正方形的性質(zhì)及判定

1、正方形的性質(zhì)與判定戢雌中考要求板塊名稱中考考試要求層次ABC正方形會識別正方形掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，會 用正方形的性質(zhì)和判定解決簡單冋題會用正方形的知識解決有關(guān) 問題知識點(diǎn)睛1 正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.2 .正方形的性質(zhì)正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形它具有前三者的所有性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊都相等. 角的性質(zhì)：四個角都是直角. 對角線性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相等，？每條對角線平分一組對角. 對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關(guān)系：如圖3. 正方形的判定判定：有一組鄰邊相等的

2、矩形是正方形. 判定：有一個角是直角的菱形是正方形.guilt 教學(xué)目標(biāo)1. 掌握正方形的定義和性質(zhì)，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系2. 掌握正方形的判定方法并能在解題中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā?. 提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力。4. 通過分析概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義觀點(diǎn)/ I. i ©重、難點(diǎn)重點(diǎn)：知曉正方形的性質(zhì)和正方形的判定方法。 難點(diǎn)：正方形知識的靈活應(yīng)用21M眶例題精講-、正方形的性質(zhì)【鋪墊】正方形有條對稱軸.【例1】正方形BDEF的邊長是正方形 ABCD的對角線，那么S正方形BDEF: S正方形ABCD 如圖，正方形 ABCD的面積為256，點(diǎn)F在

3、CD上，點(diǎn)E在CB的延長線上，且AE AF , AF 20，那么BE的長為如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，假設(shè)AG 1， BF 2， GEF 90，那么GF的長為.【例2】將n個邊長都為1cm的正方形按如下列圖擺放，點(diǎn)A , A2，An分別是正方形的中心，那么n個正方形重疊形成的重疊局部的面積和為Ai【例3】如圖，正方形 ABCD的邊長為2cm，以B為圓心， 接CE , P是CE上任意一點(diǎn)， PM BC于M , PNBC長為半徑畫弧交對角線 BD于點(diǎn)E，連BD于N，那么PM PN的值為【鋪墊】如圖， E是正方形ABCD對角線BD上的一點(diǎn)，求證： AE

4、 CE .【例4】 如圖，P為正方形ABCD對角線上一點(diǎn)， PE BC于E , PF CD于F .求證：AP EF .【穩(wěn)固】 如下列圖，正方形ABCD對角線AC與BD相交于0 , MN / AB，且分別與AO、BO交于M、N .試 探討B(tài)M與CN之間的關(guān)系，寫出你所得到的結(jié)論的證明過程.【穩(wěn)固】如圖，P是正方形ABCD的一點(diǎn)，且 ABP為等邊三角形，那么DCP【例5】BEF是等正方形 ABCD，在AD、AC上分別取 E、F兩點(diǎn)，使 ED ： AD 2FC : AC，求證: 腰直角三角形.【例6】 如圖，E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，AE、AF分別與對角線 BD相交于M、N

5、，假設(shè) EAF 50，那么 CME CNF .【例7】 如圖，四邊形 ABCD為正方形，以 AB為邊向正方形外作正方形 ABE , CE與BD相交于點(diǎn)F , 那么 AFD【例8】 如圖，正方形 ABCD中，在AD的延長線上取點(diǎn) E , F ,使DE AD , DF BD .連結(jié)BF分別 交CD , CE于H , G .求證：GHD是等腰三角形.【穩(wěn)固】 如圖，過正方形頂點(diǎn) A引AE II BD，且BE BD .假設(shè)BE與AD的延長線的交點(diǎn)為 F ,求證 DF DE .【例9】 如下列圖，在正方形 ABCD中，AK、AN是 A的兩條射線，BK AK , BL AN , DM AK , DN AN

6、，求證 KL MN , KL MN .【穩(wěn)固】 如圖，正方形 ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE, DG，求證：BE DG .【例10】2007年三帆中學(xué)期中考試如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上的一點(diǎn)，CE CF , FDC 30，求 BEF的度數(shù).【穩(wěn)固】:如圖，在正方形 ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長 BC到E，使CE CG，連接BG并延長 交DE于F .1求證： BCG 也 DCE ;2將 DCE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90得到 DAE，判斷四邊形E BGD是什么特殊四邊形？并說明 理由.【例11】假設(shè)正方形ABCD的邊長為4 , E為BC邊上一

7、點(diǎn)，BE 3 , M為線段AE上一點(diǎn)，射線 BM交 正方形的一邊于點(diǎn) F，且BF AE，那么BM的長為.【例12】如圖1，在正方形 ABCD中，E、F、G、H分別為邊 AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),HA EB FC GD，連接 EG、FH，交點(diǎn)為 0 .如圖2,連接EF ,FG,GH , HE，試判斷四邊形 EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論； 將正方形ABCD沿線段EG、HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形.假設(shè)正方形 ABCD的邊長為3cm , HA EB FC GD 1cm，那么圖3中陰影局部 的面積為cm2 .AE B圖2圖30，點(diǎn)P、Q分別是BC、CD上的點(diǎn)，AQ

8、DP，求證:【穩(wěn)固】 如圖，正方形 ABCD對角線相交于點(diǎn)1OP 0Q ; 2OP 0Q .【例13】如圖，正方形 ABCD中，E , F是AB, BC邊上兩點(diǎn)，且 EF AE FC , DG EF于G，求證:DG DA【穩(wěn)固】 如圖，點(diǎn)M , N分別在正方形 ABCD的邊BC, CD 上, MCN的周長等于正方形 ABCD周長的一 半，求 MAN的度數(shù)【穩(wěn)固】 如圖，設(shè)EF II正方形ABCD的對角線AC，在DA延長線上取一點(diǎn) G，使AG AD , EG與DF 交于H，求證：AH 正方形的邊長.【例14】把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H 如圖

9、試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想.【例15】如下列圖，在直角梯形 ABCD中，AD / BC , ADC 90 ,1是AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M , 以腰AB為邊作正方形 ABFE，作EP I于點(diǎn)P，求證2EP AD 2CD .二、正方形的判定【例16】四邊形ABCD的四個角的平分線兩兩相交又形成一個四邊形EFGH四邊形EFGH對角互補(bǔ)；假設(shè)四邊形 ABCD為平行四邊形，那么四邊形 EFGH為矩形. 四邊形ABCD為長方形，那么四邊形 EFGH為正方形.，求證:【穩(wěn)固】如圖，平行四邊形 ABCD中，對角線AC 邊三角形. 求證：四邊形 ABCD是菱形；假設(shè) A

10、ED 2 EAD，求證：四邊形、BD交于點(diǎn)0 ,ABCD是正方形.【穩(wěn)固】：如圖，在 ABC中，AB AC , AD BC，垂足為點(diǎn)D , AN是 ABC外角 CAM的平分線, CE AN，垂足為點(diǎn)E .求證：四邊形ADCE為矩形； 當(dāng) ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCE是一個正方形？并給出證明.【例17】如圖，點(diǎn) M是矩形 ABCD邊AD的中點(diǎn)，2AB AD，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)， PE MC ,PF BM，垂足分別為 E、F ,求點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形 PEMF為正方形.【例18】如圖，ABCD是邊長為1的正方形，EFGH是接于ABCD的正方形，AE a, AF b，假設(shè)2Sef

11、gh _,那么 |b a =3【例19】如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7cm2和11cm2，那么 CDE的面積為E【穩(wěn)固】如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)P , P為正方形的兩點(diǎn)，且 PB PD, RB AB , CBP PBP , 那么 BRP【例20】如圖，假設(shè)在平行四邊形 為頂點(diǎn)組成一個正方形.ABCD各邊上向平行四邊形的外側(cè)作正方形，求證：以四個正方形中心匚M【例21】: PA 近,PB 4，以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè). 1如圖，當(dāng)/ APB=5°時，求 AB與PD的長；2當(dāng)/ APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，與相應(yīng)/ APB的大小.DMl課后練習(xí)1. 如圖，正方形 ABCD中，O是對角線AC,BD的交點(diǎn)，過點(diǎn) O作OE OF ,分別交AB, CD于