數(shù)學(xué)23函數(shù)的奇偶性與周期性Word版

1、來(lái)源:中_教_網(wǎng)z_z_s_tepA組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：60分鐘)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012·廣東)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 ()Aysin x Byx3Cyex Dyln答案D解析由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項(xiàng)為奇函數(shù)，C項(xiàng)為非奇非偶函數(shù)，D項(xiàng)為偶函數(shù)2 (2012·天津)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為 ()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析選項(xiàng)A中函數(shù)ycos 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足題意；選項(xiàng)C中的函數(shù)為奇函數(shù)；選項(xiàng)D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選B.3(2011

2、·遼寧)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a等于()A. B. C. D1答案A解析f(x)f(x)，來(lái)源:中#國(guó)教#育出#版網(wǎng)(2a1)x0，a.4 (2012·福州質(zhì)檢)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(7)等于 ()A2 B2 C98 D981 / 8答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是周期為4的函數(shù)，f(7)f(2×41)f(1)，又f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，f(1)2×122，f(7)f(1)f(1)2，故選A.二、填空

3、題(每小題5分，共15分)5 設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案1解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化簡(jiǎn)得x(exex)(a1)0.因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a1.6 設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)_.答案3解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，因此f(x)f(x)0.當(dāng)x0時(shí)，可得f(0)0，可得b1，此時(shí)f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.7 (2012·江南十校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)yf(x)

4、滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；來(lái)源:函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號(hào)為_(kāi)答案解析由f(x)f(x3)f(x)為周期函數(shù)，且T3，為真命題；又yf關(guān)于(0,0)對(duì)稱，yf向左平移個(gè)單位得yf(x)的圖象，則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為真命題；又yf為奇函數(shù)，ff，fff(x)，ff(x)，f(x)f(x3)ff(x)，f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調(diào)函數(shù)所以為真命題，為假命題三、解答題(共25分)8 (12分)已知函數(shù)f(x)x2 (x0)(1)判斷f(x)的奇偶性，并

5、說(shuō)明理由；(2)若f(1)2，試判斷f(x)在2，)上的單調(diào)性解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2，f(x)f(x) ，函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2 (x0)，取x±1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)來(lái)源:中_教_網(wǎng)z_z_s_tep函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時(shí)f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2，x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f

6、(x2)，故f(x)在2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)9 (13分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x) (0<x1)，求x5，4時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式(1)證明由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)來(lái)源:(2)解由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時(shí)，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時(shí)，f(x)

7、.x5，4時(shí)，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時(shí)，函數(shù)f(x).B組專項(xiàng)能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2011·安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x，則f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x，f(1)f(1)2×(1)2(1)3.2 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為 ()A1 B1 C0 D無(wú)法計(jì)算答案C解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

8、g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，來(lái)源:中國(guó)教育出版網(wǎng)f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.3 (2012·淄博一模)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，則a的取值范圍是 ()Aa<1或a Ba<1C1<a Da答案C解析函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函數(shù)的最小正周期T3，則f(1)f(2

9、)，由1，解得1<a.二、填空題(每小題4分，共12分)4 (2011·浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.答案0解析函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.5 已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，則f(2 015)_.來(lái)源:中#國(guó)教#育出#版網(wǎng)答案解析方法一令x1，y0時(shí)，4f(1)·f(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1時(shí)，4f(1)·f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1時(shí)，4f(2)·

10、;f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6為周期的函數(shù)，f(2 015)f(335×65)f(5).方法二f(1)，4f(x)·f(y)f(xy)f(xy)，構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)cos x，f(2 015)cos.6 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)1x，則2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；當(dāng)x(3,4)時(shí)，f(x)x3.其中所有正確命

11、題的序號(hào)是_答案解析由已知條件：f(x2)f(x)，則yf(x)是以2為周期的周期函數(shù)，正確；當(dāng)1x0時(shí)0x1，f(x)f(x)1x，來(lái)源:函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示：當(dāng)3<x<4時(shí)，1<x4<0，f(x)f(x4)x3，因此正確不正確三、解答題(共13分)7 已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)0在閉區(qū)間2 011,2 011上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論解(1)若yf(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x

12、)，f(7)f(3)0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)若yf(x)為奇函數(shù)，則f(0)f(0)f(0)，f(0)0，這些f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，來(lái)源:中教網(wǎng)f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2 011110n2 011及nZ可得n0，&#