(wèn)題：已知全部邊界上電場(chǎng)分布，如導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)法向分量為零；第二類邊值問(wèn)題（Neumann）問(wèn)題：未知量的導(dǎo)數(shù)在邊界上為已知固定值；第三類邊值問(wèn)題，又稱混合邊值（Robbin）問(wèn)題：未知量和未知量的導(dǎo)數(shù)在邊界上有確

20、定關(guān)系。如：索末菲輻射條件：（自由空間在無(wú)限遠(yuǎn)處的輻射條件）；吸收邊界條件等2022-2-10123等效原理等效原理2022-2-10124波和介質(zhì)中的波和介質(zhì)中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應(yīng)的面電流 2022-2-10125概述概述 研究有限空間區(qū)域： 感興趣感興趣區(qū)域區(qū)域不感興趣區(qū)域不感興趣區(qū)域等效等效源等效源感興趣感興趣區(qū)域區(qū)域2022-2-10126l等效時(shí)，確保全部邊界條件得到滿足；l等效源可在感興趣區(qū)域之外或邊界上；l等效源的構(gòu)成方法不唯一；l如果兩種不同性質(zhì)的源能在所研究區(qū)域內(nèi)給出同樣的解（在這個(gè)區(qū)域之外可能會(huì)給出不同的解） ，則稱它們

21、等效。說(shuō)明說(shuō)明2022-2-10127波和介質(zhì)中的波和介質(zhì)中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應(yīng)的面電流 2022-2-10128電偶極子電偶極子E靜態(tài)電場(chǎng)靜態(tài)電場(chǎng)恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)2022-2-10129磁偶極子磁偶極子Hl不感興趣區(qū)域：包圍小電流環(huán)的小體積l小電流環(huán)和磁偶極子在包圍他們的小體積外場(chǎng)相同l在源的內(nèi)部，二者的磁場(chǎng)指向相反小電小電流環(huán)流環(huán)磁偶磁偶極子極子磁流磁流元元2022-2-10130波和介質(zhì)中的波和介質(zhì)中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應(yīng)的面電流 等效原理的應(yīng)用2022-2-

22、10131鏡像源（鏡像源（1）無(wú)限大理想導(dǎo)體前的電荷2022-2-10132鏡像源（鏡像源（2）無(wú)限大理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體前的偶極子2022-2-10133鏡像源（鏡像源（3）無(wú)限大無(wú)限大理想導(dǎo)磁體（切向磁場(chǎng)趨于理想導(dǎo)磁體（切向磁場(chǎng)趨于0的導(dǎo)磁表面）的導(dǎo)磁表面）前的偶極子前的偶極子2022-2-10134鏡像源（鏡像源（4）平行導(dǎo)電板之間的電偶極子平行導(dǎo)電板之間的電偶極子2022-2-10135波和介質(zhì)中的波和介質(zhì)中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流面電流和面磁流 外加的和感應(yīng)的面電流 2022-2-10136面電流面電流 邊界上切向磁場(chǎng)分量的不連續(xù)引起面電流JsnasJ

23、H繞繞Js的磁場(chǎng)環(huán)路方向服從右手定則的磁場(chǎng)環(huán)路方向服從右手定則2022-2-10137sxsJ Jaxy212jkzsjkzsJ eJ eEaHaxy212jkzsjkzsJ eJ e EaHa面電流（z0）平面波（z0）平面波（z0）平面波（z0和 z0兩個(gè)半空間輻射；Js在z0區(qū)域產(chǎn)生平面波，與入射波結(jié)合，使導(dǎo)體內(nèi)的場(chǎng)為02022-2-10143例例2.平面波在平面波在z軸方向傳播時(shí)的幾種情況：軸方向傳播時(shí)的幾種情況： 電場(chǎng)在電場(chǎng)在x方向，研究方向，研究z0區(qū)域區(qū)域0jkzxE eE01jkzyE eH等效問(wèn)題等效問(wèn)題1：在z0處放置面電流和面磁流0/sxE J0syE M可在z0處產(chǎn)生同

24、樣的場(chǎng)，而在z0處產(chǎn)生同樣的場(chǎng)，而在z0處產(chǎn)生同樣的場(chǎng)，而在z0處場(chǎng)為01jkzyE eH2022-2-10146等效問(wèn)題等效問(wèn)題4：以理想導(dǎo)體代替：以理想導(dǎo)體代替z0處面電流不產(chǎn)生任何場(chǎng)，因?yàn)閷?dǎo)體表面將感應(yīng)有等幅反相的面電流，抵消了外加的Js；在z0處面磁流產(chǎn)生相同的場(chǎng)2022-2-10147關(guān)于等效原理的幾點(diǎn)說(shuō)明：關(guān)于等效原理的幾點(diǎn)說(shuō)明： 在不感興趣的區(qū)域，等效問(wèn)題解是無(wú)意義的； 關(guān)于鏡像法，把“存在有導(dǎo)體時(shí)偶極子的輻射”可以轉(zhuǎn)化為偶極子陣列問(wèn)題； 等效原理的用途等效原理的用途：在應(yīng)用鏡像法時(shí)，能重新建立公式；提供了一種由所研究區(qū)域表面上近似的源分布來(lái)獲得近似解的方法。 惟一性定理保證了這

25、種近似解至少在所研究的區(qū)域內(nèi)是唯一的。CEM2022-2-10 滯后位滯后位-經(jīng)典天線問(wèn)題分析經(jīng)典天線問(wèn)題分析2022-2-10149時(shí)諧場(chǎng)的滯后位時(shí)諧場(chǎng)的滯后位 空間電磁波的場(chǎng)源場(chǎng)源是天線上的時(shí)變電流和電荷時(shí)變電流和電荷，因此輻射問(wèn)題就是求解天線上的場(chǎng)源在其周圍空間所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)分布。 嚴(yán)格地說(shuō)，空間電磁場(chǎng)的求解就是在天線幾何形狀確定的邊界條件下解麥克斯韋方程組，在絕大多數(shù)情況下這顯然是十分困難甚至是不可能的。 因此，輻射問(wèn)題的求解往往采用近似解法，即先近似選取天線上的場(chǎng)源分布，再根據(jù)場(chǎng)源分布求天線輻射場(chǎng)。2022-2-10150時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 根據(jù)天線的場(chǎng)源分布求

26、其輻射空間的電磁場(chǎng)，可采用直接解法和間接解法直接解法和間接解法。 直接解法直接解法就是根據(jù)電磁場(chǎng)的復(fù)矢量和滿足的非齊次矢量亥姆霍茲方程，由天線的電流分布直接求解E和H，這種解法的積分運(yùn)算十分復(fù)雜； 間接解法間接解法就是先由天線上的電流分布求解矢量磁位A，再由E和H與A間的微分關(guān)系求得E和H。這種解法的積分運(yùn)算通常比直接解法要簡(jiǎn)單得多，因此多采用間接解法求解天線的輻射問(wèn)題。2022-2-10151時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 由式（2.102）可知，若自由空間中有限區(qū)域內(nèi)有時(shí)諧的體電流和體電荷分布，則矢量磁位A和標(biāo)量電位V分別滿足以下方程： （6.1) (6.2)式中JAkA0220

27、22VkV2200k 2022-2-10152時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 方程（6.2）在自由空間中任一點(diǎn)處的解可寫成為以下形式： （6.3） 此式代表體積V內(nèi)的體電荷在點(diǎn) 處產(chǎn)生的電位，R是電荷元 到點(diǎn) 處的距離，即 。01( )( )4jkRveV rrdvR( )p r( )r dv( )p rRrr2022-2-10153時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 下面在直角坐標(biāo)系下證明式（6.3）滿足方程(6.2)。 式（6.3）代入方程（6.2 ）2222002201( , )1( , )()()441( , )()(6.4)4jkRjkRvvjkRjkRvx y z

28、ex y z eVk VdvkdvRReex y zkdvRR 2221()()jkRjkRjkReekeRRR 由于2022-2-10154時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）得證 注意到2是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)作用，而體積分是對(duì)源點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)進(jìn)行的 22200011( ,)()41( ,)4()4( , , )(6.6)jkRvjkRvVk Vx y zedvRx y z errdvx y z 2022-2-10155時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 矢量磁位方程（6.1）可分解為三個(gè)標(biāo)量方程，而每個(gè)標(biāo)量方程都同方程（6.2)類似，其解的形式也類似。 若時(shí)諧電流以體

29、電流密度 分布在有限體積V中，則此體電流在場(chǎng)點(diǎn) 處產(chǎn)生的矢量磁位A為J( )p r0( )( )4jkRvJ r eA rdvR(6.7) 2022-2-10156時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)） 式 (6.7) 就是矢量磁位方程（6.1）在自由空間中場(chǎng)點(diǎn) 處的解。 由式(6.7)和(6.3)容易得到A和V的瞬時(shí)表達(dá)式為( )p r(6.8) 0( )cos ()( , )4vRJ rtvA r tdvR0( )cos ()1( )4vRrtvV rdvR (6.9) 2022-2-10157 式中相位因子 表明，自由空間中離開(kāi)源點(diǎn)為R的觀察點(diǎn)在某一時(shí)刻t的位場(chǎng)A和V是由時(shí)諧電流和電荷

30、激發(fā)的，但它并不取決于同一時(shí)刻t的電流源和電荷源，而是取決于時(shí)刻 (t-R/v) 的源。 換言之，觀察點(diǎn)的位場(chǎng)變化滯后于波源的變化，滯后時(shí)間為R/v，這個(gè)時(shí)間即是電磁波在自由空間中傳播距離r所需的時(shí)間。 因此，通常稱A為滯后矢量磁位，V為滯后標(biāo)量電位。時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）cos ()tR v2022-2-10158 根據(jù)時(shí)諧電流源解得A后，即可按以下兩式確定E和H （推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)p.39 (2-76式2-78式)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）時(shí)諧場(chǎng)的滯后位（續(xù)）（6.10） (6.11) 00)(AjAjE)(10AH 這正是式這正是式(2.78)和和(2.76b)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式的復(fù)

31、數(shù)表達(dá)形式 CEM2022-2-10導(dǎo)波系統(tǒng)分析導(dǎo)波系統(tǒng)分析波導(dǎo)問(wèn)題2022-2-10160柱形傳輸系統(tǒng)的導(dǎo)波及其特性柱形傳輸系統(tǒng)的導(dǎo)波及其特性柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)2022-2-10161柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)廣義正交坐標(biāo)系：z軸與規(guī)則傳輸系統(tǒng)的軸線相重合 u、v是規(guī)則傳輸系統(tǒng)橫截面上的曲線坐標(biāo)、直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)2022-2-10162圖5.2 規(guī)則柱形傳輸系統(tǒng)及其坐標(biāo)系2022-2-10163柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）廣義正交坐標(biāo)系下分析規(guī)則傳輸系統(tǒng)的常用方法：縱向場(chǎng)法縱向場(chǎng)法 赫茲矢量位法2022-2-10164邊界條件邊界條件柱形傳

32、輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）縱向場(chǎng)法縱向場(chǎng)法依據(jù)：規(guī)則傳輸系統(tǒng)的邊界形狀和尺寸沿其軸向不變E、H的的矢量亥姆矢量亥姆霍茲方程霍茲方程只含電場(chǎng)縱向分量的標(biāo)量亥姆霍茲方程只含磁場(chǎng)縱向分量的標(biāo)量亥姆霍茲方程場(chǎng)縱向分量場(chǎng)橫向分量分分離離2022-2-10165柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）假定： 規(guī)則傳輸系統(tǒng)內(nèi)填充的媒質(zhì)均勻、線性、各向同性； 傳輸系統(tǒng)內(nèi)無(wú)自由電荷和傳導(dǎo)電流； 場(chǎng)為時(shí)諧場(chǎng)。則復(fù)矢量E和H滿足齊次矢量亥姆霍茲方程2222( , , )( , , )0( , , )( , , )0u v zku v zu v zku v zEEHH2022-

33、2-10166柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）復(fù)矢量E和H分解為橫向分量橫向分量和縱向分量縱向分量( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )zzu v zu v zau v zu v zu v zau v ztztzEEEHHH2022-2-10167 將電場(chǎng)和磁場(chǎng)分解為橫向分量和縱向分量，代入方程 (5.3a) (5.3b) (5.4a) (5.4b)222222220000zzzzttttEkEHkHkkEEHH 柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）2022-2-10168 正交柱坐標(biāo)系電磁場(chǎng)的正交柱坐標(biāo)

34、系電磁場(chǎng)的縱向分量、橫向分縱向分量、橫向分量量分別滿足標(biāo)量、矢量亥姆霍茲方程分別滿足標(biāo)量、矢量亥姆霍茲方程 除直角坐標(biāo)系外，除直角坐標(biāo)系外，(5.4)不能再分解為兩個(gè)不能再分解為兩個(gè)(5.3) (5.3)和特定邊界條件聯(lián)合求解和特定邊界條件聯(lián)合求解Ez、Hz 由由Ez、Hz求出橫向分量求出橫向分量Et、Ht柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）2022-2-10169拉普拉斯算符可分解為222222tztz 柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）Z的度量因子h31，u、v的度量因子與z無(wú)關(guān)121 221()()()0hhhhz hz hz橫向拉普拉斯算子橫向

35、拉普拉斯算子2022-2-10170將方程(5.3a)分離變量，令 (5.7) 將(5.7)和(5.6)兩式代入方程(5.3a)并整理，可得 (5.8) zZTEzZvuEzvuEzzz, TEkTEdzzZdzZztz222211柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）縱向場(chǎng)分量的縱向場(chǎng)分量的橫向分布橫向分布縱向場(chǎng)分量的縱向場(chǎng)分量的縱向分布縱向分布2022-2-10171顯然只有（58）式左、右兩端都等于某一常數(shù)該式才能成立。令此常數(shù)為 ，則得 (5.9a) (5.9b) 0222TEkTEzzt 0222zZdzzZd2柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）2022-2-10172同樣可得 的兩個(gè)方程為 (5.10a) (5.10b) 2220tzzHTkHT 0222zZdzzZdzH柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）2022-2-10173若在(5.9)和(5.10)兩方程中，令 ,則有 (5.11a) (5.11b)222 kkc 022TEkTEzczt 022THkTHzczt柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)（續(xù)）2022-2-10174在圖5.2所示的正交坐標(biāo)系中， 為將上式代入(5.11)式，得 (5.12)