第16章質點的運動微分方程

1、第16章質點的運動微分方程引引 言言2. 力學模型：力學模型：1. 動力學的研究內容：研究物體的機械運動與它的動力學的研究內容：研究物體的機械運動與它的 質量和受力情況之間的關系。質量和受力情況之間的關系。(1) 質點：具有一定質量，而其形狀和大小對所質點：具有一定質量，而其形狀和大小對所研究的問題不起主要作用，可以忽略研究的問題不起主要作用，可以忽略不計的物體。不計的物體。 例如：例如： 研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星 質點；質點； 剛體作移動時剛體作移動時, ,剛體剛體 質點。質點。(2) 質點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質點質點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質點組成的

2、系統(tǒng)。組成的系統(tǒng)。 非自由質點系：質點系中的質點的運動受到約非自由質點系：質點系中的質點的運動受到約束的限制。質點系是力學中普遍束的限制。質點系是力學中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈性的抽象化模型；包括剛體、彈性體、流體。體、流體。 自由質點系：質點系中各質點的運動不受約束的自由質點系：質點系中各質點的運動不受約束的限制。限制。 剛體是一個特殊的質點系，由無數(shù)個相互間保剛體是一個特殊的質點系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質點組成。又稱為不變質點系。持距離不變的質點組成。又稱為不變質點系。3. 動力學分類：動力學分類：質點動力學質點動力學質點系動力學質點系動力學質點動力學是質點系動力學的基礎。質

3、點動力學是質點系動力學的基礎。4. 動力學的基本問題：大體上可分為兩類：動力學的基本問題：大體上可分為兩類：綜合性問題：綜合性問題： 已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。 已知主動力，求運動，再由運動求約束力。已知主動力，求運動，再由運動求約束力。 第一類：已知物體的運動情況，求作用力；第一類：已知物體的運動情況，求作用力； 第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。16-1 動力學基本定律動力學基本定律 動力學基本定律是動力學的基礎動力學基本定律是動力學的基礎,但它們只能但它們只能直接應用于質點。對

4、于質點系直接應用于質點。對于質點系,應該將它們分別應應該將它們分別應用于每一質點用于每一質點,然后導出質點系的運動規(guī)律。然后導出質點系的運動規(guī)律。 質點是物體最簡單、最基本的模型，是構成復質點是物體最簡單、最基本的模型，是構成復雜物體系統(tǒng)的基礎，質點動力學基本方程給出了質雜物體系統(tǒng)的基礎，質點動力學基本方程給出了質點受力與其運動變化的關系，質點動力學的基礎是點受力與其運動變化的關系，質點動力學的基礎是三個基本定律，這些定律是牛頓在總結前人研究成三個基本定律，這些定律是牛頓在總結前人研究成果基礎上提出的，稱為牛頓三定律。果基礎上提出的，稱為牛頓三定律。 1. 動力學基本定律動力學基本定律第一定律

5、（慣性定律）第一定律（慣性定律） 質點如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速質點如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運動。直線運動。 質點保持靜止或作勻速直線運動，也就是保質點保持靜止或作勻速直線運動，也就是保持其運動狀態(tài)不變，這種性質稱為慣性。故點的持其運動狀態(tài)不變，這種性質稱為慣性。故點的勻速直線運動，稱為慣性運動。所以第一定律也勻速直線運動，稱為慣性運動。所以第一定律也稱為慣性定律。稱為慣性定律。 當質點受到外力作用，而這些作用又不互相當質點受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時，它的運動狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。抵消時，它的運動狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。

6、第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第二定律（力與加速度之間關系的定律）第二定律（力與加速度之間關系的定律）Fam (16-1) 質點受外力作用時，將產生加速度，加速度的質點受外力作用時，將產生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱為質點動力學基本方程。上式稱為質點動力學基本方程。 當質點受到多個力作用時，該式中的力當質點受到多個力作用時，該式中的力 應為應為匯交力系的合力；從該式還可以看出，質點質量越匯交力系的合力；從該式還可以看出，質點質量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質點的慣性大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質點的慣性

7、越大，因此，質量是質點慣性的度量。越大，因此，質量是質點慣性的度量。F第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 由于作用與反作用，引起了機械運動在相互由于作用與反作用，引起了機械運動在相互作用的兩質點（物體）間發(fā)生轉移。力就是這種作用的兩質點（物體）間發(fā)生轉移。力就是這種機械運動轉移的反映。機械運動轉移的反映。 兩個質點間相互作用的力，總是大小相等，方兩個質點間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個質向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個質點上。點上。 在靜力學里，研究物體的平衡用到它。在動力在靜力學里，研究物體的平衡用到它。在動力學里，這一定

8、律依然成立。學里，這一定律依然成立。 以牛頓三定律為基礎的力學，稱為古典力學或以牛頓三定律為基礎的力學，稱為古典力學或經典力學，在此范疇，質量、空間和時間是經典力學，在此范疇，質量、空間和時間是“絕對絕對”的，與運動沒有關系，但近代物理已經證明，質量、的，與運動沒有關系，但近代物理已經證明，質量、時間和空間都與物體的運動速度有關，只是當物體時間和空間都與物體的運動速度有關，只是當物體的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質量、時的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質量、時間和空間的影響是微不足道的。間和空間的影響是微不足道的。 2. 慣性參考系慣性參考系 動力學基本定律在其中能正確成立的參考系稱

9、動力學基本定律在其中能正確成立的參考系稱為慣性參考系為慣性參考系,簡稱慣性系。在一般問題中簡稱慣性系。在一般問題中,與地球與地球固接的參考系或相對于地面作慣性運動的參考系固接的參考系或相對于地面作慣性運動的參考系,可近似看成慣性系?？山瓶闯蓱T性系。 要使車子在水平直線軌道上勻速前進，為什么要使車子在水平直線軌道上勻速前進，為什么還需不斷對它施加水平推力？這與慣性定律有無矛還需不斷對它施加水平推力？這與慣性定律有無矛盾？盾？ 試比較下述幾種情況下站在電梯中的人對電梯試比較下述幾種情況下站在電梯中的人對電梯地板的壓力大小：地板的壓力大?。?a) 電梯靜止不動；電梯靜止不動；(b) 電梯電梯勻速上

10、升；勻速上升；(c) 電梯勻速下降；電梯勻速下降；(d) 電梯加速上電梯加速上升；升；(e) 電梯減速下降。電梯減速下降。思思 考考 題題 16-1思思 考考 題題 16-2 以下說法是否正確？以下說法是否正確？(a) 質點如有運動則它一定質點如有運動則它一定受力，其運動方向總是與所受力的方向一致；受力，其運動方向總是與所受力的方向一致；(b) 質點運動時，如速度大則它所受的力也大，質點運動時，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質點不受力速度小則所受的力也小，若速度為零則質點不受力；(c) 機車以某一力牽引車輛加速前進時，車輛給機機車以某一力牽引車輛加速前進時，車輛給

11、機車的反力必小于機車對列車的牽引力。車的反力必小于機車對列車的牽引力。思思 考考 題題 16-3 若不計空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即若不計空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個加速度較大？給以向下的初速）的石塊，哪一個加速度較大？思思 考考 題題 16-416-2 質點的運動微分方程質點的運動微分方程 dd22Ftrm Fam (16-2)(16-3) 動力學基本方程是矢量方程，為了便于計算，常動力學基本方程是矢量方程，為了便于計算，常將它改寫成投影式，并表示為微分形式的方程，稱將它改寫成投影式，并表示為微分形式的方程，稱為質點的運動微分方程。為質點的運動微

12、分方程。yxFtymFtxm 2222dd dd(16-4) 1. 質點運動微分方程在直角坐標投影質點運動微分方程在直角坐標投影 設質量為設質量為m的質點的質點M，作平面曲線運動。取直，作平面曲線運動。取直角坐標系角坐標系Oxy，將質點受到的力與加速度在將質點受到的力與加速度在直角坐直角坐標軸上投影得：標軸上投影得：式式(16-4) 和和(16-5)是兩種常用是兩種常用的質點運動微分方程?？梢郧蟮馁|點運動微分方程。可以求 解質點動力學兩類問題。解質點動力學兩類問題。2. 質點運動微分方程在自然軸上投影質點運動微分方程在自然軸上投影n2tddFvmFtvm (16-5)動力學基本方程在自然軸系上

13、的投影為：動力學基本方程在自然軸系上的投影為：由運動學知由運動學知,ddttva 2nva 5) 求解未知量。求解未知量。(1) 第一類：已知質點的運動，求作用在質點上的力第一類：已知質點的運動，求作用在質點上的力（微分問題）解題步驟和要點：（微分問題）解題步驟和要點： 1) 正確選擇研究對象；（一般選擇聯(lián)系已知量和正確選擇研究對象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質點）。待求量的質點）。 2) 正確進行受力分析正確進行受力分析,畫出受力圖；畫出受力圖； (應在一般應在一般位置上進行分析位置上進行分析)。3) 正確進行運動分析；（分析質點運動的特征正確進行運動分析；（分析質點運動的特征量）。量）

14、。 4) 選擇并列出適當形式的質點運動微分方程；選擇并列出適當形式的質點運動微分方程；（建立坐標系）。（建立坐標系）。 5) 求解未知量。根據力的函數(shù)形式決定如何積分，求解未知量。根據力的函數(shù)形式決定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質點的運動。并利用運動的初始條件，求出質點的運動。(2) 第二類：已知作用在質點上的力，求質點的運動第二類：已知作用在質點上的力，求質點的運動（積分問題）解題步驟如下：（積分問題）解題步驟如下：1) 正確選擇研究對象。正確選擇研究對象。 2) 正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質的力（應放在一般位置上進行分析，什么

15、性質的力（應放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。對變力建立力的表達式）。 3) 正確進行運動分析。正確進行運動分析。(除應分析質點的運動除應分析質點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件）。特征外，還要確定出其運動初始條件）。4) 選擇并列出適當形式的質點運動微分方程。選擇并列出適當形式的質點運動微分方程。 橋式起重機跑車用鋼絲繩吊掛一質量橋式起重機跑車用鋼絲繩吊掛一質量為為m的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為v0，重，重物中心至懸掛點距離為物中心至懸掛點距離為l。突然剎車，重物因慣性繞。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力

16、。懸掛點向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。解：解：1. 選重物選重物(抽象為質點抽象為質點)為為研究對象研究對象2. 受力分析受力分析3. 運動分析，沿以懸掛點運動分析，沿以懸掛點為圓心為圓心, l為半徑的圓弧擺為半徑的圓弧擺動。動。例題例題 16-1)1( sindd , tt mgtvmFma )2( cos , T2nn mgFlvmFma 4. 列出質點運動微分方程列出質點運動微分方程為變量。為變量。其中其中式得式得由由vglvmgF, )(cos )2(2T maxTT , 0 , )1(FF 時時因因此此重重物物作作減減速速運運動動式式知知由由 )1(20maxTglvmgF 5. 求

17、解未知量求解未知量例題例題 16-1P=mg例題例題 16-1討論討論(1) 減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。子長度。(2) 拉力拉力FTmax由兩部分組成由兩部分組成, 一部分等于物體重量一部分等于物體重量,稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。動拉力。全部拉力稱為動拉力。)1(20maxTglvmgF 例題例題 16-2 煤礦用填充機進行填充煤礦用填充機進行填充, 為保證充填材料拋到為保證充填材料拋到距離為距離為s=5 m，H=1.5 m的頂板的頂板A處。求處。求

18、(1)充填材充填材料需有多大的初速度料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速初速 與水平的夾與水平的夾角角 0？ 不計空氣阻力。不計空氣阻力。0v選擇填充材料選擇填充材料M為研究對象，畫受力圖，為研究對象，畫受力圖，M作作斜拋運動。斜拋運動。待求待求0000000000,sin,cos; 0, 0, 0 vvvvvyxtyx yxvvHysxAMt , , , , , 瞬瞬時時解：已知力為常量，屬于第二類問題。解：已知力為常量，屬于第二類問題。mgP 列直角坐標形式的質點列直角坐標形式的質點運動微分方程并對其積運動微分方程并對其積分運算分運算 422312121dddddd0ddctcgtyct

19、cxcgttyctxmgtvmtvmyx0,sin,cos : 43002001 ccvcvc 代代入入初初始始條條件件得得2000021sin,cos :gttvytvx 則則運運動動方方程程為為2000021sin,cos :gttvytvx 運運動動方方程程為為022020cos21tan : vxgxy 則則軌軌跡跡方方程程為為代入最高點代入最高點A處值，得：處值，得： 即即 將到達將到達A點時的時間點時的時間t，x=s，y=H 代入運動方程，得代入運動方程，得, 0sindd00 gtvty ,sin00gvt gHsgv2cos00 gHv2sin00 拋射初速度大小與發(fā)射角拋射初

20、速度大小與發(fā)射角 0為：為：m/s 5 .10m/s5 . 181. 925 . 181. 92581. 922)sin()cos(22222002000 gHgHsgvvv 31 55 . 12tan 2tancossintan11000010sHvv 鉛垂上拋的物體，鉛垂上拋的物體，至少應具有多大的初速才可不再回至少應具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱為第二宇宙速到地球。這一速度稱為第二宇宙速度。不計空氣阻力。度。不計空氣阻力。2222xmgRFRmMfmgxmMfF 所所以以因因為為2222dd xmgRtxm 建建立立質質點點運運動動微微分分方方程程例題例題 16-3 解：取物體（視為質點解：取物體（視為質點)為研究為研究對象，建立坐標，并作受力圖。對象，建立坐標，并作受力圖。M地球質量，地球質量，f萬有引力常數(shù)萬有引力常數(shù)xgRgRvv2022)2( 則在任意位置時的速度則在任意位置時的速度) ,0( dd0220vvRxtxxmgRRxvmvvvxxx 時時 即：即：)dddddddddd( dd2222xvvtxxvtvtxxmgRxvmvxxxxxx 例題例題 16