解題教學(xué)與思維品質(zhì)的培養(yǎng)

1、解題教學(xué)與思維品質(zhì)的培養(yǎng)湖南省衡東縣第五中學(xué) 羅江英解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個極其重要的環(huán)節(jié)，它既能幫助學(xué)生全面的深刻的理解和掌握基礎(chǔ)知識和方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想。更重要的是能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而真正提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。一一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性思維的廣闊性表現(xiàn)在多方面，多角度地思考問題，善于發(fā)現(xiàn)事物多方面的聯(lián)系，找出多種解決問題的方法。在教學(xué)中，教師可多設(shè)計(jì)一些問題，引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識范圍內(nèi)盡可能提出不同的構(gòu)想不同的解法。例1 已知f（x）=, a、b為相異的實(shí)數(shù)求證a-b思路1：按證明絕對值不等式的常規(guī)方法，經(jīng)過平方去絕對值符號后利用作差法比較，通過配方判定符號得以證明。思

2、路2：利用作商比較法，通過分子有理化，再用放縮法原理證明之思路3：注意到函數(shù)f(x)= 的結(jié)構(gòu)特征，作三角代換：令x=tan,轉(zhuǎn)化為三角不等式證明思路4：考慮方程y=表示雙曲線y2-x2=1的上支。而是表示該雙曲線上兩點(diǎn)a,f(a)與b,f(b)的連線的斜率的絕對值。于是問題可化為雙曲線上任一條弦所在直線的斜率的范圍問題，而雙曲線y2-x2=1的漸近線的斜率為±1.問題即可得證思路5：考察表達(dá)式=可視為P(x.1)到O(0,0)的距離，當(dāng)ab時，P1(a,1), P2(b,1)和原點(diǎn)O(0,0)確定的三角形O P1 P2中任意一邊大于其余兩邊之差，即可得證。思路6：觀察函數(shù)f(x)=

3、 的特點(diǎn)，聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，可構(gòu)造復(fù)數(shù)z=1+xi，利用復(fù)數(shù)的三角不等式進(jìn)行證明。類似上述這種一題多解的訓(xùn)練，能溝通代數(shù)、幾何、三角等知識之間的聯(lián)系，對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性是十分有益的。二、一題多變，培養(yǎng)思維的深刻性思維的深刻性表現(xiàn)在能深入鉆研與思考問題，善于從復(fù)雜的事物中去把握它的本質(zhì)，真正領(lǐng)會解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法。一題多變是指變換問題的條件或結(jié)論，深入探討問題，有利于培養(yǎng)思維的深刻性。例2 設(shè)A1、A2是圓x2+y2=a2的一條直徑的兩個端點(diǎn)，P1 P2是與A1A2垂直的弦，求直線A1 P1與A2 P2的交點(diǎn)的軌跡方程。學(xué)生可用多種方法求出軌跡方程x2-y2=a2。在教學(xué)中，可將上題的條

4、件分別改為“設(shè)A1、A2是橢圓+=1長軸上的兩個頂點(diǎn)”或 “設(shè)A1、A2是雙曲線=1實(shí)軸上的兩個頂點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索其軌跡方程。例3 已知圓的方程是 x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的方程學(xué)生利用“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”這一性質(zhì)，很容易求出切線方程是x0x+y0y=r2.同樣在教學(xué)中可將此題變換成如下的問題讓學(xué)生深入思考變題1：如果 M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，試判斷直線x0x+y0y=r2與圓的位置關(guān)系。變題2：如果 M(x0，y0)是圓x2+y2=r2外的一點(diǎn)，試判斷直線x0x+y0y=r2與圓的位置關(guān)系。三、注重開放題的教學(xué)，培養(yǎng)思維的

5、獨(dú)創(chuàng)性思維的獨(dú)創(chuàng)性表現(xiàn)在能獨(dú)立地提出問題，發(fā)現(xiàn)問題，分析問題和解決問題，勇于創(chuàng)新，敢于突破常規(guī)的思考方法和模式，主動提出新的見解和方法。開放題可充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，在開放題的教學(xué)中，選用的問題既要有一定的難度，又要被大多數(shù)學(xué)生接受；既要隱含“創(chuàng)新”因素，又要留有讓學(xué)生可以從不同角度、不同層次充分施展聰明才智的余地。例4 直線y=3x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點(diǎn)，-，求直線AB的方程。你能對橫線處補(bǔ)充一個恰當(dāng)?shù)臈l件，使直線方程得以確定嗎？此題一出，學(xué)生的思維便很活躍，補(bǔ)充上的條件也是形形色色，百花齊放： =；OAOB；線段AB被Y軸平分；線段AB的中點(diǎn)到Y(jié)軸的距離最短等等。學(xué)生暢所欲言，涉及到的知識有韋達(dá)定理、弦長公式、中點(diǎn)