復變函數(shù)第三單元復數(shù)3復變函數(shù)積分

1、1CH 3 復變函數(shù)的積分 1 1、復變函數(shù)積分的概念、復變函數(shù)積分的概念 2 2、柯西柯西- -古薩基本定理古薩基本定理 3 3、基本定理的推廣、基本定理的推廣 4 4、原函數(shù)與不定積分、原函數(shù)與不定積分 5 5、柯西積分公式、柯西積分公式 6 6、解析函數(shù)的高階導數(shù)、解析函數(shù)的高階導數(shù) 7 7、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2 2009, Henan Polytechnic University23.1 3.1 復變函數(shù)積分的概念復變函數(shù)積分的概念& 4. 積分存在的條件及其計算法積分存在的條件及其計算法& 3. 積分性質(zhì)積分性質(zhì)& 2. 積分的

2、定義積分的定義& 1. 有向曲線有向曲線3 2009, Henan Polytechnic University31. 有向曲線有向曲線0)( )( ,)( )( )()()(:22 tytxCtytxttyytxxC且且、設(shè)設(shè) )1()()()()(: ttiytxtzC0)( )( tztz連續(xù)且連續(xù)且.平平面面上上的的一一條條光光滑滑曲曲線線zC 光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲線線約約定定 C:).(因因而而可可求求長長4 2009, Henan Polytechnic University4左左邊邊。的的內(nèi)內(nèi)部部一一直直在在觀觀察察者者的的一一周周前前進進觀觀察察者者順順此此

3、方方向向沿沿正正方方向向閉閉曲曲線線CC,: :的的方方向向規(guī)規(guī)定定CCA(起點起點)B(終點終點)CC;,: Cabbaba記記作作為為負負則則為為正正若若終終點點指指定定起起點點開開曲曲線線5 2009, Henan Polytechnic University5 2. 積分的定義積分的定義BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段個個任任意意分分劃劃成成將將kkkkkzfzz )()4(1 作作乘乘積積max,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS 的的長長度度為為記記作作和和式式Dzzfw )()1(設(shè)設(shè)定義定義.)2(的一條光滑有向曲線的一條光滑有向曲

4、線點點內(nèi)點內(nèi)點為區(qū)域為區(qū)域BADCDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz 6 2009, Henan Polytechnic University6)2()(lim1)(0Izfnkkkn 若若如如何何取取無無論論如如何何分分割割iC , CdzzfBACzf)(,)()(記記作作的的積積分分從從沿沿曲曲線線為為則則稱稱)3()(lim)(1 nkkknCzfdzzf 即即A CdzzfC)()1(記記作作若若閉閉曲曲線線 baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(,:)2(則則取取極極限限求求和和取取乘乘積積分分割割7 2009, Henan Polytechnic

5、University72,)1(22abzdzabdzbaCCC 則則的的任任一一曲曲線線表表示示連連接接點點若若特特例例：0, 0,)2( CCzdzdzC則則表表示示閉閉曲曲線線若若關(guān)關(guān)。和和的的形形狀狀還還不不僅僅因因為為一一般般不不能能寫寫成成存存在在如如果果方方向向有有與與曲曲線線有有關(guān)關(guān), ,與與 . ., ,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3( 8 2009, Henan Polytechnic University8 nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲線線.)()()()(,)5估估值值定定理理上上滿滿足足在在

6、函函數(shù)數(shù)的的長長度度為為設(shè)設(shè) MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 3. 積分性質(zhì)積分性質(zhì) CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由積分定義得：由積分定義得：9 2009, Henan Polytechnic University94. 積分存在的條件及其計算法積分存在的條件及其計算法 CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存存在在即即可可積積必必沿沿上上連連續(xù)續(xù)時時在在光光滑滑曲曲線線當當定理定理)4()( CCCudyvdxivdyudxdzzf且且.)(積積分分來來計

7、計算算實實變變函函數(shù)數(shù)的的可可通通過過二二個個二二元元這這個個定定理理表表明明第第二二型型曲曲線線 CdzzfA Cidydxivu)(記記憶憶10 2009, Henan Polytechnic University10kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令)5(),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)(),(),( ),(),()(limlim1 證明

8、證明.0實函數(shù)的曲線積分實函數(shù)的曲線積分時，均是時，均是當當 11 2009, Henan Polytechnic University11!),(),( ),(),( 存存在在、 CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都都故故上上連連續(xù)續(xù)在在上上連連續(xù)續(xù)在在CyxvyxuCzf),(),(,)(A Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),(一一定定存存在在。是是光光滑滑曲曲線線時時，函函數(shù)數(shù)是是：當當推推論論 cdzzfCzf)(,)(1連連續(xù)續(xù)線線積積分分來來計計算算。數(shù)數(shù)的的可可以以通通過過兩兩個個二二元元實實函函：推推論論 cdzzf)(212 20

9、09, Henan Polytechnic University12 )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(終終起起終終起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )( )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線由曲線積分的計算法得由曲線積分的計算法得)6()( )()( dttztzfdzzfC13 2009, Henan Polytechnic University13)10(43: ttytxOAzd

10、zC計計算算例例1 10)43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti 解解 CCidydxiyxzdz)(,無無關(guān)關(guān)右右邊邊兩兩個個積積分分都都與與路路徑徑容容易易驗驗證證2)43(21)(:idzzfCOAC ，其其上上積積分分的的曲曲線線連連接接 CCxdyydxiydyxdx又解又解Aoxy14 2009, Henan Polytechnic University14.,)(010為為整整數(shù)數(shù)為為半半徑徑的的正正向向圓圓周周為為中中心心表表示示以以這這里里計計算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)

11、sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)( 20)1(1derirenini15 2009, Henan Polytechnic University15 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn .,0應(yīng)應(yīng)記記住住以以后后經(jīng)經(jīng)常常用用到到, ,這這個個結(jié)結(jié)果果無無關(guān)關(guān)及及這這個個結(jié)結(jié)果果與與半半徑徑zrA 16 2009, Henan Polytechnic University16oxyiz 101C2C3C)()2)13201見見圖圖的的值值計計算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1

12、)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(101017 2009, Henan Polytechnic University17.1;,1,2121向向的的下下半半圓圓周周，逆逆時時針針方方是是單單位位圓圓順順時時針針方方向向的的上上半半圓圓周周是是單單位位圓圓其其中中的的值值計計算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例418 2009, Henan Polyt

13、echnic University18分析分析1的積分例子的積分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，即即即即，的的積積分分值值相相同同，任任意意它它沿沿連連接接起起點點及及終終點點的的在在全全平平面面解解析析中中例例解解析析。的的非非單單連連通通區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處但但在在除除去去即即不不解解析析的的點點為為奇奇點點中中例例000,02120zzzzidzzzrzz 3.2 3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理19 2009, Henan Polytechnic University19.,)(3有有關(guān)關(guān)的的值值與與積積分分

14、路路徑徑在在復復平平面面上上處處處處不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：復積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的：復積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值積分值0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)析區(qū)域的單連通有關(guān).先將條件加強些，作初步的探討先將條件加強些，作初步的探討)( ,)(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在且且內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè)DzfDivuzf 20 2009, Henan Polytechnic University20yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并滿滿足足都都是是連連續(xù)續(xù)的的內(nèi)內(nèi)在在以以及及它它

15、們們的的偏偏導導數(shù)數(shù)和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)()(公公式式由由格格林林 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( 21 2009, Henan Polytechnic University21.)( ,1900這這一一條條件件去去掉掉了了連連續(xù)續(xù)將將且且定定理理的的新新證證明明給給出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的積積分分內(nèi)內(nèi)沿沿任任一一條條閉閉曲曲線線在在處處處處解解析析的的內(nèi)內(nèi)單單連連通通區(qū)區(qū)域域

16、給給出出了了年年.,)( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在存存在在當當時時解解析析的的定定義義為為Dzf.1851簡簡單單證證明明定定理理的的上上述述給給出出了了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :,內(nèi)內(nèi)存存在在在在改改為為從從此此解解析析函函數(shù)數(shù)的的定定義義修修定定理理這這就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 22 2009, Henan Polytechnic University22定定理理仍仍成成立立. .連連續(xù)續(xù), ,在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在的的邊邊界界為為若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf內(nèi)內(nèi)任任

17、一一條條閉閉曲曲線線為為內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上單單連連通通區(qū)區(qū)域域在在設(shè)設(shè)Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的邊界的邊界為為若若BCBzfBC A BC也稱也稱Cauchy定理定理23 2009, Henan Polytechnic University23(3)定理中曲線定理中曲線C不必是簡單的！如下圖不必是簡單的！如下圖.BBC推論推論 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對任意內(nèi)解析，則對任意兩點兩點z0, z1B, 積分積分c f (z)dz不依賴于連接起點不依賴于連接起點z0與終點與終點z1的曲線，的曲

18、線，即積分與路徑無關(guān)即積分與路徑無關(guān).C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf見見上上圖圖z1z0C1C2C1C2z0z124 2009, Henan Polytechnic University24練習：練習：;2- (1)1 zzdz;cos (2)1 zzdz; (3)1 zzdzze. (4)1 zzdz例例1 .)2(0)cos-a(1y)sin-(,)282(2的的一一拱拱是是擺擺線線其其中中求求 axCdzzzC解解 , 182 2在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析因因為為函函數(shù)數(shù) zz所以積分與路線無關(guān)所以積分與路線無關(guān), 根據(jù)牛根據(jù)牛萊公式萊公式: Czzz

19、d)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 25 2009, Henan Polytechnic University25.,),(,:21順順時時針針是是逆逆時時針針及及每每一一條條曲曲線線互互不不包包含含也也不不相相交交閉閉曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)部部的的簡簡單單是是在在閉閉其其中中 iinCCCCCCCDC)2()()()1(0)(,)(,.121 niccnidzzfdzzfdzzfDzfDBCCCCB或或則則內(nèi)內(nèi)解解析析在在且且有有界界多多連連通通區(qū)區(qū)域域所所圍圍成成的的是是由由設(shè)設(shè)復合閉路定理：復合閉路定理：3.3 3.3 基本定理推廣基

20、本定理推廣復合閉路定理復合閉路定理26 2009, Henan Polytechnic University26 221121)()(LLLLcccdzzfdzzf證明證明0)()( HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf 21CCC設(shè)設(shè)DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：內(nèi)內(nèi)的的正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線在在包包含含如如：對對任任意意27 2009, Henan Polytechnic University27說明說明 kkCCCCCC21:,)1(三三者者之之間間的的關(guān)關(guān)系系.,:,)2(按按順順時時針針方方向向按按逆逆時時針針方方向向的

21、的特特點點與與曲曲線線的的正正向向kkCCCC kkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121 kcccdzzfdzzfdzzf)()()(128 2009, Henan Polytechnic University28A 1)()(ccdzzfdzzf此式說明一個解析函此式說明一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過形過程中曲線不經(jīng)過的的f(z)的不解析點的不解析點.閉路變形原理閉路變形原理D CC1C1C129 2

22、009, Henan Polytechnic University29.1:12 2任任意意正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的包包含含圓圓周周計計算算 zdzzzz例例1 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原原式式)01, 011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo30 2009, Henan Polytechnic University30.1:1 2任任意意正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的包包含含圓圓周周計計算算 zdzzz練習練習 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原原式式)01, 01

23、1(21 CCdzzdzz02211112 iidzzdzzCC 解解 C1C21xyo31 2009, Henan Polytechnic University313.4 3.4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分& 1.原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念& 2. 積分計算公式積分計算公式32 2009, Henan Polytechnic University32 1. 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 由由2基本定理的推論知：設(shè)基本定理的推論知：設(shè)f (z)在單連通區(qū)在單連通區(qū)域域B內(nèi)解析，則對內(nèi)解析，則對B中任意曲線中任意曲線C, 積分積分c fdz

24、與路與路徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān)徑無關(guān)，只與起點和終點有關(guān). 當起點固定在當起點固定在z0, 終點終點z在在B內(nèi)變動內(nèi)變動,c f (z)dz在在B內(nèi)就定義了一個變上限的單值函數(shù)，記作內(nèi)就定義了一個變上限的單值函數(shù)，記作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則F(z)在在B內(nèi)解析，且內(nèi)解析，且)()( zfzF 33 2009, Henan Polytechnic University33定義定義 若函數(shù)若函數(shù) (z) 在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)的導數(shù)等于內(nèi)的導數(shù)等于f (z) ，即，即 ,稱稱 (z)為為f (z)在在B內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函

25、數(shù). )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一個的一個原函數(shù)原函數(shù).設(shè)設(shè)H (z)與與G(z)是是f (z)的任何兩個原函數(shù)，的任何兩個原函數(shù)，)(,)()(0)()()( )( )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)cczHzGzfzfzHzGzHzG 這表明：這表明：f (z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù). czFdzzf)()(定義定義 設(shè)設(shè)F(z)是是f (z)的一個原函數(shù)，稱的一個原函數(shù)，稱F(z)+c(c為為任意常數(shù)任意常數(shù))為為f (z)的不定積分，記作的不定積分，記作34 2009, Henan Polytechn

26、ic University342. 積分計算公式積分計算公式定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，內(nèi)解析， F(z)是是f (z)的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式類似于微積分學中的牛頓萊布尼茲公式此公式類似于微積分學中的牛頓萊布尼茲公式.A 但是要求函數(shù)是但是要求函數(shù)是解析解析的的,比以前的比以前的連續(xù)連續(xù)條件要強條件要強35 2009, Henan Polytechnic University35例例1 計算下列積分：計算下列積分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC終終點點為為起起點點為為

27、為為半半圓圓周周：其其中中 解解1) 32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解36 2009, Henan Polytechnic University36., 1arg1)2的的任任意意曲曲線線終終點點為為起起點點為為內(nèi)內(nèi)：為為單單連連通通區(qū)區(qū)域域其其中中zzDCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，是是又又內(nèi)解析內(nèi)解析在在解解2)37 2009, Henan Polytechnic University37例例3 計算下

28、列積分：計算下列積分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 38 2009, Henan Polytechnic University38小結(jié)小結(jié) 求積分的方法求積分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfBCBzf則則單單連連通通解解析析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz 則則單單連連通通內(nèi)內(nèi)解解析析在在若若39 200

29、9, Henan Polytechnic University39問題提出問題提出3.5 Cauchy3.5 Cauchy積分公式積分公式 . , 0中中一一點點為為為為一一單單連連通通域域設(shè)設(shè)BzB ,d)( 0 Czzzzf一一般般不不為為零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果zzzzfBzf .0的的閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞為為zBC如何求這個值，這個值會是多少呢？如何求這個值，這個值會是多少呢？40 2009, Henan Polytechnic University400)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在則則的的一一條條

30、閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞是是內(nèi)內(nèi)解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè) CdzzzzfzzzzfzDCBzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的內(nèi)內(nèi)部部曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)部部的的任任意意包包含含由由復復合合閉閉路路定定理理得得CCz 10,具體分析具體分析DCz0C141 2009, Henan Polytechnic University41)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 時時當當上上的的函函數(shù)數(shù)值值在在的的連連續(xù)續(xù)性性 .,這這就就是是下下面面的的定定

31、理理這這個個猜猜想想是是對對的的DCz0C1猜想積分猜想積分特別取特別取42 2009, Henan Polytechnic University42定理定理(Cauchy 積分公式積分公式)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點為為它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含于于曲曲線線內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條正正向向簡簡單單閉閉是是內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在設(shè)設(shè)CzDDCDzf0)3,)2,)()1 Cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.000000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK 只只須須證證明明無無關(guān)關(guān)的的半半徑徑與與的的內(nèi)內(nèi)部部設(shè)設(shè)證明證明43 2009,

32、Henan Polytechnic University43 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfRzzK即即要要證證 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzzfzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()(44 2009, Henan Polytechnic University44)(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)( 積積分分公公式式仍仍成成立立. .上上連連續(xù)續(xù)及及在在內(nèi)內(nèi)解解析析, ,所所圍圍區(qū)區(qū)域

33、域在在( (1 1) )若若定定理理條條件件改改為為CauchyBBCBCzf,)( A (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)值值也也被被確確定定。它它在在內(nèi)內(nèi)部部任任一一點點的的函函數(shù)數(shù)邊邊界界的的值值一一經(jīng)經(jīng)確確定定，則則在在區(qū)區(qū)域域表表示示。即即若若可可以以用用它它在在邊邊界界上上的的值值內(nèi)內(nèi)部部任任一一點點的的值值積積分分公公式式表表明明函函數(shù)數(shù)在在)( )(zfCCauchy245 2009, Henan Polytechnic University45 CidzzzzfizfeRzzC000214)()( :)( 則則若若 即：即： 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在一個

34、解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值圓周上的平均值. . 200 ) (21dieReReRzfiiii 200) (21deRzfi(3) 公式提供了計算某些復變函數(shù)沿簡單閉曲線積分公式提供了計算某些復變函數(shù)沿簡單閉曲線積分的一種方法的一種方法.46 2009, Henan Polytechnic University46 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解47 2009, Henan Polytechnic U

35、niversity47.1122線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任意意簡簡單單正正向向曲曲為為包包含含求求 zCdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 積積分分公公式式由由48 2009, Henan Polytechnic University48).( ,sin)(,4ifzdzzfyxCC 12222求求）（為為圓圓周周設(shè)設(shè) 例例3解解 ) )1(2(cos)1( 2)2(cos20)( 2)2(sin22 02sin)(2sin22iiifzzizzfz

36、zizdzzfC 故故又又在在全全平平面面上上處處處處解解析析，49 2009, Henan Polytechnic University49內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介 本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導性，并導本節(jié)研究解析函數(shù)的無窮次可導性，并導出高階導數(shù)計算公式出高階導數(shù)計算公式.研究表明：一個解析函數(shù)研究表明：一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù)，而且有各階導數(shù)，它的值也不僅有一階導數(shù)，而且有各階導數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點這一點與實變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別與實變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.6 6 解析函數(shù)的高階導數(shù)解析函數(shù)的高階導數(shù)50 2009, Henan P

37、olytechnic University50求求導導得得兩兩邊邊在在積積分分號號下下對對對對積積分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明以下將對這些公式的正確性加以證明.51 2009, Henan Polytechnic University51.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而

38、且且它它的的內(nèi)內(nèi)部部任任意意正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的解解析析區(qū)區(qū)域域為為在在其其中中階階導導數(shù)數(shù)為為它它的的的的導導數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù)解解析析函函數(shù)數(shù) 定理定理證明證明 用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義.zzfzzfzfDznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先證證52 2009, Henan Polytechnic University52 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西積積分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(2

39、1)()(21)()(000000 令為令為I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 53 2009, Henan Polytechnic University53 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 則則有有取取則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 54 2009, Henan Polytechnic University54）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzz

40、zzfizzfzzfzf 從從而而有有顯顯然然，的的長長度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的的情情形形的的方方法法可可證證式式及及推推導導再再利利用用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次類推，用數(shù)學歸納法可得依次類推，用數(shù)學歸納法可得55 2009, Henan Polytechnic University55 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(無無窮窮次次可可導導內(nèi)內(nèi)解解析析即即在在具具有有各各階階導導數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一個解

41、析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)一個解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù).)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可計計算算積積分分用用途途56 2009, Henan Polytechnic University56 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列積積分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面處處解析在全平面處處解析解解57 2009, Henan Polytechnic University57的的內(nèi)內(nèi)部部不不相相交交且且在在取取處處不不解解析析在在CCCizCiz

42、Cizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(CzCzCzdzziedzziedzze 212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 58 2009, Henan Polytechnic University58)41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii CnzdzzerzC, 1:,)3 求求下下列列積積分分值值 423)1(cos,)4zdzzzz 求求下下列列積積分分值值i )12( )!1(2, 1;2, 1 ninin 原原式式原原式式5

43、9 2009, Henan Polytechnic University59).1(3)( ,)(173)(322ifdzzzzfz 求求設(shè)設(shè) 例例260 2009, Henan Polytechnic University607 7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系.),()00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱即即（方方程程續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連在在若若二二元元實實變變函函數(shù)數(shù)DyxyxLaplaceDyx 定義定義.),(),(),(),()( 內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)是是，內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域若若DyxvvyxuuDyx

44、ivyxuzf 定理定理61 2009, Henan Polytechnic University61證明：證明：設(shè)設(shè)f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)理理由由解解析析函函數(shù)數(shù)高高階階導導數(shù)數(shù)定定, 0 D2222 yuxu內(nèi)內(nèi)有有故故在在0 2222 yvxv同同理理有有62 2009, Henan Polytechnic University620, 0 vu2222yx 其其中中即即u

45、及及v 在在D內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱稱使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvivuDyxu 定義定義63 2009, Henan Polytechnic University63上面定理說明：上面定理說明：.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實實D.),(),(),(),()(:的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)必為必為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)解析內(nèi)解析在在即

46、即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的的兩兩個個方方程程內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個個調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現(xiàn)在研究反過來的問題：現(xiàn)在研究反過來的問題：64 2009, Henan Polytechnic University64.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處處處不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程，即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它的的虛虛部