指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1 根式(1) 根式的概念根式的概念付號表示備注如果x a，那么x叫做a的n次方根n 1且 n N當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次 方根是一個負數(shù)零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反 數(shù)揚(a 0)負數(shù)沒有偶次方根(2) 兩個重要公式an為奇數(shù)n ana(a 0)| a |n為偶數(shù)a(a 0)(n a)n a (注意a必須使n a有意義)。2 有理數(shù)指數(shù)幕(1 )幕的有關(guān)概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕m：annam(a0,m、n N ,且 n1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕1man1(a 0, m nn

2、m 'aN ,且 n 1)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義注：分數(shù)指數(shù)幕與根式可以互化，通常利用分數(shù)指數(shù)幕進行根式的運算。(2 )有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì) aras=a r+s (a>0,r、s Q); (ar)s=a rs(a>0,r、s Q); (ab) r=arbs(a>0,b>0,r Q);.3 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象尸7定義域R值域(0 , + )性質(zhì)(1 )過定點(0, 1)(2 )當(dāng) x>0 時，y>1;x<0 時,0<y<1(2)當(dāng) x>0 時，0<y

3、<1;x<0 時,y>1在(-,+)上是增函數(shù)(3 )在(-,+)上是減函數(shù)注：如下圖，是指數(shù)函數(shù)(1 ) y=ax, (2) y=b x, (3) ,y=c x (4) ,y=d x的圖象，如何 確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系？12 >(3)X提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d 1>1>a 1>b 1,c>d>1>a>b 。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大。(二) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念(1) 對數(shù)的定義xN如果a N(a 0且a 1)，那么數(shù)x

4、叫做以a為底，N的對數(shù)，記作x loga ,其中a 叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。(2) 幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a a 0,且a 11 NlOga常用對數(shù)底數(shù)為10lg N自然對數(shù)底數(shù)為eln N2、對數(shù)的性質(zhì)與運算法那么1 對數(shù)的性質(zhì)a0,且a 1 ): log aa| N0 , log a 1 , a'°9aaNlog a N 。2 對數(shù)的重要公式:換底公式：logbNlo%a,b均為大于零且不等于1,N0；logalogab蠱。3對數(shù)的運算法那么:如果a 0,且aM 0,N0那么 l°ga(MN )log aM log a'°

5、;9a M '°9 a N log a M nn log a M (n R)； log m bn loga b。a m3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a 10 a 1I卩?圖IJ象/ 一J t /匚毗 j * A° ；- jT丨1內(nèi)1廠輝川gm性千1 定義域：0,+質(zhì)2值域：R3 當(dāng)x=1時，y=0即過定點1，0(4)當(dāng) 0 x 1 時，y (,0)；(4 )當(dāng) x 1 時，y (,0)；當(dāng) x 1 時，y (0,)當(dāng) 0 x 1 時，y (0,)5在0,+上為增函數(shù)5 在0,+上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù) a，b，c，d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=1，該直線與四

6、個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。二 0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=log ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。三幕函數(shù)1、幕函數(shù)的定義形如y=x aa R的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)幕函數(shù)的自變量在底數(shù)位置， 而注：幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同, 指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、幕函數(shù)的圖象注：在上圖第一象限中如何確定y=x 3, y=x2,y=x ,1x2,y=x-1方法：可畫出 x=x 0 ；當(dāng)xo>1時，按交點的上下，從高到低依次為3-y=x , y=x ,y=x ,

7、ix2-1y=x ；當(dāng)0<X0<1時，按交點的上下，從高到低依次為y=x-1, y1x2,y=x , y=x 2, y=x 3。3、幕函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x 2y=x 31 y乜y=x -1定義域RRR0, )x| x R且x 0值域R0, )R0, )y | y R且 y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0 ,)時，增；x (,0時，減增增x (0,+)時，減；x (-,0)時，減定點(1 , 1)三：例題詮釋，舉一反三知識點1:指數(shù)幕的化簡與求值例 1.(2007育才A(1)計算:2(3 3)喝)。5(0.008)1 1(0.02) 2(0.32)20.0625°

8、.25變式:(1)化簡:(200741a3 8a3b2 24b323 ab a32(a 323 b)a'a Va2執(zhí)信A化簡以下各式2(a3 b1)2 a2 b3.11.5 33b2 (13a2b1)其中各字母均為正數(shù)(4a3 b3)2.7、00.256) 8知識點2 :指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2.2021廣附A實數(shù)a、b1滿足等式23b，以下五個關(guān)系式: 0 v b v a; a vb v 0;0 v a v b;b v a v 0;a=b.A.1個B.2個其中不可能成立的關(guān)系式有C.3個D.4變式：2021華附A假設(shè)直線y2a與函數(shù)11 a 0且a 1的圖象有兩個公共點，貝U a的取

9、值范圍是 知識點3 :指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例3.(2021省實(I)求b的值；(n)判斷函數(shù)f(出)假設(shè)對任意的變式：(2021東莞B)1 求 a的值;定義域為R的函數(shù)f (x)x .2 b一是奇函數(shù)。22X1的單調(diào)性；R，不等式ft22tf (2t2k)0恒成立，求k的取值范圍.exB)設(shè) a > 0,f(x)= _aaH是R上的偶函數(shù).2求證：fx在0, + g上是增函數(shù). 知識點4 :對數(shù)式的化簡與求值例 4. 2021 云浮 A計算：1 log2 32 J32(lg 2 )2+lg , 2 lg5+、(lg .2)2 Ig 2 1 ;2lg49-4lg 8+lg 245.變式:2021

10、惠州A化簡求值.log 27 +log 212- 1 log 242-1;482(lg2) 2+lg2 lg50+lg25;(log 32+log 92) (log 4 3+log 83).(1 )(2)(3)知識點5 :對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例5. (2021深圳A)對于01 loga(1 a) log a (a -);aa 1，給出以下四個不等式：1 loga1 aloga1 一;aa1 a1 a a1其中成立的是與B與C與D與變式:1(2021 韶關(guān) A) 0 v av 1,b > 1,ab > 1，貝U loga -，log ab,log b1b的大小關(guān)系是bA.logC. log

11、a bloga b logb1b111logb logad. logb logbbbB. logablog1 logb1 b blogab例6. (2021廣州B )函數(shù)f(x)=log ax(a >0,a豐1)，如果對于任意 x 3 , + 都有|f(x)|> 1成立，試求a的取值范圍.變式：2021 廣雅B 函數(shù)f x =log 2x2-ax-a在區(qū)間-m,1- 3 上是單調(diào)遞 減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.12,丄，在幕函數(shù)gx的圖4知識點6 :幕函數(shù)的圖象及應(yīng)用例7.2021 佛山B點.2,2在幕函數(shù)fx的圖象上，點 象上.問當(dāng) x 為何值時有：(1) f(x) g(x) ；

12、 (2) f(x) g(x) ； (3) f(x) g(x).2變式：2021揭陽B 幕函數(shù)fx=x m 2m3 m Z 為偶函數(shù)，且在區(qū)間0, + 上是單調(diào)減函數(shù).1求函數(shù)fx;(2)討論 F (x) =a , f (x)bxf (x)的奇偶性.四：方向預(yù)測、勝利在望1 x1 . (A)函數(shù)f(x) Ig的定義域為()x 4A (1 , 4) B . 1 , 4)C . ( a, 1) U (4 ,+s )D . (a，1 U (4 ,+a )2. ( A)以下四個數(shù)中的最大者是()(A) (ln2)(B) ln(ln2)(C) In 、2(D) In213 (B )設(shè)a>1，函數(shù)f(

13、x)=log ax在區(qū)間a,2a 上的最大值與最小值之差為，那么a=()2A. RQP B. PRQ C.(A) log 1 b log1 a log1 c，那么(2 2 2A. 2b 2a2cB. 2a 2bP D. R2cC. 2c 2b2a2 c ?a2b(A) . 2(B ) 2( C) 2 2(D) 44.(A)f (x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1 時，f (x) lg x.設(shè)6a f( ),b535f( ),c f(),那么(22)(A) a bc(B) b a c2ex 1,x 2,(C) c b a(D) cab5.(B)設(shè) f(x)=2那么不等式f(x)>2的解集為(

14、)log3(x 1),x2,(A) (1 , 2 )(3 , +a)(B) ( . 10 , +a)(C) (1 , 2 )(10, +a)(D) (1 , 2)6 .(A)設(shè) P log23, Q log32 , Rlog2(log3 2)，那么()(a ) f(x)sin x(B)f(x)x1(C) f(x)-(a a )(D)f(x)ln22x2x9. (A)函數(shù)yJlog,3x 2)的定義域是：()A 1,)B (f,)c3,1Dd,110.(A)函數(shù)ylog1 X 與 ykx的圖象有公共點A ,且點A的橫坐標(biāo)為2，那么k ()8 . (B)以下函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間1,1上單調(diào)遞

15、減的是()(A) loga(xy) 0(B) 0 loga(xy) 11A.4B .414C .121D .-211 .(B )假設(shè)函數(shù)f (x)x ab1(a0且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，那么一定有()A. 0 a1且b0B.a1且b0C. 0 a1且 b0D.a1且b012 .(B)假設(shè)函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間a, 2a上的最大值是最小值的3倍，那么a=()<2A.B.21c.1D.424213.(A) 0 v x v yv a v 1，那么有()16(A)函數(shù)y料的定義域是17 .1(B)函數(shù)y ax(a0，a 1)的圖象恒過定點 A，假設(shè)點A在直線mxny1

16、0(m n0) 上,那么1 1的最小值為m nex,x0.r 118 .(A)設(shè) g(x)0.那么 g(g(；)ln x,x2(C) 1log a (xy)14. (A) f(x6)4(A)315 . ( B )函數(shù) y = lg|x|A .是偶函數(shù)，在區(qū)間C .是奇函數(shù)，在區(qū)間log 2(B)(D)x，那么log a(xy) 2f(8)等于(C)181(D)-2()(g, 0)上單調(diào)遞增(0,+ )上單調(diào)遞增B .是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8, 0)上單調(diào)遞減D .是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減219 . ( B )假設(shè)函數(shù)f(x) = <2x 2ax a 1的定義域為R，那么a的取值

17、范圍為 20 . (B)假設(shè)函數(shù) f (x) loga(xx22a2)是奇函數(shù)，那么 a=.11 x21.(B)函數(shù)f(x) log2 ，求函數(shù)f(x)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)x1 x性.1 16b3 (a3b32)7 124842 2例1.解:22(1 )(2) a95 1232515 Jab變式:解：(1)41，ab32)4ab2 . (3)110例2.解:B變式:解:1(0,1)；2例3.解:(I) b1(n；)減函數(shù)。(川)變式:解:(1) a=1.(2 )略例4.解:(1 ) -1.(2) 1.1(3) 1.2變式:|解：3 32(1) 3(2) 2.5(3)-2 224例5

18、.解:選D。變式:解:C參考答案：三：例題詮釋，舉一反三log 21例 6解：(1 , 3 U - , 1 )3變式：解：a|2-2.- < a v2例7.解：(1 )當(dāng)x 1或x 1時，f (x) g(x)；(2 )當(dāng)i x1 時，f (x) g(x)；(-)當(dāng)i 1x 1且x 0時，f(x) g(x).變式：解：(1)f(x)=x -4.(2) F(x)=2 bx ,F (-x ) =4,+bx 3.xx當(dāng)a豐0 ,且b工0時，F(xiàn)(x )為非奇非偶函數(shù)當(dāng)a=0,b豐0時，F(xiàn) (x)為奇函數(shù)； 當(dāng) 當(dāng)四：方向預(yù)測、勝利在望1 5 ADDDC ;F (x)為偶函數(shù)；F (x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)16.a 豐 0,b=0 時， a=0,b=0 時，6 10 AADDA ;11 15 CADDB.(-,3)(3,4)17.418119.-1,020.22x0，由 1解x須滿足1xX0得1 x 1,0 1X1x所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,0 )U(0, 1 ).因為函數(shù)f (x)的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有11X11 X