圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全)

1、PF1F2 PF2F1 圓錐曲線的解題技巧 、常規(guī)七大題型: (1)(1) 中點弦問題 具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法) ：設曲線上兩點為(xyj， (x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式(當然在這里也要注意 斜率不存在的請款討論)，消去四個參數(shù)。 2 2 如：(1)篤 每 1(a b 0)與直線相交于 A、B,設弦 AB中點為 M(xo,yo)，則有 a b PF1F2 PF2F1 Xo 2 a 匹k b2k 2 x (2) 2 a 2 與 1(a 0,b 0)與直線I相交于 A B,設弦AB中點為 M(xo,yo)則有 b xo (3)y2=2px

2、( p0)與直線 l相交于A、B設弦AB中點為M(xo,yo),則有2yok=2p,即yok=p. 典型例題 2 給定雙曲線X2七1。過A( 2，“的直線與雙曲線交于兩點p1及p2， 求線段P1 P2的中點P的軌跡方程。 (2(2)焦點三角形問題 橢圓或雙曲線上一點 P，與兩個焦點F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭 橋。 2 2 典型例題 設P(x,y)為橢圓 x y 2 2 1上任一點， 只(c,o)， F2(c,o)為焦點, (2)求|PF PF2I3的最值。 (3)(3) 直線與圓錐曲線位置關系問題 直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判

3、 別式、根與系數(shù)的關系、求根公式等來處理，應特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀 性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。 典型例題 拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。 (1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點 (2) 設直線與拋物線的交點為 A、B,且0A丄0B,求p關于t的函數(shù)f(t)的表達式。 (4)(4) 圓錐曲線的相關最值(范圍)問題 圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則

4、可建立目標函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。 (1),可以設法得到關于 a的不等式，通過解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不 等式”或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對于(2)首 先要把 NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值 ，即：“最值問題，函數(shù)思 想” 最值問題的處理思路： 1、 建立目標函數(shù)。 用坐標表示距離， 用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題， 關 鍵是由方程求x、y的范圍； 2、 數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想； 3、 利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值； 4、 借助均

5、值不等式求最值。 典型例題 已知拋物線y2=2px(p0),過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點 A、B, |AB| 2p (1)求證離心率e sin( )； : ； sin sin (1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求厶NAB面積的最大值。 (5)(5) 求曲線的方程問題 1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。 典型例題 已知直線L過原點，拋物線 C的頂點在原點，焦點在 x軸正半軸上。若點 A( -1，0)和 點B( 0，8)關于L的對稱點都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。 2 曲線的形狀未知-求軌跡方程 典型例題 (6)(

6、6) 存在兩點關于直線對稱問題 在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線， 求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。 (當然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來 解決) X2 y2 典型例題 已知橢圓 C的方程 1，試確定 m的取值范圍，使得對于直線 4 3 y 4x m，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱 (7)(7) 兩線段垂直問題已知直角坐標平面上點 Q (2, 0)和圓C: 點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù) 求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。 M 2 典型例題 2 2 求經(jīng)過兩已知圓 C1: x y 4x 2y 0 和 C2: x 2 y 2y

7、 4 0 的 x1 x2 運算來處理。 典型例題 已知直線l的斜率為k，且過點P（ 2,0），拋物線C:y2 4（x 1），直線I與 拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。 （1） 求k的取值范圍； （2） 直線I的傾斜角 為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。 四、解題的技巧方面： 在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。 事實上，如果我們能夠充分利用 幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。 下面舉例說明： （1 1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件

8、，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。 典型例題 設直線3x 4y m 0與圓x2 y2 x 2y 0相交于P、Q兩點，O為 坐標原點，若 OP OQ，求m的值。 （2 2）充分利用韋達定理及“設而不求”的策略 我們經(jīng)常設出弦的端點坐標而不求它， 而是結(jié)合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中 點等問題中常常用到。 典型例題 已知中心在原點 O,焦點在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點， 且OP OQ，|PQ| ，求此橢圓方程。 2 （3 3）充分利用曲線系方程 利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用 ki k2 yi y2

9、i來處理或用向量的坐標 交點，且圓心在直線 丨：2x 4y 1 0上的圓的方程。 (4)(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說的三角代換法。 余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這 2 典型例題 P為橢圓篤 a 2 y2 1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四 b 邊形OAPB面積的最大值及此時點 P的坐標。 (5)(5) 線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程 則|AB| 1 k2 |xA xB| .1 k2，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算 |a| 過程。 例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 1

10、6所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關系，減少運算 在求過圓錐曲線焦點的弦長時， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點， 結(jié)合圖形運用圓錐曲線 的定義，可回避復雜運算。 2 1的兩個焦點，AB是經(jīng)過F1的弦，若|AB| 8，求值 9 | F2AI |F2B| 禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離 例 點A (3, 2)為定點，點F是拋物線y2 4x的焦點，點P在拋物線y2 4x上 移動，若|PA| |PF|取得最小值，求點 P的坐標。般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長的方法是：把直線方程 y kx b代入圓錐 曲線方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設

11、為 xA， xB，判別式為, 2 片、F2是橢圓 25 圓錐曲線解題方法技巧歸納 第一、知識儲備: 1.1. 直線方程的形式 (1) 直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、 一般式。 (2) 與直線相關的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan , 0,) 點到直線的距離d Axo By。羋 夾角公式： VA2 B2 tan Ji 1 k2k1 (3) 弦長公式 直線y kx b上兩點A(X|, yj, B(x2, y2)間的距離： AB 71 |為x2 J(1 k2)(xi X2)2 4X1X2或 AB 斤1 y2 (4) 兩條直線的位置關系 l1 l2 k1k2= =- -1 1

12、l1 /12 k1 k2且 b1 b2 2 2、 圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式) 2 2 標準方程：1(m 0, n 0 且 m n) m n 距離式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a 參數(shù)方程： x a cos , y bsin (2)(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種 2 2 標準方程：-1(m n 0) m n 距離式方程： | ；(x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a (3)(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ 橢圓：近；雙曲線：玄；拋物線：2p a a (4)(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？ b2 t

13、an 2 P 在雙曲線上時，S FPF2 b2 cot ,t | PF |2 | PF |2 4c2 uur ujrn uur uimr (其中 F1PF2 ,COS 】1鳥尙，PF?PF2 |PF1|PF2|COS (6)(6) 、 記住焦 半 徑公式： (1 1 ) 橢圓焦點在 x 軸上時為 a exg；焦點在 y軸上時為 a ey ，可簡記為“左加右減，上加下減” (2) 雙曲線焦點在 x 軸上時為 e|x01 a (3) 拋物線焦點在 x 軸上時為| x, | 2,焦點在 y 軸上時為| % | 2 如: 已知F,、 2 2 F2是橢圓勻七1的兩個焦點, 平面內(nèi)一個動點 M M 足MF

14、! MF2 2則動點 M M 的軌跡是( A A、雙曲線; B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線; D D、一條射線 (5)(5)、焦點三角形面積公式：P 在橢圓上時，SF1pF2 設 A x, y, 2 仝1的弦AB中點則有 3 (6)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _ 第二、方法儲備 1 1、點差法(中點弦問題) 2 B X2,y2，M a,b 為橢圓 4 2 2 2 2 2222 仝生1,空空1 ;兩式相減得二竺 上上 0 4 3 4 3 4 3 xi X2 捲 X2 yi y2 yi y2 3a 4 3 kAB一不 2 2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類

15、的問題嗎？ 經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？ 設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到 一個二次方程，使用判別式 0，以及根與系數(shù)的關系，代入弦 長公式，設曲線上的兩點A(X!, yi), B(X2, y2)，將這兩點代入曲線方 程得到兩個式子，然后 - -，整體消元 . ,若有兩個 字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點， 則可以利用三點 A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關系，則尋 找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結(jié)合消元處理。 一旦設直線 為y kx b，就意味著 k k 存在。 例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個頂點均

16、在橢圓4x2 5y2 80上，且點 A A 是橢圓短軸的一個端點(點 A A 在 y y 軸正半軸上). . (1) 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BCBC 的方程； (2) 若角 A A 為900 , ADAD 垂直 BCBC 于 D D，試求點 D D 的軌跡方程. . 分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點 弦 BCBC 的斜率，從而寫出直線 BCBC 的方程。第二問抓住角 A A 為90可得 出 ABAB 丄 ACAC,從而得X1X2 y”2 14(y1山16 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點 D D 的軌跡方程； 解：(1 1)設

17、 B B ( X1, ,y1) ,C(,C(X2, ,y2 ),BC ),BC 中點為( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)則有 2 2 2 2 XL XL 1XL Xi 20 16 120 16 F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由X1 X2 2，得xo 3，由y1 y2 4 0得 3 3 y 2，代入(1 1)得k 6 5 直線 BCBC 的方程為6x 5y 28 0 2)2)由 AB AB 丄 AC AC 得 x1x2 y1 y2 14( y1 y2) 16 0 (2 2) 設直線 BC BC 方程為 y kx b,代入 4x2 5y2 80 , 得 (4 5k2)x2

18、 10bkx 5b2 80 0 5b2 80 4 y _ 4)，設 D D ( x,yx,y)，則一9 以 1，即 9 x x 2 2 9y 9x 32 y 16 0 所以所求點 D D 的軌跡方程是x2 （y 4 4、設而不求法 例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB 成的比為雙曲線過 C C、D D、E E 三點，且以A、B B 為焦點當3 3時, 求雙曲線離心率e的取值范圍。 兩式作差有 (X1 X2)(X1 X2) (y1 y2)(y1 山 20 16 (1)(1) 10kb X1 X2 4 5k2， X1X2 4 5k2 y1 y2 8k 4 5k2 ,y1 y2 4b

19、2 80k2 4 5k2 代入（2 2）式得 2 9b 32b 16 4 5k2 0 ,解得b 4（舍）或b 直線過定點（0 0 , 。曽乎 0 分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念 和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建 f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0，此運算量可見是難上加難我們對h可 米取設而不求的解題策略， 建立目標函數(shù)f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0, ,化繁為簡. . 解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸, 建立直角坐標系xOy ,則 CDCD 丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點 C C、

20、D D，且以 A A、 由點 C C、E E 在雙曲線上，將點 C C、E E 的坐標和e -代入雙曲線方 a 程得 e2 4 h2 1 b2 1， e2 4 2 1 1 1 b2 由式得 h2 b2 2 , 立直角坐標系xOy，如圖，若設 C C2，h ，代入右 1,求得h L， 進而求得xE L , yE 2 y b2 建立目標函數(shù) B B 為焦點，由雙曲線的對稱性知 C C、D D 關于y軸對稱 a b a 將式代入式，整理得 e2 4 4 1 2 1 3 2 e 1 扌得， 2 1 3 3 3 2 e 2 4 解得 7 e ,10 所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7, J0 標表示，回

21、避h的計算，達到設而不求的解題策略. 設 1 1 4 4 得，站 解得 -7 e JO 所以雙曲線的離心率的取值范圍為一 7, JO 5 5、判別式法 例 3 3 已知雙曲線C匸x! 1，直線I過點A ,2,0，斜率為k，當0 k 1 2 2 時，雙曲線的上支上有且僅有一點 B B 到直線I的距離為 2，試求k的 值及此時點 B B 的坐標。 分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. .從“有且僅有” 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點 B B 作與I平行的直線，必 與雙曲線 C C 相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)

22、造方程的判別式分析：考慮AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式, , AE ,AC用E,C的橫坐 解法二：建系同解法一, XE c c 2 _ 2_C 1 2 1 AE a exE , AC exC , 斧，由題 2 0. .由此出發(fā)，可設計如下解題思路: 直線 I在 I的上方且到直線 I的距離為.2 l: y kx 2k把直線l的方程代入雙曲線方程，消去 解得 k 的值 解題過程略. . 分析 2 2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式 表達，即所謂“有且僅有一點 B B 到直線I的距離為42 ”，相當于化歸 的方程有唯一解. .據(jù)此設計出如下解題思路： 問題 I 關于x的方程

23、- kx J2 x2 V2k d 1 “ 0 k 1有唯一 1 ”轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題 求解 y,令判別式 k(x 0 k 1 簡解：設點M(x, 2 x2)為雙曲線 C C 上支上任一點，則點 M M 到直 線I的距離為： kx 2 x2 2k 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于x的方程. . 由于0 k 1，所以2 x2 x kx，從而有 kx PQ MF,MP FQ k PQ 3x2 2 4mx 2m 兩根之和, 兩根之積 uuir uuir MP ? FQ 0 得出關于 m的方程 解出m (H)假設存在直線I交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心, 設 P(Xi,yJ,Q(X2, y

24、2)M (0,1),F(1,0)，故 kpQ 1 , 于是設直線l為 y x m , 由 y 2 X x m 得 2 彳3x2 4mx 2m2 2 0 uur T MP uuu FQ 0 為區(qū)1) y2(% 1) 又y Xi m(i 1,2) 得 X (X 1) (x2 ；m)(x! m 1) 0 即 2為乂2 (為 x2)(m 1) m2 m 0 由韋達定理得 匚 4 4 解得m 3或m 1 (舍)經(jīng)檢驗m 3符合條件. 點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零. 例 7 7、已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過 A( 2,0)、B(2,0)

25、、C 1,-三點. 2 (I)求橢圓E的方程： (H)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)( 1,0), H (1,0), 當厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求 DFH內(nèi)心的坐標； 思維流程： - 設方程為mx2 ny2 1 / T 由橢圓經(jīng)過A、B、C三點 得到m, n的方程 (I) 解出m,n 2m2 2 3 4m (m 1) m2 解題過程： (I)設橢圓方程為 mx2 ny2 1 m 0, n 0 將 A( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得 4m 1, 2 2 9 解得m - ,n -. .二橢圓E的方程X 1 . m n 1 4 3 4 3 4 (n) |

26、FH | 2，設ADFH 邊上的高為 S DFH 1 2 h h 2 當點D在橢圓的上頂點時，h最大為-.3，所以S DFH的最大值為G . 設ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值 6 6.所以, 所以直線AB的方程為x 3y 1 r內(nèi)切圓 3- DFH面積最大值為J3 S DFH 周長r內(nèi)切圓 2 1 轉(zhuǎn)化為點D的縱坐標的絕對值最大最大 D為橢圓短軸端點 (H) 由 DFH內(nèi)切圓面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大 得出D點坐標為 0, .3 3 S DFH 1R (k2 1)x1x2 (k2 m)(x1 x2) k2 m2.將代入，整理得 所以R的最大值為呂所以內(nèi)切圓圓心的坐標

27、為(0 點石成金： s的內(nèi)切圓的周長 r的內(nèi)切圓 2 例 8 8 已知定點C( 1,0)及橢圓X2 3y2 5 ,過點C的動直線與橢圓 相交于A, B兩點. . (I)若線段AB中點的橫坐標是 -，求直線AB的方程； 2 (H)在x軸上是否存在點M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出 點M的坐標；若不存在，請說明理由. . 思維流程: (I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為 設人(人，yj，B(X2，y2)， k 3，符合題意。 3 * (H)解：假設在X軸上存在點 M (m,0)，使MA MB為常數(shù). . 36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 則 6k2 x X2 3i6

28、T 0, (1) X2 白線段AB中點的橫坐標是 得 X1 x2 、2 3k2 3k2 1 當直線 AB與 x軸 不垂直時 ，由(I )知 X-| x2 6k2 3k2 1 x(x2 3k2 5 3k2 1 所以MA MB以 m)(x2 m) yM (% m)(x2 m) k2(x1 1)(X2 1) y k(x 1)， 將 y k(x 1)代入 x2 3y2 5， 消去y整理得(3k2 1)X2 6k2x 3k2 5 0. 0，或 x、3y 0. . 1 8 2 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m - 3 3 3k3 4 1 a 2b 則4 1 -2 2 uur uur MA M

29、B (6m 1)k 5 m2 3k2 1 注意到MA MB是與k無關的常數(shù), uur umr 4 MA MB -. 9 當直線AB與x軸垂直時，此時點A, B的坐標分別為 7時，亦有MA MB 3 9 綜上，在x軸上存在定點M 7,0，使MA MB為常數(shù). . 3 例 9 9、已知橢圓的中心在原點，焦點在 x x 軸上，長軸長是短軸長的 2 2 倍且經(jīng)過點 M M (2 2，1 1)，平行于 OMOM 的直線I在 y y 軸上的截距為 m m (m m 工 0 0)， l交橢圓于 A A、B B 兩個不同點 (I)求橢圓的方程； (H)求 m m 的取值范圍； (皿)求證直線 MAMA、MBM

30、B 與 x x 軸始終圍成一個等腰三角形 思維流程： 2 2 解: (1 1)設橢圓方程為務占1(a b 0) a bm2 2m 6m 14 3(3k2 1) 點石成金: uuu nur MA MB (6m 1)k2 5 3k2 1 1 2 14 (2m )(3k2 1) 2m - _ 3 3 3k2 1 m2 2m 6m 14 3(3k2 1) 7 7 - - 3 3 m m 7 7 2 1 解得：2 2 橢圓方程 (H)v直線|平行于 OMOM，且在 y y 軸上的截距為 m m 又KOM = =1 l 的方程為：y 1 x m 2 2 y 1 x m 由2 2 2 2 x 2mx 2m2

31、 4 0 x y 1 8 2 V直 線 l l 與 橢圓交 于 A A、 B B 兩個不同點， (2m)2 4(2m2 4) 0, 解得 2 m 2,且 m 0 (皿)設直線 MAMA、MBMB 的斜率分別為 k ki, k k2,只需證明 k ki+k+k2=0 =0 即可 設 A(xn yi), B(x2, y2),且治 x? 2m,XiX2 2m2 4 則ki以,k2 Q x1 2 x2 2 由 x2 2mx 2m2 4 0 可得 x1 x2 2m, x1x2 2m 4 而 k1 k2 y1 1 y2 1 (y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2) x1 2 x2 2 (X1

32、2)(X2 2) 1)(X2 2) (*X2 m 1)(xi 2) (x 2)(X2 2) x1x2 (m 2)( x1 x2) 4(m 1) (X1 2)(X2 2) 2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1) (X1 2)(X2 2) 2 2 2m 4 2m 4m 4m 4 0 (X1 2)(X2 2) 0 ki k2 0 故直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個等腰三角形 點石成金：直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個等腰三角形 ki k2 0 例 1010、已知雙曲線 冷 爲1的離心率e ，過A(a,0), B(0, b)的直 a b 3 線到原點的距

33、離是. 2 (1 1)求雙曲線的方程； (2(2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點 C C， 在以B為圓心的圓上，求k的值. . 思維流程: D D 且C，D都 2 原點到直線AB : 3 ， X 1的距離 b d ab d /a2 b2 b 1, a 、3. ab c .3 2 故所求雙曲線方程為 故所求k= 士 7 .7 .(2 (2 ) 把y kx 5代入 x2 3y2 3中消去 ，整理得 (1 3k2)x2 30 kx 78 0. . 設C(xi,yi), D(x2, y2),CD 的中點是 E(x0,y。)，則 X1 X2 X。 2 1 k y。 1 k BE X15

34、 k 3k2 y 1 k . kx X。 ky k 0, 即號需 0,又 k 0, k 2 點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BEBC=BD BE 丄 CD;CD; 例 1111、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的 點到焦點距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1. (I) 求橢圓C的標準方程； (II) 若直線i：y=k=kx+ +m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是 左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證: 直線l過定點，并求出該定點的坐標. 思維流程： 2 2 解：(I)由題意設橢圓的標準方程為 務占1(a b 0), a b 由已知得：a c 3, a c 1, (II (II )設 A(x1, yj, B(x2, y2). y kx m, 聯(lián)立x2 y2 1. 4 3 得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0，則 64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0,即 3 4k2 m2 0, 8mk x! x2 2 , 3 4k 2 4( m 3) X1X2 2 . 3 4k 2 2 (kx1 m)(kx2 m) k x-ix2 mk(x1 x2) m 因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0), a 2, c 1, b2 a2 c2 3 2 橢圓的標準方程為- 4 3(m2 4k2) 3 4k2 又yy