第四節(jié)向量的數(shù)量積與向量積ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積一、向量的數(shù)量積 引例 外力做功問題 由物理學(xué)可知，假設(shè)質(zhì)點受外力F的作用，沿直線挪動，得到位移s.設(shè)位移方向與力的方向間的夾角為(F,s)，那么這個力所做的功W為 W=|F|s|cos(F,s).定義1 假設(shè)給定向量a，b，定義|a|b|cos(a,b)為向量a與b的數(shù)量積，記為ab，即 ab= |a|b|cos(a,b) ，又稱之為點積.性質(zhì) 兩個非零向量垂直的充分必要條件是它們的數(shù)量積為零.由數(shù)量積的定義可以證明 ab=ba， (a)b=a(b)=(ab) ( 為

2、一數(shù)量為一數(shù)量)， (a+b)c=ac+bc.假設(shè)a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，那么向量的數(shù)量積可以用向量的坐標(biāo)來表示：)()(222111kjikjibazyxzyx.212121212121212121kkjkikkjjjijkijiiizzyzxz zyyyxy zxyxxx 由于i，j，k是相互垂直的根本單位向量，因此，1 , 1 , 1, 0 , 0 , 0, 0 , 0 , 0kkjjiijkkjikkiijji于是可得. 212121zzyyxxba由此可得知兩個非零向量a，b垂直的充分必要條件的坐標(biāo)表達(dá)式:. 0212121zzyyxx特別地，當(dāng)a=b時，

3、有.|),cos(|22121212aaaaaaaazyx 留意到ab=|a|b|cos(a,b)，可知當(dāng)a，b都是非零向量時，它們間夾角的方向余弦可以由坐標(biāo)表達(dá)式表示為.222222212121212121|),cos(zyxzyxzzyyxxbababa例1 證明.)()(22bababa證 (a+b)(ab)bbabbaaa.2222bababbaa例2 知a=(3,0,1)，b=(2,1,3)，求ab，(a,b). 93) 1() 1(0)2(3ba 有,10) 1(03|222212121zyxa由于 且,|),cos(bababa,7035914109),cos(ba 因此.703

4、59arccos),(ba,143) 1()2(|222222222zyxb,212121zzyyxx ba由解例3 設(shè)a=2i+xjk，b=3ij+2k，且ab，求x.解 由于ab ，可知必有, 0212121zzyyxx即 23+x(1)+(1)2=0.整理得方程x+4=0，解方程得x=4.二 、兩向量的向量積 引例 當(dāng)用扳手?jǐn)Q螺母時，假設(shè)扳手沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，那么其螺母朝外挪動.假設(shè)扳手沿順時針方向轉(zhuǎn)動，那么螺母朝里挪動，而其挪動的間隔，取決于所施外力及扳手的臂的長短.其挪動的方向垂直于外力方向與扳手的臂所決議的平面.從力學(xué)上看螺母挪動取決于力矩M，而力矩又取決于力臂L和力F，且).,s

5、in(|FLFLM 定義2 由向量a，b可以作出向量c，使c滿足以下三個條件：(2) ca，cb，(3)a，b，c成右手系，那么稱c為a，b的向量積，記為c=ab，通常也稱c為a，b的叉積.(1) |c|=|a|b|sin(a,b)， 對于OA，OB的向量積OC也可以給出幾何解釋：OC的模在數(shù)值上等于以O(shè)A，OB為兩鄰邊的平行四邊形的面積，而OC垂直于OA，OB所決議的平面，且OA，OB，OC成右手系.性質(zhì) 兩個非零向量平行的充分必要條件是它們向量積為零. 假設(shè) ，可以導(dǎo)出ab的坐標(biāo)表達(dá)式.),(),(222111zyxzyxba由向量積的定義可以證明：.)(),()(),()(),(cbca

6、cbabababababaab).()()()()()()()()(212121212121212121kkjkikkjjjijkijiiizzyzxz zyyyxy zxyxxx)()(222111kjikjibazyxzyx由于i，j，k為相互垂直的根本單位向量，可得知.,jkijikijkikjkijkjikkjjii0 00 00 0因此可得.)()()(122112211221kjibayxyxxzxzzyzy假設(shè)利用行列式的方式，上式可以寫為方式記法. zyxzyx222111kjiba留意ab=0意味著. 0, 0, 0122112211221yxyxxzxzzyzy. ,212

7、121222zzyyxxzyx都不為零時，有當(dāng) 當(dāng)x2，y2，z2中有一個為零時，無妨設(shè)x2=0，而y2，z2不同時為零，那么商定x1=0，此時上述比例記法仍可以以為有意義.因此可以說假設(shè)a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，那么ab的充要條件為. 212121zzyyxx例4 設(shè)a=(0,1,2)，b=(2,1,1)，求與a和b都垂直的單位向量.解 令c=ab，由向量積的定義知c與a和b都垂直.112210kjic,24kjikji121012201121因此).24(211kjice所以與a和b都垂直的單位向量為ec，即).24(211)24(211kjikji與而與c同方向的單位向量 .| ccce,21)2()4() 1(|222c例5 知空間中的三點A(1,1,0)，B(2,1,3)，C(2,1,2)，求ABC的面積.解 由向量積的定義可以得到啟發(fā)，作向量AB， AC，),2 , 2, 1 ()02 , 11, 12( ),3 , 0 , 3()03