有限群的另一定義--群同態(tài)--變換群

1、有限群的另一定義 群同態(tài) 變換群定理1 一個(gè)有乘法的有限集G是群1、關(guān)于乘法是半群；2、消去律成立。證明：“”設(shè)G=，構(gòu)造，由半群的定義可知，由消去律，當(dāng)，所以，即，所以，即方程在G里有解，同理方程在G里有解，所以G是一個(gè)群。因此也可用半群和消去律來定義有限群。由有限集A的代數(shù)運(yùn)算可用一個(gè)運(yùn)算表給出：從表上可看出代數(shù)運(yùn)算的許多性質(zhì)，如1、是代數(shù)運(yùn)算表中所有；2、適合交換律表中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的元相等；3、適合左(右)消去律A中每個(gè)元在表的各行(列)都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次；4、是A的左(右)單位元所在的行(列)與頂行(左列)一致； 5、的左(右)逆元所在的行與所在的列相交處是單位元。因此利用運(yùn)算表可

2、以幫助我們判斷一個(gè)有限集合是否構(gòu)成群，但結(jié)合律的檢驗(yàn)比較麻煩，不能從表中看出。在第一章中，我們討論了集合的同態(tài)映射，這里我們要在兩個(gè)群中討論同態(tài)映射。定義：若G，G1是兩個(gè)群，若存在一個(gè)G到G1的同態(tài)滿射，則稱G與G1同態(tài)。定理2 G是一個(gè)群，群G與G1對(duì)它們的乘法運(yùn)算同態(tài)，則G1也是群。證明：設(shè)是G到G1的同態(tài)滿射，則使，所以；又有；由G是一個(gè)群，,設(shè)，則有，所以G1有單位元；使，使，同理，所以G1中每一個(gè)元都有逆元。所以G1是一個(gè)群。注：定理2的逆命題不成立，即若是G到G1的滿同態(tài)，G1是群，則G不一定是群。如零映射。但如果映射是同構(gòu)映射，則只要其中一個(gè)是群，那么另一個(gè)也是群。定理3 設(shè)G

3、，G1是兩個(gè)群，在G到G1的同態(tài)映射之下，G的單位元的象是G1的單位元；G的元a的逆元的象是象的逆元；即，有限。若G，G1是兩個(gè)群，存在G到G1的同構(gòu)映射，則稱群G與G1同構(gòu)，記。*例4 設(shè)Un是所有n次單位根按普通的乘法作成的群，是n次單位原根，令，則是Un到模n的剩余類加群Zn的同構(gòu)映射。到目前為止，我們討論的群都是比較簡(jiǎn)單的或一般的群，這一節(jié)，下面我們要討論一個(gè)具體的群，這個(gè)群一方面本身非常重要，另一方面它也給了一個(gè)非交換群的例子。定義 設(shè)A是一個(gè)非空集合，A到A的映射稱為A的變換，A到A的滿射稱為A的滿變換，A到A的單射稱為A的單變換，A到A的雙射稱為A的一一變換。 定理4 設(shè)G是A的

4、若干個(gè)變換組成的集合，且，若G對(duì)于變換的乘積作成群，那么G只包含A的一一變換。證明：，因?yàn)镚是群，所以存在，所以是滿射；若，則，所以是單射。從而是一一變換。定義：A的若干個(gè)一一變換構(gòu)成的群G稱為變換群。定理5 一個(gè)集合A的所有一一變換構(gòu)成一個(gè)變換群，記E(A)。例1(P48例4) 設(shè)A是一個(gè)平面上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，那么平面的一個(gè)繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)可以看成A的一一變換，設(shè)G是包含所有繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，那么G是一個(gè)變換群。設(shè)表示轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)，則有; 結(jié)合律顯然成立；結(jié)合律顯然成立；。所以G是一個(gè)變換群。但G不包含A的全部一一變換。所以給了一個(gè)集合A，除了最大的變換群E(A)外，A的確還有別的較小的變換

5、群。變換群顯然不是交換群，因?yàn)樽儞Q不滿足交換律。變換群還告訴我們非交換群的存在。定理6 任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)。證明：設(shè)G1=，則G1是G的一些變換組成的集合，建立一個(gè)G到G1的映射,下面證明是G到G1的同構(gòu)映射。所以，是同態(tài)映射；，使，所以是一個(gè)滿射；若，則，所以有，由G是一個(gè)群，滿足消去律，即，所以是單射。因此G與G1同構(gòu)，因?yàn)镚是一個(gè)群，所以G1也是群。又因G是群，所以存在單位元，且，所以，由定理2，G1是一個(gè)變換群。例2 P505證明一：設(shè)V是R上的一個(gè)n維向量空間，由定理4，E(V)是一個(gè)變換群，取V的一個(gè)基，則E(V)的每一個(gè)變換與一個(gè)n階可逆矩陣一一對(duì)應(yīng)，若設(shè)G是R上所有n

6、階可逆矩陣構(gòu)成的集合，則，所以G是一個(gè)群。證明二：由群的定義證明滿足封閉性；結(jié)合律；單位元；逆元。所以構(gòu)成群。作業(yè)：P50 1，4， P441，置換群上一節(jié)討論了變換群，即集合A到A的所有一一變換構(gòu)成的群E(A)及它的非空子集構(gòu)成的群，當(dāng)A是有限集時(shí)，通常記A=。定義：一個(gè)包含n個(gè)元的有限集的一一變換稱為(n次)置換；一個(gè)包含n個(gè)元的有限集A的若干個(gè)一一變換構(gòu)成的群稱為n次置換群；一個(gè)包含n個(gè)元的有限集A的所有置換構(gòu)成的群稱為n次對(duì)稱群，記Sn。設(shè)是A的一個(gè)置換，則可記作而將與和具體表示的內(nèi)容無關(guān)，只與有關(guān)，因此常將置記作這里確定的是A的每一個(gè)元的像，與第一行的n個(gè)元的排列次序無關(guān)，如下列置換

7、是同一個(gè)置換。由對(duì)稱群與排列的定義可得：定理1 n次對(duì)稱群的階是！。例1 二次對(duì)稱群S2的階是2，其元為，；三次對(duì)稱群S3的階是6，其元為，而且=，=所以S3是一個(gè)非交換群。為了表示上方便，置換還可以用另外一種方法表示，先引進(jìn)一個(gè)新的符號(hào)。定義：設(shè)在n次置換下，其余的數(shù)字(如果還有的話)保持不變，則稱是一個(gè)循環(huán)置換，記作1循環(huán)置( j )是恒等置換，2循環(huán)置換又稱為對(duì)換。例2 ；。一個(gè)置換不一定是循環(huán)置換，如，但=(1 2)(3 4)。定理2 每一個(gè)n元置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的(不相連的)循環(huán)置換的乘積。證明：對(duì)變動(dòng)的個(gè)數(shù)t作歸納法證明。若t=0，則 是一個(gè)恒等變換，定理成立。設(shè)

8、0<t<s時(shí)定理成立。當(dāng)t=s時(shí)，任取被變動(dòng)的數(shù)字，并設(shè)，由于總共變動(dòng)s個(gè)數(shù)字，從而一定存在r，使中的某一個(gè)，由假設(shè)，這樣我們就得到了一個(gè)循環(huán)置換。若r=s,則是一個(gè)循環(huán)置換，若r<s，則= =其中使s-r個(gè)數(shù)字變動(dòng)，而且這些變動(dòng)的數(shù)字不同于，由歸納法假設(shè)可以表為互不相交的循環(huán)置換的乘積。如6次置換。 由定理2可得：每一個(gè)次置換都可表成對(duì)換的乘積。證明 由定理2，每一個(gè)置換可以寫成不相連的循環(huán)置換的乘積，因此只要證明循環(huán)置換可分解。設(shè)=()是一個(gè)循環(huán)置換，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，已是一個(gè)對(duì)換；當(dāng)時(shí)，。P56 5 證明：若1在中出現(xiàn)，則：=；若1不在中出現(xiàn)，則：=()=。如(234)=(24)(23)=(24)(13)(12)(13)=(14)(12)(14)(13)(12)(13),此例表明一個(gè)置換的乘積的方