三垂線定理及其逆定理-教案

1、教案：三垂線定理及其逆定理（復(fù)習(xí)課）（教材：人教版全日制普通高級中學(xué)（必修）數(shù)學(xué)第二冊（下A） （課教師：貴州省實驗中學(xué) 李仕魁）課題：三垂線定理及其逆定理（復(fù)習(xí)課）教學(xué)目的：1、知識目標(biāo)：進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理。 2、能力目標(biāo)：（1）理解三垂線定理及其逆定理之間的關(guān)系，掌握三垂線定理及其逆定理應(yīng)用的規(guī)律；（2）善于在復(fù)雜圖形中分離出適用的直線用于解題；（3）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、思維能力和解決問題的能力3、德育目標(biāo)：通過強化訓(xùn)練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)重點：進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來解有關(guān)的題教學(xué)難點：對復(fù)雜圖形如何分離出符合定理的條件用以解

2、題以及解決問題的能力的培養(yǎng)授課類型：復(fù)習(xí)課教學(xué)模式：講練結(jié)合 教學(xué)過程：環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)導(dǎo)入教師給出三垂線定理及其逆定理，然后提出問題：三垂線定理及其逆定理彼此獨立嗎？它們的位置能不能交換一下？ （引發(fā)學(xué)生對三垂線定理及其逆定理的關(guān)系的思考，分析三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容）環(huán)節(jié)2：三垂線定理及其逆定理的剖析1、認(rèn)識三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。問題：正定理研究的是哪兩條線的垂直關(guān)系？它是如何解決的？解決問題的主要思想使什么？設(shè)置目的：讓學(xué)生通過分析得出三垂線定理是通過判斷平面內(nèi)的直線與斜線在平面內(nèi)的射影垂直來得到這條直線與斜線的垂直關(guān)

3、系，即 線射垂直 線斜垂直 （平面問題） （空間問題） 從而讓學(xué)生體會三垂線定理中蘊含的降維思想：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。2、認(rèn)識三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。問題：逆定理研究的又是哪兩條直線的垂直關(guān)系？它又是如何解決的？設(shè)置目的：讓學(xué)生類比三垂線定理的分析思路得出三垂線定理的已知和結(jié)論： 線斜垂直 線射垂直 （空間問題） （平面問題）教師再引導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)學(xué)思想：把空間中的條件歸結(jié)到同一個平面中，這在解題中是非常重要的，把已知條件相對集中是解題的第一步。3、討論正定理與逆定理的關(guān)系： 正定理線射垂直 線斜垂直 （平面

4、問題） 逆定理 （空間問題）從而得出兩個定理的關(guān)系： （教師板書）正定理：線射垂直線斜垂直（先平面后空間） 逆定理：線斜垂直線射垂直（先空間后平面）4、總結(jié)應(yīng)用兩個定理解題的一般步驟教師引導(dǎo)學(xué)生通過對定理內(nèi)容的再認(rèn)識，提取應(yīng)用兩個定理解題的一般步驟。（出示幻燈片）基準(zhǔn)平面主線垂線正定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。定 定 找逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。環(huán)節(jié)3、定理應(yīng)用舉例 應(yīng)用一、證明線線垂直例1、判斷下列命題的真假：（1）若a是平面的斜線，直線b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab

5、（ ）（2）若 a是平面的斜線，平面內(nèi)的直線b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）（3）若a是平面的斜線，直線b 且b垂直于a在另一平面內(nèi)的射影，則ab （ ）（4）若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）設(shè)置目的：加深學(xué)生對兩個定理的認(rèn)識，明確定理使用的條件，同時讓學(xué)生能較好地理解三垂線定理及其逆定理中五個元素“一面四線”之間的關(guān)系。教學(xué)安排：安排四個學(xué)生口答，教師組織其他學(xué)生討論，教師點評強調(diào)運用定理時需要注意的地方。例2、已知P 是平面ABC 外一點， PA平面ABC ，AC BC， 求證： PC BC。設(shè)置目的：讓學(xué)生逐步掌握應(yīng)用定理證明兩條直線垂直的

6、一般步驟，鞏固學(xué)生對兩個定理的認(rèn)識；通過對問題的解決讓學(xué)生能夠區(qū)分正定理和逆定理，在解題時能夠正確的選用；題中沒有配圖，讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)已知信息畫出幾何圖形。教學(xué)安排：教師先給出題干部分，讓學(xué)生根據(jù)已知信息畫出幾何圖形，教師再給出問題。由于題目并不難，可以由學(xué)生討論解決，但這里主要是組織學(xué)生對運用三垂線定理解題的步驟的歸納。例3、在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD，求證：ADBC。設(shè)置目的：進(jìn)一步加深學(xué)生對運用定理解題時的解題步驟地理解和掌握；讓學(xué)生在解題中逐步學(xué)會通過尋找垂線來實現(xiàn)兩種線線垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，ADBC是空間兩條直線的垂直，通過正定理可以把它轉(zhuǎn)化為基準(zhǔn)平面內(nèi)的線線垂直問題

7、，再利用逆定理把已知中的異面垂直關(guān)系集中到基準(zhǔn)平面內(nèi)，實現(xiàn)已知與未知的對接。教學(xué)安排：學(xué)生討論完成，教師歸納方法。應(yīng)用二、作出二面角的平面角問題1：我們知道利用幾何法求二面角的大小時第一步就是要作出二面角的平面角，那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教學(xué)安排：學(xué)生討論，歸納出求作二面角平面角的三種方法即定義法（、垂面法、垂線法。問題2：為什么利用三垂線定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（讓學(xué)生再次認(rèn)識三垂線定理及其逆定理的結(jié)論，同時鞏固學(xué)生對二面角的平面角定義的理解）教學(xué)安排：教師展示利用三垂線定理及其逆定理求作二面角的平面角的過程，其中重點是構(gòu)造另一個半平面。教師動畫展示過程：平移平

8、面內(nèi)的直線a與斜線PO相交，從而利用相交直線作出平面，產(chǎn)生二面角，此時斜線PO與射影AO就形成了二面角的平面角。教師再點明問題中主線就是二面角的棱。 P P P a A a A O A O A O 例4、在四棱錐P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD =DC，求二面角C PB D的大小。設(shè)置目的：讓學(xué)生熟悉利用三垂線定理及其逆定理求作二面角的平面角的基本方法，讓學(xué)生體會到三垂線定理及其逆定理在求解二面角問題中的應(yīng)用。教師安排：讓學(xué)生思考后討論解法，教師板書示范，這里強調(diào)幾何證法。環(huán)節(jié)4、課堂小結(jié)問題：今天，我們研究了哪些問題？（學(xué)生討論，歸納總結(jié)這節(jié)課的研究的主要內(nèi)容，教師出示幻燈片） v1、認(rèn)識三垂線定理與其逆定理的內(nèi)容和關(guān)系： 正定理：線射垂直線斜垂直（先平面，后空間）逆定理：線斜垂直線射垂直（先空間，后平面）2、利用兩個定理解題的基本思路：定基準(zhǔn)平面定主線找垂線3、兩個定理的主要應(yīng)用：（1）證明線線垂直；（2）尋找二面角的平面角。環(huán)節(jié)5、布置課外作業(yè) （出示幻燈片） 在四棱錐P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD =DC，E 是P